专题02 合并同类项与整式加减重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题02 整式加减重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项 题型二 整式的加减运算 题型三 整式加减的应用 题型四 整式的加减化简求值 题型五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型六 整式加减应用的数字、图形规律题 题型七 整式的加减新定义运算 知识点一：合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 知识点二：整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【经典例题一 合并同类项】 【例1】下列合并同类项的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·云南西双版纳·阶段练习）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）口算： （1） ；    （2） ；    （3） ； （4） ；    （5） ；    （6） ． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期中）阅读材料：我们知道，，类似的我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【经典例题二 整式的加减运算】 【例2】一个多项式加上，再减去等于，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一个多项式加上得到，这个多项式是 ． 3．计算： 【经典例题三 整式加减的应用】 【例3】小丽和小乐用相同的正方形手工纸剪圆片，小丽剪了一个，小乐剪了4个（如图），剩下的边角料相比较（　　）    A．同样多 B．小丽的多 C．小乐的多 D．无法确定 1．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则． A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅰ错，Ⅱ，Ⅲ对 D．只有Ⅰ对 2．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 3．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是，计算：    (1)窗户的面积； (2)窗户的外框的总长． 【经典例题四 整式的加减化简求值】 【例4】已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 1．试确定关于x，y的方程的整数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．当，时，代数式的值为 ． 3．（）化简：； （）化简求值：，其中，． 【经典例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例5】若单项式与是同类项，则的值是（　　） A． B．1 C．8 D．9 1．若单项式与单项式是同类项，则（    ） A．1 B．3 C． D． 2．若与是同类项，则合并后的结果为 ． 3．若与的和是单项式，求的值． 【经典例题六 整式加减应用的数字、图形规律题】 【例6】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是（    ） A． B．6 C． D．3 1．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第1次操作后得到3个整式，，；第2次操作后得到4个整式，，，……其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是（    ） A． B． C． D． 2．将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 3．【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【经典例题七 整式的加减新定义运算】 【例7】定义一种新运算：，则当时，的值（    ） A．5 B．8 C．7 D．6 1．对于有理数，，定义，则化简后得(　　) A． B． C． D． 2．定义一种新运算，规定：，若请计算值为 ． 3．先化简，再求值 (1)，其中 (2)定义两种新运算：，，化简，并求出当，时的值． 1．下列合并同类项的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知，化简所得结果（　　） A． B． C． D． 5．在整式、之间插入它们的平均数：记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为：； ②若，经过3次操作后，所有数之和为45； ③经过8次操作后，将得到256个整式； ④第10次操作后，从左往右第2个整式为： 以上四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若总成立，则的值为 ． 7．若单项式 与的和是单项式，则 8．若多项式与的和不含项，则 ． 9．某校三年级和四年级各有两个班，三年级（一）班比三年级（二）班多人，四年级(一)班比四年级（二）班少人，三年级比四年级少人，那么三年级（一）班比四年级（二）班少 人． 10．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则 ． 11．合并同类项：． 12．已知与是同类项，求代数式的值． 13．（1）计算：； （2）计算：． （3）先化简，再求值：，其中，． 14．窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 15．如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形(包含白色小正方形和灰色小正方形)按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2 中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；… (1)请用含 n的代数式分别表示出图n中，白色小正方形、灰色小正方形的数量； (2)图a中，白色小正方形比灰色小正方形正好多64个，求图a中，灰、白两种小正方形的总个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式加减重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项 题型二 整式的加减运算 题型三 整式加减的应用 题型四 整式的加减化简求值 题型五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型六 整式加减应用的数字、图形规律题 题型七 整式的加减新定义运算 知识点一：合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 知识点二：整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【经典例题一 合并同类项】 【例1】下列合并同类项的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A中计算错误，不符合题意； ，故选项B中计算错误，不符合题意； ，故选项C中计算错误，不符合题意； ，故选项D中计算正确，符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级上·云南西双版纳·阶段练习）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握合并同类项法则．根据合并同类项的法则求解． 【详解】 解：A、，原式计算错误，故本选项错误； B、和不是同类项，不能合并； C、3和x不是同类项，不能合并； D、，计算正确，故本选项正确． 故选：D． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）口算： （1） ；    （2） ；    （3） ； （4） ；    （5） ；    （6） ． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （4）根据有理数的除法运算法则计算即可； （5）根据合并同类项法则计算即可； （6）根据合并同类项法则计算即可； 此题考查有理数的运算法则和合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）；     （2）；     （3）； （4）；     （5）；     （6）． 故答案为：，，，，， 3．（23-24七年级上·山东济宁·期中）阅读材料：我们知道，，类似的我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）把看成一个整体，运用乘法分配律求解即可； （2）运用整体代入法求解即可； （3）将看出整体，化为，从而得解． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 整式的加减运算】 【例2】一个多项式加上，再减去等于，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，用加上，再减去，即可得出结果． 【详解】解： ； 故选：B． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项计算判断即可． 本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选D． 2．一个多项式加上得到，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据和减去一个加数等于另一个加数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这个多项式是， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．利用去括号法则和合并同类项法则求解即可． 【详解】解： 【经典例题三 整式加减的应用】 【例3】小丽和小乐用相同的正方形手工纸剪圆片，小丽剪了一个，小乐剪了4个（如图），剩下的边角料相比较（　　）    A．同样多 B．小丽的多 C．小乐的多 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查整式加减的实际应用，根据题意分别求出两个图形剩下边角料的面积，再作比较即可． 【详解】解：设正方形的边长为x，则小丽所剪的圆的半径为，小乐所剪的圆的半径为， 则小丽剩下的边角料面积为：， 小乐剩下的边角料面积为：， 小丽剩下的边角料与小乐剩下的边角料同样多， 故选：A． 1．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则． A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅰ错，Ⅱ，Ⅲ对 D．只有Ⅰ对 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是理解已知条件中的约定，求出，m和n的值． 先根据题意得到：，，，从而求出x+y的值，判断Ⅱ的正误，再根据，求出m，从而列出关于x，y的方程组，解方程组，求出x，y，判断Ⅱ的正误，最后根据y的值，求出x，m，n，再代入所求的幂进行计算，然后判断是Ⅲ即可． 【详解】解：由题意可知：，，， ∴，， ∴， ∴结论Ⅱ正确 ∵当时，， ∴， ②﹣①得：， 把代入①得：， ∴结论Ⅰ正确； ∵， ∴当时，， ∴，， ∴ ， ∴结论Ⅲ错误， 综上可知：Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错， 故选：B． 2．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 【答案】4x 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意，列式计算即可． 本题考查了列代数式，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意得：阴影部分周长和为： ， 故答案为：． 3．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是，计算：    (1)窗户的面积； (2)窗户的外框的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，结合图形列出代数式是解题关键． （1）根据图示，用边长是的4个小正方形的面积加上半径是的半圆的面积，即可求出窗户的面积； （2）根据图示，用3条长度是的边的长度和加上半径是的半圆圆弧的长度，即可求出窗户的外框的总长． 【详解】（1）解： （）． 答：窗户的面积为； （2）解：（）． 答：窗户的外框的总长为． 【经典例题四 整式的加减化简求值】 【例4】已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案． 【详解】是方程 的解， ， ， ． 故选B． 1．试确定关于x，y的方程的整数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了非一次不定方程的解，先将等号左右两侧进行化简，然后根据形式可知这种情况是不存在的，所以可得到无解，熟知三个连续整数的乘积是3的倍数是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为：， 即：， 等号左侧为三个连续整数的乘积是3的倍数，而等号右侧为除以3余2，不可能成为等式， ∴原方程无解， 故选：A． 2．当，时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式加减的化简求值，先去括号并合并同类项后，把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 故答案为： 3．（）化简：； （）化简求值：，其中，． 【答案】（）；（），． 【分析】（）去括号、合并同类项即可求解； （）利用整式的加减运算法则先对整式化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的加减运算，整式的加减运算化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ， 当，时， 原式， ， ． 【经典例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例5】若单项式与是同类项，则的值是（　　） A． B．1 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义、代数式求值，根据同类项的定义：“字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，”可得，，即，，再代入求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴ 故选：A． 1．若单项式与单项式是同类项，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项的意义，根据同类项的意义，列方程求解即可，理解同类项的意义是正确解答的前提． 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．若与是同类项，则合并后的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，利用同类项是字母相同且相同字母的指数也相同得出a、b的值是解题的关键． 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得a、b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得：，． 故原式为：与 +． 故答案为． 3．若与的和是单项式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，熟悉掌握同类项的特点是解题的关键． 根据与的和是单项式，推出与是同类项，列式运算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式． ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 【经典例题六 整式加减应用的数字、图形规律题】 【例6】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减的应用、求代数式的值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，得出，，整体代入计算即可得出答案． 熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， 故答案为：A． 1．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第1次操作后得到3个整式，，；第2次操作后得到4个整式，，，……其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数式的规律探究，先逐步分析前面7次操作，可发现规律，整式串每六个一循环，即可获得答案． 【详解】解析：第1次操作后得到的整式串，，； 第2次操作后得到的整式串，，，； 第3次操作后得到的整式串，，，，； 第4次操作后得到的整式串，，，，，； 第5次操作后得到的整式串，，，，，，； 第6次操作后得到的整式串，，，，，，，； 第7次操作后得到的整式串，，，，，，，，； … 第2023次操作后得到的整式串共2025个整式；归纳可得，以上整式串每六个一循环． ∵， ∴第2023次操作后得到的整式串各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为． 故选：A． 2．将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆圈的变化规律，利用数形结合的思想解答． 观察每个图形的特点，得到第一个图形有1个小圆圈，第二个图形有个小圆圈，第三个图形有个小圆圈，第四个图形有个小圆圈，进而得到图形的规律求解即可． 【详解】解：观察每个图形可得， 第一个图形有1个小圆圈， 第二个图形有个小圆圈， 第三个图形有个小圆圈， 第四个图形有个小圆圈， … 列表如下： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 总数 1 7 19 37 61 ∴m和n之间的关系式为： ， 首位相加得：， ∴， 故答案为： 3．【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析 【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律： （1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可； （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可． 【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； …… 第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 故答案为：；． （2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为． 为正整数， ， 每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 【经典例题七 整式的加减新定义运算】 【例7】定义一种新运算：，则当时，的值（    ） A．5 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】当时，原式，计算即可得出结论. 【详解】解：∵， ∴当时，原式， 故答案为B. 【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值.解题的关键是理解并运用新运算法则，将要求整式转化为熟悉的整式加减运算. 1．对于有理数，，定义，则化简后得(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先根据新定义求出，再次利用新定义列出的算式，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 2．定义一种新运算，规定：，若请计算值为 ． 【答案】 【分析】先根据规定把整理成，再根据规定将化简整理，然后整体代入即可求出最后的值. 【详解】 由得           故答案为：-3 【点睛】本题主要考查了定义新运算和运用整体代入法求代数式的值，解题的关键是要理解规定的式子，对号入座，注意整体思想的运用. 3．先化简，再求值 (1)，其中 (2)定义两种新运算：，，化简，并求出当，时的值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）根据整式的加减运算法则先化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； （）根据新定义运算对代数式进行转化，再根据整式的加减运算法则化简，再把，代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的加减化简求值，新定义运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式 ， ； （2）解：∵，， ∴原式 ， 当，时， 原式 ， ． 1．下列合并同类项的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A中计算错误，不符合题意； ，故选项B中计算错误，不符合题意； ，故选项C中计算错误，不符合题意； ，故选项D中计算正确，符合题意； 故选：D． 2．若与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，利用同类项的定义求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 3．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，先把变形为，再把所求的整式化简然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 原式 ， 故选：． 4．已知，化简所得结果（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，由可得，即得，进而得，，再根据绝对值的性质即可化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 5．在整式、之间插入它们的平均数：记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为：； ②若，经过3次操作后，所有数之和为45； ③经过8次操作后，将得到256个整式； ④第10次操作后，从左往右第2个整式为： 以上四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索，根据操作方式找出变化规律是解题的关键．①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②代入，求出经过4次操作后所得数据，求和即可判断．③根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过8次操作后所得整式个数即可判断；④根据操作方式得出每次操作后从左往右第2个整式的规律，然后求出第10次操作后，从左往右的第2个整式即可判断． 【详解】解：①∵第一次操作后，所得整式从左往右分别为x，，， ∴第二次操作后，从左往右第四个整式为：，结论①正确； ②当时，， 第1次操作后分别为2，，， 第2次操作后分别为2，，，，， 第3次操作后分别是2，，，，，，，，， ∴经过3次操作后，所有数之和为，结论②正确； ③∵第1次操作后得到个整式， 第2次操作后得到个整式， 第3次操作后得到个整式， … ∴经过8次操作后，将得到个整式，结论③不正确； ④∵第1次操作后，从左往右第2个整式为：， 第2次操作后，从左往右第2个整式为：， 第3次操作后，从左往右第2个整式为：， … ∴第10次操作后，从左往右第2个整式为：，结论④正确； 即结论正确的个数为3， 故选：C． 6．若总成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则得到、、的值，进而代入求解即可． 【详解】解：总成立， ，，， ． 【点睛】本题考查了合并同类项，合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 7．若单项式 与的和是单项式，则 【答案】0 【分析】本题考查同类项的定义、代数式求值，根据同类项的定义可得，，即，，再代入求值即可． 【详解】解：∵单项式 与的和是单项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：0． 8．若多项式与的和不含项，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式加减运算，涉及多项式和不含某项，根据题意，先利用多项式加减运算合并同类项，再由和不含项列式求解即可得到答案，熟练掌握多项式加减运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 多项式与的和不含项， ，解得， 故答案为：． 9．某校三年级和四年级各有两个班，三年级（一）班比三年级（二）班多人，四年级(一)班比四年级（二）班少人，三年级比四年级少人，那么三年级（一）班比四年级（二）班少 人． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，设三年级（一）班人，四年级（二）班人，则三年级（二）班人，四年级(一)班人，由题意可得，据此可得，即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设三年级（一）班人，四年级（二）班人，则三年级（二）班人，四年级(一)班人， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴三年级（一）班比四年级（二）班少人， 故答案为：． 10．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，新定义，根据新定义得到，进而得到，再把所求式子先去括号，再合并同类项得到，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．合并同类项：． 【答案】 【分析】此题考查了合并同类项，利用加法交换律把同类项放在一起，再利用合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ． 12．已知与是同类项，求代数式的值． 【答案】0 【分析】先根据同类项的定义得到关于m，n的方程组，求解方程组后代入代数式即可解答． 【详解】∵与是同类项， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查同类项的定义，解二元一次方程组，正确理解同类项的定义得到方程组是解题的关键． 13．（1）计算：； （2）计算：． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）0；（2）；（3），－9 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、整式的化简求值等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可； （2）先去括号，然后再合并同类项即可； （3）先根据整式加减运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ， 当，时，原式． 14．窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)窗户的面积是，窗户的外框的总长是： 【分析】（1）窗户的面积等于四个小正方形的面积与半圆的面积之和即可得； （2）大正方形的的三条边长加上圆的周长的一半即可得； （3）把代入（1）（2）中所列代数式求值即可． 本题考查了整式加法的应用及化简求值，熟练掌握正方形与圆的周长和面积公式是解题关键． 【详解】（1）窗户的面积是：； （2）窗户的外框的总长是：； （3）当时，窗户的面积是： 窗户的外框的总长是：． 15．如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形(包含白色小正方形和灰色小正方形)按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2 中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；… (1)请用含 n的代数式分别表示出图n中，白色小正方形、灰色小正方形的数量； (2)图a中，白色小正方形比灰色小正方形正好多64个，求图a中，灰、白两种小正方形的总个数． 【答案】(1)第个图形中，白色小正方形的数量为∶；灰色小正方形的数量为： (2) 【分析】本题考查了图形中的数字规律，列代数式，整式的加减的应用，观察目标正方形的数量与图形的序号之间的关系，构建其二者联系的代数式即可． （1）第一个图形中灰色小正方形的数量是，第2个图形中灰色小正方形的数量是，第3个图形中灰色小正方形的数量是，由此得到第n个图形中灰色小正方形的数量是； （2）根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第一个图形中灰色小正方形的数量是， 第2个图形中灰色小正方形的数量是， 第3个图形中灰色小正方形的数量是， …， 由此得到第n个图形中灰色小正方形的数量是； 第一个图形中小正方形的数量是， 第2个图形中小正方形的数量是， 第3个图形中小正方形的数量是， …， 由此得到第n个图形中小正方形的数量是； 从而得到白色小正方形的数量为． （2）根据题意得， 解得 ∴． ∴图a中，灰、白两种小正方形的总个数为244． 学科网（北京）股份有限公司 $$