第四章 概率与统计单元检测卷（B卷）-2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章 概率与统计 ——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册单元检测卷（B卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知随机变量X的分布列是 X 0 1 P a b 若，则( ) A.0 B. C. D.1 2.某种产品的广告支出x（万元）与销售额y（万元）之间具有线性相关关系，部分数据如表所示，y与x的回归直线方程为，当广告支出为5万元时，误差为( ) x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 A.10万元 B.20万元 C.30万元 D.40万元 3.已知离散型随机变量X的分布列，则( ) A. B. C. D. 4.有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光”.现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩.记事件A为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率( ) A. B. C. D. 5.我国成功举办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，其中高山滑雪运动给了我们速度与激情的完美展现.已知某选手高山滑雪的速度（单位：）服从正态分布，若在内的概率为0.7，则该选手的速度不低于的概率为( ) A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 6.某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分.已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为( ) A.30 B.36 C.20 D.26 7.某学校对高二学生是否喜欢阅读随机抽取100名学生进行调查，调查的数据如表所示： 喜欢阅读 不喜欢阅读 总计 男学生 30 20 50 女学生 40 10 50 总计 70 30 100 根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是( ) 附：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A.没有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关” B.有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关” C.在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关” D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关” 8.1654年，法国贵族德梅雷骑士偶遇数学家布莱兹・帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时，他们发现桌子上还剩最后一杯酒.此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆.请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是( ) A.肖恩 B.尤瑟纳尔 C.酒吧伙计 D.酒吧老板 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.在某一次考试中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( ) 附：随机变量服从正态分布，则，，. A.学生数学成绩的期望为100 B.学生数学成绩的标准差为100 C.学生数学成绩及格率超过0.8 D.学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 10.将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球.采用不放回抽取的方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止.记总抽取次数为X，下列说法正确的是( ) A. B.已知从甲袋第一次就取到了黑球，则的概率为 C. D.若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，直到黑球全部取出，记总抽取次数为Y，则 11.新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据. 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有( ) A.y与x的样本相关系数 B. C.回归直线方程经过点 D.由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知A，B独立，且，，则____________. 13.六一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）超过1100人的概率不低于0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最小为__________. 14.为了研究某疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表所示. 调查人数x 300 400 500 600 700 调查人数y 3 3 6 6 7 并求得y与x的回归直线方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为__________.（疫苗的有效率为，结果保留3位小数） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.为了了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如表： 小学及以下 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士及以上 不了解数字人民币 35 35 80 55 64 6 了解数字人民币 40 60 150 110 140 25 （1）如果将高中及以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上的学历称为“高学历”，根据所给数据，完成列联表. 低学历 高学历 总计 不了解数字人民币 了解数字人民币 总计 （2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率. （3）根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人工测雨量 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 遥测雨量 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49 0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26 并计算得，，，，，. （1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系； （2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”；满足为“Ⅱ类误差”；满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望. 附：相关系数，. 17.为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某公司将开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球，乙箱内有6个红球、4个黄球.若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，摸得两球均为红球奖150元，否则没有奖金. （1）据统计，每人的植树棵数X服从正态分布，现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间内的人数（结果四舍五入取整数）. （2）根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会.请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案. 参考数据：若，则，. 18.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响. （1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； （2）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分，若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总分数，求的分布列和期望. 19.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 56.5 31 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5 根据以上数据绘制了散点图，观察散点图，考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数. （1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本； （3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因. 参考数据（其中）： 0.34 0.115 1.53 184 5777.555 93.06 30.705 13.9 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由已知可得解得，因此，. 2.答案：A 解析：因为y与x的回归直线方程为，所以当时，.由表格知当广告支出为5万元时，销售额为60万元，所以误差为万元.故选A. 3.答案：A 解析：由离散型随机变量X的分布列，则，，由可得或，故.故选A. 4.答案：D 解析：由题知，事件A：甲和乙至少一人选择庐山共有（种）情况， 事件：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有（种）情况，则.故选D. 5.答案：C 解析：由题意可得，且，所以或，所以或，即该选手的速度不低于的概率为0.15.故选C. 6.答案：D 解析：记该同学罚球命中的次数为X，则，. 记该同学的得分为Y，则有， 该同学得分的数学期望为. 故选D. 7.答案：D 解析：. 选项A，因为，所以有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故A错误； 选项B，因为，所以没有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故B错误； 选项C，因为，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故C错误； 选项D，因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D正确.故选D. 8.答案：B 解析：由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为.先胜四局比赛结束，设决出胜负的局数为X，则，，，， 显然有， 即，所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔. 9.答案：AC 解析：数学成绩X服从正态分布，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误； 及格率，故C正确； 不及格率，优秀率，故D错误.故选AC. 10.答案：AC 解析：设从甲袋第一次就取到了黑球为事件A，则，设为事件B，则，所以，B选项错误； X可能的取值为3，4，5，，，，所以，选项A，C正确； Y可能的取值为3，4，5，，，，，，选项D错误.故选AC. 11.答案：BCD 解析：由题意可得，， ，， ， ，则y与x的样.故A错误； 由y关于x的回归直线方程为且回归直线恒过样本点中心，则有，解得，故B正确，C正确； 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确.故选BCD. 12.答案： 解析：因为A，B独立，所以与B独立，且，又，所以，所以. 13.答案： 解析：由题意可知旅客人数X超过1100人的概率不低于0.2，即，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最小为.故答案为. 14.答案：0.817 解析：，，则，则y关于x的回归直线方程为.当时，，故，由题意可得.则该疫苗的有效率为. 15.答案：（1）列联表见解析 （2） （3）没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关 解析：（1）列联表如下： 低学历 高学历 总计 不了解数字人民币 150 125 275 了解数字人民币 250 275 525 总计 400 400 800 （2）由（1）知，被调查者中低学历的有400人，其中不了解数字人民币的有150人，了解数字人民币的有250人， 设事件A为被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解， 所以. （3）由（1）知，， 所以没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关. 16.答案：（1）有很强的线性相关关系 （2）X的概率分布见解析，数学期望 解析：（1）因为， 代入已知数据，得. 所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系. （2）依题意，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组. 若从“Ⅰ类误差”和“Ⅱ类误差”数据中抽取3组，抽到“Ⅰ类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，3. 则，， ，. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望. 17.答案：（1）819 （2）见解析 解析：（1）由题知，，，所以 ， 所以1000位植树者中植树的棵数在内的人数估计为. （2）甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100， 且，，，， 则， 所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，. 乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150， ，， 则， 所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为. 所以，当，时，，建议该职工选择方案二； 当，时，，建议该职工选择方案一； 当，时，，建议该职工选择方案一； 当，时，，建议该职工选择方案一. 18.答案：（1） （2）的分布列见解析，期望为 解析：（1）设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则. 在5次射击中，恰有2次击中目标的概率. （2）设第i次射击击中目标为事件. 由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6，则 ， ， ， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 6 P . 19.答案：（1） （2）用反比例函数模型拟合效果更好；产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元 （3）需要寻找此非原料成本数据出现异样成本的原因 解析：（1）令，则可转化为， 因为，所以， 所以，所以， 所以y关于x的回归方程为. （2）y与的相关系数为 ， 因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好. 把代入得（元）. 所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元. （3）因为，所以， 因为样本标准差为 ， 所以，所以非原料成本y服从正态分布， 所以， 因为56.5在之外，所以需要寻找此非原料成本数据出现异样成本的原因. 学科网（北京）股份有限公司 $$