13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （第1课时） 温故知新 线段的对称轴和它有怎样的关系？ 线段是轴对称图形吗？ 请画一条线段AB，你能找到线段的对称轴吗？ A B 请在你所画线段的垂直平分线（对称轴）上任意取点P，连接PA,PB，量一量它们的长度，有什么发现？ 线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等。 新知探究 再取几个点试试？ 当点P在AB之间的垂直平分线上运动时，PA=PB 你能证明吗？ 线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB 新知探究 证明： 线段垂直平分线的性质: 几何语言： ∵PC⊥AB，AC=BC ∴PA=PB 作用：见垂直平分线，得线段相等 小试牛刀 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线， P为CD上一点，PA=7cm，则PB=________ 2、如图,NM 是线段AB的中垂线,下列说法正确的有： 。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线 ①②③ 7cm 例1.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵　AD⊥BC，BD =DC ∴　AB =AC ∵　点C 在AE 的垂直平分线上 ∴　AC =CE ∴　AB =AC =CE ∵　AB =CE，BD =DC ∴　AB +BD =CD +CE 即　AB +BD =DE 例题讲解 例2.如图，在△ABC中，已知AC=27， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长. 例题讲解 解：∵　DE是线段AB的垂直平分线 ∴　BE=AE ∵　△BCE的周长=BE+BC+CE=50 ∴　AE+BC+CE=50 ∴　AC +CE=50 ∵　AC=27 ∴　BC=23 例题讲解 变式1 . 如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BC=23，求△BCE的周长。 变式2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，已知AD=15， △BCE的周长等于50，求△BAC的周长. 变式3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50， △BAC的周长等于80，求AD的长. 线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等. 新知探究 交换性质定理的条件和结论： 与这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ？ P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 猜想：与这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 证明：过点P 作PC⊥AB，垂足为C 则∠PCA =∠PCB =90° 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中 ∵　PA =PB，PC =PC ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL） ∴ AC =BC 又∵ PC⊥AB ∴ PC为线段AB的垂直平分线， 即点P 在线段AB 的垂直平分线上 C P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 新知探究 证明：取AB的中点C，连结PC， 则AC=BC 在△PCA 和△PCB 中 ∵　PA =PB，PC =PC，AC=BC ∴ △PCA ≌△PCB（SSS） ∴ ∠PCA =∠PCB =90° 即 PC⊥AB 又∵AC=BC ∴ PC为线段AB的垂直平分线， 即点P 在线段AB 的垂直平分线上 C 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 新知探究 线段垂直平分线的判定定理 到线段AB 两端点距离相等的点有多少个？这些点能组成什么几何图形？ 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 怎样判断一条直线是不是线段的垂直平分线呢？ 例3.如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？ 解：∵　AB =AC， ∴　点A 在BC 的垂直平分线 ∵　MB =MC， ∴　点M 在BC 的垂直平分线上 ∴　直线AM 是线段BC 的垂直平分线 例题讲解 ∵　AB =AC，MB =MC ∴　直线PM 是线段AB 的垂直平分线． 例4. 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 例题讲解 三角形三边垂直平分线交于一点， OA=OB=OC 这一点到三角形三个顶点的距离相等. 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 当堂练习 2.如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直 平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E， 则△ADE 的周长等于______． 8 3.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连 接BE，AB+BC=16cm,则△BCE 的周长是 cm. A B C D E 16 当堂练习 4.如图所示，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线 交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm， 求AB和AC的长. B E C D A 课堂小结 今天我们学了什么？ 今天的质疑和发现？ 今天我们悟到什么？ $$