21.2.3 因式分解法解一元二次方程 练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

因式分解法解一元二次方程练习题 一．选择题（共11小题） 1．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1 2．方程x2＝﹣3x的解是（　　） A．x＝0 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3 3．将（2x﹣1）2＝10x﹣5转化为两个一元一次方程，这两个方程是（　　） A．2x﹣1＝0，2x+1＝﹣5 B．2x+1＝5，2x﹣1＝0 C．2x﹣1＝0，2x﹣1＝5 D．2x+1＝0，2x﹣1＝﹣5 4．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 5．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 6．代数式2x2﹣3x与x2﹣7x的值相等，则x的值为（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或4 7．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　） A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．2（x﹣2）2＝x2﹣4 C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3 8．如果关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两根分别为3，﹣5，那么二次三项式x2+ax+b可分解为（　　） A．（x+5）（x﹣3） B．（x﹣5）（x+3） C．（x﹣5）（x﹣3） D．（x+5）（x+3） 9．嘉嘉在解方程x（x﹣3）＝x﹣3时，只得到一个解是x＝1，则他漏掉的解是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝0 D．x＝﹣1 10．已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣3，x2＝﹣4，则这个方程为（　　） A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0 C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0 11．若实数x满足方程（x2﹣2x）2+3（x2﹣2x）﹣4＝0，则x2﹣2x的值为（　　） A．﹣4 B．1 C．﹣1或4 D．1或﹣4 二．填空题（共1小题） 12．用因式分解法解一元二次方程x2﹣px﹣6＝0时，若x﹣3是该方程左边二次三项式的一个因式，则p的值是 　 　． 三．解答题（共4小题） 13．用合适的方法解下列一元二次方程 （1）（x+6）2﹣9＝0 （2）2x2﹣8x+4＝0（用配方法解 ）； （3）4x2﹣3x+2＝0； （4）（x﹣1）（x+3）＝12； （5）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2＝0； （6）x2﹣5x+20． 14．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最小的正整数，请确定m的值并求此时方程的根． 15．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）x4﹣3x2﹣4＝0； （2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 16．阅读下面的例题． 解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 请参照上述方法解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0． 因式分解法解一元二次方程练习题 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 1．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1 解：∵x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故选：C． 2．方程x2＝﹣3x的解是（　　） A．x＝0 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3 解：x2＝﹣3x， x2+3x＝0， x（x+3）＝0， x＝0或x+3＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣3． 故选：D． 3．将（2x﹣1）2＝10x﹣5转化为两个一元一次方程，这两个方程是（　　） A．2x﹣1＝0，2x+1＝﹣5 B．2x+1＝5，2x﹣1＝0 C．2x﹣1＝0，2x﹣1＝5 D．2x+1＝0，2x﹣1＝﹣5 解：∵（2x﹣1）2＝10x﹣5， ∴（2x﹣1）2﹣5（2x﹣1）＝0， 则（2x﹣1）（2x﹣1﹣5）＝0， ∴2x﹣1＝0或2x﹣1﹣5＝0，即2x﹣1＝0或2x﹣1＝5， 故选：C． 4．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 解：x（x﹣2）＝x﹣2， 移项，得 x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 提公因式，得 （x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝2，x2＝1． 故选：D． 5．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 解：x2﹣2x﹣3＝0 （x+1）（x﹣3）＝0 x1＝﹣1，x2＝3 故选：C． 6．若代数式2x2﹣3x与x2﹣7x的值相等，则x的值为（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或4 解：结合已知，得， 2x2﹣3x＝x2﹣7x， 即x2+4x＝0， x（x+4）＝0， 所以x＝0或﹣4． 故选：C． 7．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　） A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．2（x﹣2）2＝x2﹣4 C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3 解：A、（x﹣2）（x+5）＝2适合于公式法解方程，故本选项不符合题意； B、由原方程移项提公因式得到（x﹣2）（x﹣6）＝0，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意； C、x2+5x﹣2＝0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意； D、由原方程得到（2﹣x）2，适合于直接开平方法法或者因式分解法解方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．如果关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两根分别为3，﹣5，那么二次三项式x2+ax+b可分解为（　　） A．（x+5）（x﹣3） B．（x﹣5）（x+3） C．（x﹣5）（x﹣3） D．（x+5）（x+3） 解：∵方程x2+ax+b＝0的两根分别为3，﹣5， ∴二次三项式x2+ax+b可分解为（x+5）（x﹣3）． 故选：A． 9．嘉嘉在解方程x（x﹣3）＝x﹣3时，只得到一个解是x＝1，则他漏掉的解是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝0 D．x＝﹣1 解：∵x（x﹣3）＝x﹣3， ∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0，x﹣1＝0， x1＝3，x2＝1， ∴他漏掉的解是x＝3， 故选：A． 10．已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣3，x2＝﹣4，则这个方程为（　　） A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0 C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0 解：A、（x﹣3）（x+4）＝0， 可得x﹣3＝0或x+4＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣4，本选项不合题意； B、（x+3）（x﹣4）＝0， 可得x+3＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝4，本选项不合题意； C、（x+3）（x+4）＝0， 可得x+3＝0或x+4＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4，本选项符合题意； D、（x﹣3）（x﹣4）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝3，x2＝4，本选项不合题意； 故选：C． 11．若实数x满足方程（x2﹣2x）2+3（x2﹣2x）﹣4＝0，则x2﹣2x的值为（　　） A．﹣4 B．1 C．﹣1或4 D．1或﹣4 解：设x2﹣2x＝t，则原方程转化为t2+3t﹣4＝0， 整理，得 （t+4）（t﹣1）＝0． 解得t＝﹣4或t＝1． 若x2﹣2x＝﹣4即x2﹣2x+4＝0时，x没有实数解， 故x2﹣2x的值为1． 故选：B． 二．填空题（共1小题） 12．用因式分解法解一元二次方程x2﹣px﹣6＝0时，若x﹣3是该方程左边二次三项式的一个因式，则p的值是 　1　． 解：由题意可知， 设x2﹣px﹣6＝0分解因式得（x﹣3）（x﹣m）＝0， 化成一般式为x2﹣（3+m）x+3m＝0， ∴3m＝﹣6， ∴m＝﹣2， ∴p＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 三．解答题（共4小题） 13．用合适的方法解下列一元二次方程 （1）（x+6）2﹣9＝0； （2）2x2﹣8x+4＝0（用配方法解）； （3）4x2﹣3x+2＝0； （4）（x﹣1）（x+3）＝12； （5）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2＝0； （6）x2﹣5x+20． 解：（1）（x+6）2﹣9＝0， （x+6）2＝9， ∴x+6＝3或x+6＝﹣3， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣9； （2）2x2﹣8x＝﹣4， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2， ∴x﹣2或x﹣2， 解得：x1＝2，x2＝2； （3）∵a＝4，b＝﹣3，c＝2， ∴△＝9﹣4×4×2＝﹣23＜0， ∴原方程无解； （4）整理，得：x2+2x﹣15＝0， ∴（x﹣3）（x+5）＝0， ∴x﹣3＝0或x+5＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣5； （5）因式分解可得：（2x﹣1+1）（2x﹣1+2）＝0， 即2x（2x+1）＝0， ∴2x＝0或2x+1＝0， 解得：x1＝0，x2； （6）x2﹣5x+20， 因式分解得：（x）（x﹣2）＝0， ∴x0或x﹣2＝0， 解得：x1，x2． 14．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最小的正整数，请确定m的值并求此时方程的根． 解：（1）由题知， （2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得． 故m的取值范围是． （2）由（1）知， 又m取最小正整数， 所以m＝1． 此时原方程为x2+3x＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝0． 故此时方程的根为x1＝﹣3，x2＝0． 15．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）x4﹣3x2﹣4＝0； （2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 解：（1）x4﹣3x2﹣4＝0， （x2）2﹣3x2﹣4＝0， （x2﹣4）（x2+1）＝0， x2﹣4＝0，x2+1＝0， 解得：x2＝4，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， 则x1＝2，x2＝﹣2． （2）设y＝x2+2x，则y2﹣y﹣6＝0 ∵（y﹣3）（y+2）＝0， y＝3，y＝﹣2 当y＝3时，x2+2x﹣3＝0，x1＝﹣3，x2＝1， 当y＝﹣2时，x2+2x+2＝0，无解． 故方程的解为x1＝﹣3，x2＝1， 16．阅读下面的例题． 解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 请参照上述方法解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0． 解：（1）当x﹣1≥0，即x≥1时，|x﹣1|＝x﹣1， 方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0， 分解因式得：x（x﹣1）＝0， 可得x＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝0（舍去），x2＝1； （2）当x﹣1＜0，即x＜1时，|x﹣1|＝1﹣x， 方程化为x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0， 分解因式得：（x﹣1）（x+2）＝0， 可得x﹣1＝0或x+2＝0， 解得：x3＝﹣2，x4＝1＞0（舍去）， 则原方程的解为x1＝1，x3＝﹣2． 第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$