精品解析：江西省吉安市第三中学2023届高三上学期段考二文科数学试题

吉安三中2022—2023学年度上学期段考二 高三数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.  2. 独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（ ） A 2021年我国独角兽企业共有170家 B. 京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家 C. 独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半 D. 各行业独角兽企业数量的中位数为13 3. 如图，是水平放置的直观图，且，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 16 4. 已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 函数在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是 A. B. C. D. 7. 某单位实行职工值夜班制度，已知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几 A. 二 B. 三 C. 四 D. 五 8. 为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有 A 264种 B. 224种 C. 250种 D. 236种 9. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 A. B. 2 C. 3 D. 11. 关于函数，有下列四个命题： 甲：； 乙：的三根分别为，，； 丙：在上恒为负； 丁：在上单调递增. 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13. 在“志愿和平”活动中，某校高二年级名男教师和名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务，根据岗位需求应派人巡视商户，且至少有名男教师；另外人测量出入人员体温.则这名教师不同的安排方法有______种（只填数字） 14. 在梯形ABCD中，，E是BC的中点，若，，且，则___________． 15. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为_____________． 16. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为___________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.） 17. 在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，条件①：；条件②：.求： （1）的值. （2）的面积. 18. 如图，在直四棱柱中，，，是的中点，且平面 （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积. 19 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响. （1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由； （2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值； （3）若单局比赛甲班胜乙班概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望. 20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，若，，的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与交于，两点，设为坐标原点，若，求四边形面积的最大值. 21. 已知函数在轴上的截距为1，且曲线上一点处的切线斜率为. （1）曲线在P点处的切线方程； （2）求函数的极大值和极小值 选修4—4：坐标系与参数方程 22. 已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉安三中2022—2023学年度上学期段考二 高三数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.  【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、包含关系等知识确定正确答案. 【详解】， 所以，D选项正确. 故选：D 2. 独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（ ） A. 2021年我国独角兽企业共有170家 B. 京、沪、粤三地独角兽企业共有119家 C. 独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半 D. 各行业独角兽企业数量的中位数为13 【答案】C 【解析】 【分析】根据给出的图中信息依次分析选项即可. 【详解】对于选项A，将图中各行业数量加和， 可知2021年我国独角兽企业共有170家，故A正确； 对于选项B，京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%， 家，故B正确； 对于选项C，独角兽企业最多的三个行业为电子商务、汽车交通、人工智能， 共有73家，未超过一半，故C错误； 对于选项D，将各行业的企业数量从小到大排列，中位数为13正确. 故选：C 3. 如图，是水平放置直观图，且，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件根据可直接求出结果. 【详解】因为，且，所以． 故选：C. 4. 已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质确定，由关系列方程求的值. 【详解】由题意可知,, ,即, ，解得． 故选：C． 5. 函数在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，转化为恒成立，对a分类讨论，借助于二次函数的性质，即可求出a的范围. 【详解】因为函数在上是减函数，所以恒成立. 当时，成立，符合题意； 当时，要使恒成立，由二次函数的性质，只需. 综上所述：. 故选：D 6. 化简的结果是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项． 【详解】因为为第二象限角， 所以，故选D. 【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型． 7. 某单位实行职工值夜班制度，已知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几 A. 二 B. 三 C. 四 D. 五 【答案】C 【解析】 【详解】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四． 详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五， 若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班， 与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾； 若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班， 与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾； 若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意． 故今天是周四． 故选：C． 点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题． 8. 为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有 A. 264种 B. 224种 C. 250种 D. 236种 【答案】A 【解析】 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有种，即一共种方案； 当选取的是2名医生1名护士，共有种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有种，即一共种方案. 综上所述：分配方案共有264种. 故选：A 【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强. 9. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误； 对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确； 对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误. 故选：B 10. 已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆圆心为 , 圆圆心为,则 其中为A关于直线对称点,所以选B. 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 11. 关于函数，有下列四个命题： 甲：； 乙：的三根分别为，，； 丙：在上恒为负； 丁：在上单调递增. 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】对四个命题分别为假命题进行分类讨论，结合导数法判断可得出结论. 【详解】若甲命题为假命题，由题意可得， 对任意的，，可得， ， 对任意的，，由于在上单调递增，则，可得，满足条件； 若乙命题为假命题，且， 当时，，此时函数在上不可能单调递增，不满足条件； 若丙命题为假命题，由题意可得， 当且时，， 当且时，，不满足条件； 若丁命题为假命题，由题意可得， 当且时，，不满足条件. 故选：A. 12. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数得出大小，又即得出结论. 【详解】构造函数，则， 在上恒成立，则在上单调递减，故，则， ，则， 由对于函数，恒成立， 所以， 即在上恒成立. 所以，（注： ） 所以， 故选：C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13. 在“志愿和平”活动中，某校高二年级名男教师和名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情志愿服务，根据岗位需求应派人巡视商户，且至少有名男教师；另外人测量出入人员体温.则这名教师不同的安排方法有______种（只填数字） 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数计算出巡视商户的人中无男教师的情况，则对立事件的特点可求得结果. 【详解】巡视商户的人中，无男教师的情况有种； 不同的安排方法数有种. 故答案为：. 14. 在梯形ABCD中，，E是BC的中点，若，，且，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据三角形法则得，再求即可． 【详解】过点E作，交AD于点F，易得F是AD的中点，如下图 则， ． 故答案为：9． 15. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线离心率定义可推出两双曲线离心率之间的关系，即可求得答案. 【详解】令离心率,离心率为，， 则， 所以， ， 故答案为： 16. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，容易证得平面，要使，进而得，进而得当时，最小，此时，的面积最小，再根据几何关系求解即可. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接 由于在面内的射影为，，故 因为在面内的射影为，，所以. 又，所以平面. 要使，必须点在平面内， 又点在侧面内， 所以点在平面与平面的交线上，即. 因为平面，平面，所以， 所以 当时，最小，此时，的面积最小. 又，故. 由的面积可得， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面垂直的证明，解题的关键在于根据题意寻求的轨迹，即，进而根据几何关系求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.） 17. 在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，条件①：；条件②：.求： （1）的值. （2）的面积. 【答案】条件选择见解析：（1）；（2）的面积为. 【解析】 【分析】选①：（1）由已知条件得出，利用余弦定理求出的值，进而可求得的值； （2）求出的值，利用三角形的面积公式可求得结果； 选②：（1）利用余弦定理化简得出，结合条件可求得、的值； （2）求出的值，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】选①：（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即，即， 因为，即，即，故，； （2）因为，则为锐角，所以，， 因此，； 选②：（1）因为且，故， 由余弦定理可得，即， 整理可得，所以，，解得； （2）因为，则为锐角，所以，， 因此，. 18. 如图，在直四棱柱中，，，是的中点，且平面 （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）见详解；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质，由题中条件，得到，，再由线面垂直的判定定理，即可得出结果； （2）根据（1）的结果，利用棱锥的体积公式，结合题中数据，即可得出结果. 【详解】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面， 又平面，所以； 因为平面，平面，平面， 所以，； 因为平面，平面，， 所以平面； （2）由（1）可得，，因为是的中点，所以； 因此四棱锥的体积为. 【点睛】方法点睛： 证明空间位置关系的方法： （1）利用判定定理和性质证明：根据线面平行和垂直的判定定理和性质，结合题中条件，即可证明； （2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求直线的方向向量，平面的法向量，根据空间位置的向量表示，即可证明. 19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响. （1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由； （2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值； （3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望. 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）记“比赛两局，甲班全胜”为事件，“比赛三局，甲班前两局中胜一局，第三局胜”为事件，这是两个互斥事件，由独立重复试验的概率公式可分别计算出甲胜概率，从而也可得乙胜的概率，比较即得； （2）求出甲班恰好获胜3局的概率，由基本不等式可得最大值； （3）比赛结束场数可能是3，4，5，注意可能甲胜也可能乙胜，求出概率后由期望公式可计算出期望． 【详解】解：（1）记“比赛两局，甲班全胜”事件，“比赛三局，甲班前两局中胜一局，第三局胜”为事件，因为，为互斥事件，所以， 所以甲班获胜的概率是，从而乙班获胜的概率也是， 故甲、乙两班获胜的概率相等. （2）设比赛6局，甲班恰好获胜3局的概率为，则. ， 所以当且仅当，即时，甲班恰好获胜3局的概率最大. （3）比赛3局结束有两种情况，即甲班胜3局，或乙班胜3局， 则； 比赛4局结束有两种情况，即前3局中甲班胜2局，第4局甲班胜，或前3局中乙班胜2局，第4局乙班胜，则； 比赛5局结束有两种情况，即前4局中甲班胜2局，第5局甲班胜或前4局乙班胜2局，第5局乙班胜，则， 所以. 【点睛】本题考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式，考查互斥事件的概率，随机变量的期望，旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力． 20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，若，，的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与交于，两点，设为坐标原点，若，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义及勾股定理可求出a，又c，可得b，由此能求出椭圆C的方程． （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、向量加法的意义以及三角形的面积公式，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）由题设，，所以 .又，所以.的方程为. （2）由题设不平行于轴，设：，联立，得.，. 因为，所以四边形为平行四边形，四边形面积 . 因为，当且仅当时取等号，于是四边形面积的最大值为. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21. 已知函数在轴上的截距为1，且曲线上一点处的切线斜率为. （1）曲线在P点处的切线方程； （2）求函数的极大值和极小值 【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）通过截距为1可得，对函数进行求导，结合切线的斜率为，可得的值，进而可得函数解析式，得到，结合直线的点斜式得切线方程；（2）先得导函数零点，列表判断单调性，得函数极值. 【详解】（1）因为函数在轴上的截距为1，所以 又，所以， ， 所以，故点， 所以切线方程为，即 （2）由题意可得，令得 列表如下： + 0 - 0 + 增区间 极大 减区间 极小 增区间 所以函数的极大值为，极小值为 选修4—4：坐标系与参数方程 22. 已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先消参求出曲线的直角坐标方程，根再据直角坐标与极坐标互化公式，求得曲线的极坐标方程即可； （2）先由直线的极坐标方程求得直线的直角坐标方程，再由圆的弦长公式求解即可. 【详解】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为， 将代入并化简：； （2）由得，则直线的直角坐标方程为，即， 又曲线表示以为圆心，为半径的圆，∴圆心到直线的距离为，∴弦长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$