第三章 排列、组合与二项式定理单元检测卷（A卷）-2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第三章 排列、组合与二项式定理 ——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册单元检测卷（A卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，则( ) A.11 B.12 C.13 D.14 2.把3个不同的小球放入到4个不同的盒子中，所有可能的放法种数为( ) A.24 B.4 C. D. 3.在的展开式中，若的系数为800，则含项的系数为( ) A.30 B.960 C.300 D.360 4.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种颜色的花，且各个区域的花颜色各不相同，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为( ) A. B. C. D. 5.某中学第24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，则此次篮球赛学校共举办的比赛场数为( ) A.51 B.42 C.39 D.36 6.的展开式中，常数项为( ) A.1365 B.3003 C.5005 D.6435 7.某校环保小组共有8人，该小组计划前往3个不同的景区开展活动，要求每个景区至少有2人，每个人都参与且只能去一个景区，则不同的分配方案有( ) A.490种 B.980种 C.2940种 D.5880种 8.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的中国传统工艺品.灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相关.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列四个关系式中，一定成立的是( ) A. B. C. D.若，且，则 10.若，则( ) A.展开式中所有项的二项式系数之和为 B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项 C. D. 11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为5名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有( ) A.若5人每人可任选一项工作，则有种不同的方案 B.若每项工作至少安排1人，则有240种不同的方案 C.若礼仪工作必须安排2人，其余工作安排1人，则有60种不同的方案 D.已知5人身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的方案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_________种. 13.若的展开式中常数项为160，则的最小值为__________. 14.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知，. （1）求x的值； （2）求的值. 16.中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸”“京剧”“刺绣”六门体验课程. （1）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （2）计划安排A，B，C，D，E五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，一门课程只由一名教师任教，每门课程都有教师任教，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 17.已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大. （1）求该展开式中有理项的项数； （2）求该展开式中系数最大的项. 18.在下面两个条件中任选一个，补充在后面问题中的横线上，并完成解答. 条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37； 条件②：第3项与第7项的二项式系数相等. 问题：在二项式的展开式中，已知__________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）设，求的值； （3）求的展开式中的系数. 19.用0，1，2，3，4，5，6这七个数字，完成下面的问题. （1）用以上七个数字能组成多少个三位偶数（允许有重复数字）？ （2）用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数？ （3）已知椭圆，其中，则满足焦距不小于8的不同椭圆方程有多少个？ 答案以及解析 1.答案：C 解析：根据题意得.由得，整理可得，解得，经检验满足题意. 2.答案：C 解析：第1个小球放入盒子中有4种放法；第2个小球放入盒子中也有4种放法；第3个小球放入盒子中也有4种放法.只要把这3个小球放完，就做完了这件事情，所以由分步乘法计数原理可得共有种放法. 3.答案：B 解析：由题意可知，即，解得，所以含项的系数为.故选B. 4.答案：D 解析：每个区域种不同颜色的花，有种方法.这9个区域中相邻的区域有9个（13，23，34，26，48，56，67，78，89），所以红色、白色种在相邻区域有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为，故选D. 5.答案：D 解析：先进行单循环赛，有场， 胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，6支球队打3场，决出最后胜出的三个班，最后3个班再进行单循环赛，有场，所以共打了场.故选D. 6.答案：C 解析：二项式展开式的通项，，. 由得，此时， 所以所求常数项为5005.故选C. 7.答案：C 解析：第一步：将8名成员分成3组，按照2，2，4的方式来分，有种分配方案； 按照2，3，3的方式来分，有种分配方案. 第二步：将3组成员分配到3个不同的景区开展环保活动，共有种分配方案. 故符合要求的分配方案共有种，故选C. 8.答案：A 解析：设红木宫灯、檀木宫灯分别为，，楠木纱灯、花梨木纱灯分别为，，恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯分别为，.先求仅，相邻的种数，把看作一个元素， 当排在首或尾时，不同的排法有种； 当排在五个位置中第二或第四位时，不同的排法有种； 当排在第三个位置时，不同的排法有种， 故仅相邻共有种排法. 同理得仅相邻，仅相邻的2种情况，也都有96种排法. 所以有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率.故选A. 9.答案：AC 解析：由组合数性质知一定成立，A正确；，B错误； ，C正确； 由组合数性质知且，当时，单调递增，当时，单调递减，因此D错误.故选AC. 10.答案：ABC 解析：展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确； 展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确； 令可得，故C正确； 令可得，，故D错误.故选ABC. 11.答案：BCD 解析：对于A，若5人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有种选法，因此A错误； 对于B，分两步分析，先将5人分为4组，再将分好的4组安排四项不同的工作，有（种）分配方法，因此B正确； 对于C，分两步分析，在5人中任选2人，安排礼仪工作，有（种）选法，再将其余3人安排余下的三项工作，有（种）方法，则由分步乘法计数原理可得共有（种）不同的方案，因此C正确； 对于D，分两步分析，在5人中任选2人，安排在第一排有（种）排法，其余3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，剩下两人有2种排法，则有（种）不同的方案，因此D正确.故选BCD. 12.答案：36 解析：此题分两步完成：第一步，将4名同学分成3组，有种分法；第二步，将所分3组进行排列，有种排法.所以不同的安排方法共有（种）. 13.答案：4 解析：二项式展开式的通项为，令，则，所以，即，所以.因为，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为4. 14.答案：336 解析：由题意可分两种情形： ①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种， 其中一种取两个，另一种选一个，有种排法； 其次，后排有种排法，故共有种不同的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物，有种排法； 后排有种排法，此时共有种排法； 因此，共有种排法， 故答案为：336. 15.答案：（1） （2）1330 解析：（1）由已知得， 化简得，解得或. 又因为所以. （2）将代入得. 16.答案：（1）360种 （2）1140种 解析：（1）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种排法； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种排法； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法有种. 因此，所有选课的种数为. （2）①当A只任教1门时，先排A任教课程，有种，再从剩下的5门中排B的任教课程，有种，接下来剩余4门中必有2门为同一名老师任教，分三组全排列，共有种. 所以当A只任教1门时，共有种； ②当A任教2门时，先选A任教的2门有种，剩下4位教师任教四门课程，这样共有种. 所以，符合题意的课程安排共有种. 综上，教师A不任教“围棋”，教师B只能任教一门课程的课程安排方案共有1140种. 17.答案：（1）5项 （2）和 解析：（1）由题意可得，解得， 则的展开式的通项为，，. 求展开式中的有理项，需令，所以，所以有理项共有5项. （2）设第项的系数最大，则 即解得， 因为，所以或. 当时，， 当时，， 所以展开式中系数最大的项为和. 18.答案：（1） （2）0 （3）560 解析：选择①，由，解得. 选择②，由，解得. （1）展开式中二项式系数最大的项为. （2）令，则， 令，则，所以. （3）因为， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为560. 19.答案：（1）168个 （2）220个 （3）14个 解析：（1）七个数字0，1，2，3，4，5，6中，是偶数的为0，2，4，6，是奇数的为1，3，5， 组成的三位偶数允许有重复数字，则百位数字是0的情况有种， 所以允许有重复数字的三位偶数有个. （2）组成无重复数字的能被5整除的四位数，末尾数字只能为0或5. 当末尾数字为0时，有个； 当末尾数字为5时，有个. 所以组成无重复数字的能被5整除的四位数有个. （3）由椭圆方程，其中，知且. 当时，由，得整理得，所以或6， 若，则，此时满足条件的椭圆有3个； 若，则，此时满足条件的椭圆有4个. 所以满足条件的椭圆有个， 同理，当时，满足条件的椭圆也有7个. 综上，焦距不小于8的不同椭圆方程有个. 学科网（北京）股份有限公司 $$