精品解析：河南省南阳市二十一学校2022-2023学年九年级下学期第一次线上测试数学试题

九年级数学线上周测 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 小明和小红玩“石头剪刀布”的游戏，小红每次都赢小明 D. 打开电视机，正在播放动画片 3. 如图，点在网格的格点上，且网格中每个小正方形的边长都为1，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. 4 B. C. D. 5. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原正方形空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，设原正方形空地的边长是，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别为中边的中点，将此三角形沿折叠，使点C落在边上的点P处．若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，交x 轴于点，交y 轴于点D，点B为x 轴下方圆弧上的一点，连接，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 最大值为4 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 与x轴只有一个交点 10. 如图，在正方形中，是边的中点，连接交于点，连挍，有下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____________． 12. 的顶点A的坐标为，将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为______________． 13. 某医院门诊挂号处设有A，B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者名自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为__________． 14. 如图，的直径为20，弦的长为16，P是弦上一点，则线段的长的最小值为______________． 15. 如图，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标为，把矩形绕点O顺时针旋转得到矩形，点A的对应点恰好落在射线上，则点C的对应点的坐标为_______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值． 18. 某地修建了一个半径为的圆形公园．如图，公园的中心点A位于C地南偏西37°方向和B地东南方向上．C地在B地的正东方向，且两地相距．有关部门计划在B，C两地之间修一条笔直的公路来连接两地，请问该公路是否穿过公园？试通过计算加以说明．（精确到，参考数据：） 19. 如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． （1）求证：是半圆O的切线； （2）连接，若，，则长为 ． 20. “类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上绝对值所形成的函数．乐乐对一个类二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 m 3 1 3 3 1 n … （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表，其中， ， ； （2）请根据表中数据，画出该函数的图象； （3）观察函数图象，写出两条函数的性质； （4）探究与应用： ①方程有 个实数根； ②关于x的不等式，x的取值范围是 ． 21. 某水果超市热销一种箱装脐橙，其进价为每箱35元，当售价为每箱55元时，每天可卖出150箱．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：①每涨价1元，每天少卖出5箱；②每降价1元，每天多卖出10箱．如果只能调整一次售价，如何调整才能使每天的利润达到3125元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A和点． （1）求a和b的值； （2）求点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点P是直线下方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合），请直接写出当的面积最大时，点P的坐标． 23. 如图1，已知在中，． （1）基础巩固：如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是 ； （2）拓展探究：如图2，点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到． ①求证：； ②用等式表示与间的数量关系，并说明理由： （3）问题解决：点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C旋转得到，请直接写出点A，M，N在同一直线上时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学线上周测 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质逐项化简，再检查是不是符合最简二次根式的定义，即可作答．本题考查了二次根式的性质以及最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式 B、是最简二次根式 C、，不是最简二次根式 D、，不是最简二次根式 故选：B 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 小明和小红玩“石头剪刀布”的游戏，小红每次都赢小明 D. 打开电视机，正在播放动画片 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； B．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； C．小明和小红玩“石头剪刀布”的游戏，小红每次都赢小明是随机事件，不符合题意； D．打开电视机，正在播放动画片是随机事件，不符合题意； 故选B． 3. 如图，点在网格的格点上，且网格中每个小正方形的边长都为1，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，勾股逆定理，求一个角的正切值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出每个边的长度，运用勾股逆定理证明是等腰直角三角形，再运用，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ 故选：A 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，交过点的平行线于点，交的邻近平行线于点，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交的邻近平行线于点， 根据题意，设， ， ， ， ， 故选：C 5. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原正方形空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，设原正方形空地的边长是，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式方程可列出．本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键． 【详解】解：依题意，设原正方形的边长为， 则剩余的空地长为，宽为． ， 故选：D． 6. 将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．利用函数图象的平移规律即可求解． 【详解】将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线的解析式是． 故选：A． 7. 如图，分别为中边的中点，将此三角形沿折叠，使点C落在边上的点P处．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行线的判定与性质，折叠性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是的中位线，，结合平行线的性质得，因为折叠，得，最后由等边对等角，即可作答． 【详解】解：∵分别为中边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵将此三角形沿折叠，使点C落在边上的点P处． ∴ ∴ 故选：D 8. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，交x 轴于点，交y 轴于点D，点B为x 轴下方圆弧上的一点，连接，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键． 连接，根据圆周角定理可知，利用锐角三角函数的定义设，，再由勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：连接， ∵与是同弧所对的圆周角， ∴， ∴ ∴ ∴设， ∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴点D的坐标为． 故选：B． 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 最大值为4 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 与x轴只有一个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，掌握二次函数与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的性质求解判断即可． 【详解】解：∵， ∴是直线的对称轴，故A正确，不符合题意； ∴当，有最大值为4，故B正确，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故C正确，不符合题意； ∵， ∴函数与x轴有两个交点，故D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，是边的中点，连接交于点，连挍，有下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形和中点的性质可得，再证，根据相似三角形的性质可判定①；根据相似三角形和中点的性质可得，再根据对称性可得，然后根据即可判定③；由对称性可得，再结合即可判定④． 【详解】解：∵正方形， ∴, ∵是边的中点， ∴, ∵， ∴， ∴,即， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即, ∵是边的中点， ∴ 由对称性可得：， ∴,即②正确； 如图：过D作交于N, ∵, ∴四边形是平行四边形， ∴，, ∴ ∵, ∴，即, 由于不一定成立，则不一定成立，即③错误； ∵和关于直线对称， ∴， ∵， ∴，即④正确． 则正确的有①②④，共3个． 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、对称的性质等知识点，理解相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 12. 的顶点A的坐标为，将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变换．熟练掌握点的平移规律是解题的关键．平移点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移点的变化规律求解即可． 【详解】解：根据点的平移规律可知：将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为，即． 故答案为：． 13. 某医院门诊挂号处设有A，B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者名自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图即可求解。 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 由图可知，共有4种等可能事件，其中甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号有1种， ∴， 故答案为. 【点睛】本题考查了列表或画树状图求概率，熟练画出树状图是解题的关键。 14. 如图，的直径为20，弦的长为16，P是弦上一点，则线段的长的最小值为______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，垂径定理，勾股定理，熟练掌握最短路径问题及垂径定理是解题的关键．过点O作于点H，连结，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可求得，当点P在点H处时，线段的长取最小值，即得答案． 【详解】解：过点O作于点H，连结， ， 的直径为20， ， ， 当点P在点H处时，线段的长取最小值，最小值为6． 故答案为：6． 15. 如图，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标为，把矩形绕点O顺时针旋转得到矩形，点A的对应点恰好落在射线上，则点C的对应点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出三边关系，再利用勾股定理得出答案．此题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，旋转的性质以及勾股定理等知识，正确得出是解题关键． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵轴 ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴ 点， ，， ，， 在中， ， ∵ ， 设，，则， ， 则， ， 则，， 故点的对应点的坐标为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，二次根式的混合运算，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算平方差公式，乘法，再运算加减，即可作答． （2）先把原式整理得，再令每个因式为0，列式计算，即可作答． 【详解】解：（1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，矩形的面积，是解决问题的关键． （1）根据方程有两个实数根可知，方程的根的判别式大于或等于0，列不等式求解即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于k的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为；． 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长， 且矩形的面积为8， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴． ∴k的值为． 18. 某地修建了一个半径为的圆形公园．如图，公园的中心点A位于C地南偏西37°方向和B地东南方向上．C地在B地的正东方向，且两地相距．有关部门计划在B，C两地之间修一条笔直的公路来连接两地，请问该公路是否穿过公园？试通过计算加以说明．（精确到，参考数据：） 【答案】不能，理由： 过点作于点， 由题意知： ， 设 在中， ∴ ∵公园的中心点A位于B地东南方向上 在中， 则 ∴ ∴ ∴ 故该公路不能穿过纪念园． 【解析】 【分析】过点作于点，根据题意可得设，然后得出，代入数值得，计算可求解的长，进而可求解．本题主要考查解直角三角形的应用方向角，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． （1）求证：是半圆O的切线； （2）连接，若，，则长为 ． 【答案】（1） 解：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径 ∴是半圆O的切线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理，角平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由圆周角定理得，证明，结合，得出，即可作答． （2）先由圆周角定理得，运用勾股定理，结合等面积法列式计算，因为角平分线的判定与性质，得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵以半圆O的直径为边作 ∴ 过点F作 ∵ ∴ ∴ 由（1）得 ∵ ∴ 故答案为：4 20. “类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上绝对值所形成的函数．乐乐对一个类二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 m 3 1 3 3 1 n … （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表，其中， ， ； （2）请根据表中数据，画出该函数的图象； （3）观察函数图象，写出两条函数的性质； （4）探究与应用： ①方程有 个实数根； ②关于x的不等式，x的取值范围是 ． 【答案】（1）3； （2）画图见解析 （3）函数关于轴对称；函数的最大值为 （4）或时 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）通过函数解析式及表格内点坐标作图． （3）由图象对称性及图象最高点可得函数图象对称轴及函数最大值． （4）求出直线与函数图象交点，结合图象求解， 本题考查二次函数的性质，解题关键是：掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系． 【小问1详解】 解：将代入，得，解得：， ∴， 将代入，得，解得：， ∴， 故答案为：3；， 【小问2详解】 解：画图如下： 【小问3详解】 解：函数关于轴对称， ∵， ∴函数的最大值为， 故答案为：函数关于轴对称；函数的最大值为， 【小问4详解】 解：当时，，解得：或， 当时，，解得：或， ∴直线，与函数的交点横坐标为：，，，， 如图： 可得或时，， 故答案为：或时． 21. 某水果超市热销一种箱装脐橙，其进价为每箱35元，当售价为每箱55元时，每天可卖出150箱．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：①每涨价1元，每天少卖出5箱；②每降价1元，每天多卖出10箱．如果只能调整一次售价，如何调整才能使每天的利润达到3125元？ 【答案】每箱售价涨价5元时，每天的利润达到3125元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系及分两种情况讨论是解题的关键．分每箱售价涨价x元和每箱售价降价y元两种情况求解，分别根据“①每涨价1元，每天少卖出5箱；②每降价1元，每天多卖出10箱．”列方程，即可求解答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当每箱售价涨价x元时，每天少卖出箱， 根据题意得，， 解得； ②当每箱售价降价y元时，每天多卖出箱， 根据题意得，， 化简得，， ， 此方程无实数根； 由①②可知，每箱售价涨价5元时，每天的利润达到3125元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A和点． （1）求a和b的值； （2）求点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点P是直线下方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合），请直接写出当的面积最大时，点P的坐标． 【答案】（1） （2），或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合问题．熟练掌握待定系数法确定一次函数解析式和二次函数解析式，函数与不等式的关系，二次函数的呼象和性质，是解题的关键． （1）把分别代入和，即可求得； （2）由，求出，结合，可得不等式的解集为，或； （3）过点P作轴，交于点D，设，则，得到，得到，可知当时，有最大值，此时． 【小问1详解】 ∵直线与抛物线交于点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不等式的解集为：，或； 【小问3详解】 ∵， ∴， 过点P作轴，交于点D， 设， ∵的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值， ∴， ∴． 23. 如图1，已知在中，． （1）基础巩固：如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是 ； （2）拓展探究：如图2，点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到． ①求证：； ②用等式表示与间的数量关系，并说明理由： （3）问题解决：点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C旋转得到，请直接写出点A，M，N在同一直线上时的长． 【答案】（1） （2） ①证明：点，分别是，的中点，绕点按顺时针方向旋转得到， ，，． ． ； ②，理由如下： 如图，连接， ，， ． ， 是等边三角形． ，． ． ． 在中，由勾股定理得 ． ． 由①得，． ． ； （3）的长为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理等等： （1）证明是等边三角形，即可得到结论； （2）①利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明；②证明是等边三角形，在中，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）分两种情况分析，A、三点所在直线与不相交和与相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质分别求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：①如图所示， ∵，，， ∴， ∵点D，E分别是，的中点，将绕点C旋转得到， ∴，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $