精品解析：2024年湖南省长沙市初中学业水平考试押题密（二）

长沙市2024年初中学业水平考试押题密卷（二） 数 学 温馨提示： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的． 请在答题卡中填涂符合题意的选项． 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 如图所示，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 将一块三角板和一把直尺按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 如图用尺规作已知角的平分线，构造两个三角形全等，所用到的判别方法是（ ） A. B. C. D. 7. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A 65次/分 B. 67.5次/分 C. 70次/分 D. 72.5次/分 8. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（ ） A. B. C. D. 10. A、、、与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A赛了4盘，赛了3盘，赛了2盘，赛了1盘．那么小强已经赛了（ ）盘 A. 2盘 B. 3盘 C. 4盘 D. 5盘 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__． 12. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为______． 13. 若一个扇形的圆心角为，直径是6，则这个扇形的面积是__________． 14. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是__．（任意写一个满足条件的k值） 15. 方程的解是______． 16. 如图，在四边形中， ，，，当四边形面积最大时，作平分该四边形面积交于点E，则此时线段的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 17 计算：； 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据） 20. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．“跳水”是学生喜欢的运动项目之一，为了解学生对“跳水”知识的了解程度，某学校从200名喜欢“跳水”运动的学生中随机抽取了50学生进行了测试，将他们的成绩（百分制）分成五组，绘制成如下频数直方图． （1）已知这组数据为91、95、97、94、92、98、92，92．则这组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，如果这200名喜欢“跳水”运动的学生全部进行测试，估计学生成绩在的总人数； （3）学校想要从成绩在的4名学生中随机抽取2名同学谈谈观感，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表法或树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）把三角形先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并写出点，的坐标； （2）求三角形的面积． 22. 中国中央电视台2024年春晚的主题为——“龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．龙行龘（dá dá）为中国古文，出自四库本《玉篇》23龙部第8字，文字释义为群龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某销售平台从2024年元旦开始经销一批印有“龘”字图案的T恤，1月份该T恤的销量约为5000件，3月份的销量约为7200件，且2，3月份销售量的增长率相同． （1）求该款T恤销量的月平均增长率； （2）3月份以后，该款T恤的销量逐渐减少，如果月销量平均下降率与平均增长率相同，估计5月份时该款T恤的销售量为_______件． 23. 我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． （1）下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； （2）如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 24. 如图，是的弦，是的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，上有一点，连接、，交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过作于，延长交于点，若，，求的半径长． 25. 我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． （1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”解析式； （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市2024年初中学业水平考试押题密卷（二） 数 学 温馨提示： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的． 请在答题卡中填涂符合题意的选项． 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 相反数是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 2. 如图所示，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，结合俯视图是从上面往下面看到的，据此即可作答． 【详解】解：结合几何体的特征，俯视图是长方形且中间是有一条实线 ， 即是俯视图为， 故选：B 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法，积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除法、积的乘方、同类项合并计算即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误； 故选：C． 4. 将一块三角板和一把直尺按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角的性质和平行线的性质，根据三角形的外角的性质可得：，再根据平行线的性质可知，从而得解． 【详解】解：依题意得：，，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把绝对较大的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差． 【详解】解：； 故选：B． 6. 如图用尺规作已知角的平分线，构造两个三角形全等，所用到的判别方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图作已知角平分线．利用作图痕迹得到，，加上为公共边，则根据“”可判断，从而得到． 【详解】解：由作图痕迹得到，， ，，， ， ， 即平分． 故选：C． 7. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A. 65次/分 B. 67.5次/分 C. 70次/分 D. 72.5次/分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数，找中位数的时候一定要先将数据排好顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果数据有偶数个，则找中间两位数的平均数． 【详解】解：∵共有15名学生，中位数是第8个数， ∴这15名学生心率的中位数是70次/分； 故选：C． 8. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 9. 某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握：菱形的面积公式是两条对角线的长度乘积的一半．据此列式解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积为：． 故选：B． 10. A、、、与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A赛了4盘，赛了3盘，赛了2盘，赛了1盘．那么小强已经赛了（ ）盘 A. 2盘 B. 3盘 C. 4盘 D. 5盘 【答案】A 【解析】 【分析】画图辅助分析求解． 【详解】解：A赛了4盘，则与，，，小强各赛一盘； 赛了1盘，则不与A以外其它人比赛； 赛了3盘，则分别与，，小强各赛一盘； 赛了2盘，则与，各赛一盘； 所以，小强与，各赛一盘； 故选：A． 【点睛】本题考查组合问题，运用画图辅助分析是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是掌握提取公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的性质．由圆内接四边形的性质∶圆内接四边形的对角互补，即可计算． 【详解】解：四边形是的内接四边形， 故答案为：． 13. 若一个扇形的圆心角为，直径是6，则这个扇形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的面积； 故答案为：． 14. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是__．（任意写一个满足条件的k值） 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与系数的关系．先根据反比例函数的图象位于第二、四象限得出k的取值范围，进而可而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴k的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 15. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解决问题的关键． 去分母，移项合并同类项，检验即得． 【详解】， 去分母得，， 解得，， 经检验：是方程的解， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中， ，，，当四边形面积最大时，作平分该四边形面积交于点E，则此时线段的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点A作于点F，由，，得是等边三角形，由等边三角形的性质求出，，根据，得出、、C、D四点共圆，点D在的外接圆上，根据当时，点O到的距离最小，此时点D到的距离最大，的面积最大，得出此时四边形的面积最大，求出，，由平分四边形的面积，求出即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点F，如图所示： ∵，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴、、C、D四点共圆， ∴点D在的外接圆上， ∴当时，点O到的距离最小，此时点D到的距离最大，的面积最大， ∴此时四边形的面积最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等边三角形判定的性质、四点共圆，圆周角定理、三角形的面积公式，解直角三角形等知识点，灵活应用相关知识解决问题是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 本题根据绝对值化简，零指数幂，特殊角三角函数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4． 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x、y的值代入计算即可求出值。 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 19. 某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据） 【答案】实验楼的高度为25米． 【解析】 【分析】利用正切函数的定义求得的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：实验楼的高度为25米． 【点睛】本题考查解直角三角形－仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．“跳水”是学生喜欢的运动项目之一，为了解学生对“跳水”知识的了解程度，某学校从200名喜欢“跳水”运动的学生中随机抽取了50学生进行了测试，将他们的成绩（百分制）分成五组，绘制成如下频数直方图． （1）已知这组的数据为91、95、97、94、92、98、92，92．则这组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，如果这200名喜欢“跳水”运动的学生全部进行测试，估计学生成绩在的总人数； （3）学校想要从成绩在的4名学生中随机抽取2名同学谈谈观感，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表法或树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）93，92 （2）估计学生成绩在的总人数为112人； （3）抽到的2名学生来自不同年级的概率是． 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图、中位数、众数等知识． （1）将数据从小到大重新排列，根据中位数和众数的定义即可求解； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）画树状图，共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将数据从小到大重新排列为91、92、92、92、94、95、97、98． 92出现了三次，现出次数最多，则众数是92； 排在中间两个数是92、94，则中位数是， 故答案为：93，92； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计学生成绩在的总人数为112人； 【小问3详解】 解：用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种， ∴抽到的2名学生来自不同年级的概率是． 21. 如图，平面直角坐标系中，，，． （1）把三角形先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并写出点，的坐标； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）图见解析，，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平移变换及网格求三角形面积、坐标与图形；熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质作出图形即可求解；利用平移的性质得出对应点坐标； （2）利用分割法即可求解； 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求， 点，的坐标为，； 【小问2详解】 三角形的面积为． 22. 中国中央电视台2024年春晚的主题为——“龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．龙行龘（dá dá）为中国古文，出自四库本《玉篇》23龙部第8字，文字释义为群龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某销售平台从2024年元旦开始经销一批印有“龘”字图案的T恤，1月份该T恤的销量约为5000件，3月份的销量约为7200件，且2，3月份销售量的增长率相同． （1）求该款T恤销量的月平均增长率； （2）3月份以后，该款T恤的销量逐渐减少，如果月销量平均下降率与平均增长率相同，估计5月份时该款T恤的销售量为_______件． 【答案】（1） （2）4608 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1）设该款T恤销量的月平均增长率为x，利用3月份该T恤的销量＝1月份该T恤的销量×（1+该款T恤销量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用5月份该T恤的销量=3月份该T恤的销量×（1-该款T恤销量的月平均增长率）2，即可求出结论． 【小问1详解】 设该款T恤销量的月平均增长率为x，根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款T恤销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 根据题意得：（件）， ∴估计5月份时该款T恤的销售量为件． 故答案为：． 23. 我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． （1）下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； （2）如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到距离是2，求四边形的面积． 【答案】（1）② （2）①见解析；②4． 【解析】 【分析】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可； （2）①根据菱形的性质得到，即，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N作于H，于G，证明四边形是矩形可得，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，最后四边形的面积=正方形的面积． 【小问1详解】 解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为，但对角不一定为，不是对角直角四边形． 故答案为：②． 【小问2详解】 ①证明:∵.四边形菱形， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是对角直角四边形； ②如图：过N作于H，于G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键． 24. 如图，是的弦，是的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，上有一点，连接、，交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过作于，延长交于点，若，，求的半径长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意得出得出，，则垂直平分即可证明； （2）连接，根据得出，进而根据同弧所对的圆周角相等可得，进而得出，根据三线合一可得，即可得证； （3）连接交于点，连接并延长交于点，设，证明垂直平分，根据已知条件得出，进而得出，连接，则在中，，进而勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，则，即， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点， ∵， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴（三角形的三条高交于一点）， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，设圆的半径为， 在中，， ∴， 解得：，即圆的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，等腰三角形的性质与判定，弧与圆周角的关系，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． （1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 【答案】（1）存在；“幸福点”坐标为，； （2）“向光函数”的解析式为：或； （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则，分别代入一次函数和反比例函数，得到关于的一元二次方程，解方程可得，，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标； （2因为一次函数和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数与反比例函数只有一个交点，联立一次函数与反比例函数得到关于的一元二次方程，得到关于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函数”的解析式； （3）一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在，上，根据“向光函数”满足的条件可以得出，，进而表示边形的面积为，即可求的取值范围． 【小问1详解】 假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则 ∴， 解并检验得：，， ∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”， “幸福点”坐标为，； 【小问2详解】 ∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 所以与反比例函数只有一个交点， ∴，， 整理得：， ， 解得：，， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：， ∴“向光函数”的解析式为：或． 【小问3详解】 ∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上， ∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标， ∴， 整理得：， 又∵“向光函数”为， ∴与“向光函数”为关于轴对称， ∴， ∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③， ∴， ∴， ∴， 即“向光函数”为 又∵， ∴， ∴， 又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 令“向光函数”中，得即， 解得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数，理解题意是解答新定义题型的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$