第四章 概率与统计单元检测卷（A卷）-2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章 概率与统计 ——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册单元检测卷（A卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知随机变量X服从正态分布，且，则( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3·15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为( ) A.0.103 B.0.301 C.0.897 D.0.699 3.下表是某工人花费的时间与加工的零件个数y的几组对照数据： x 1 2 3 4 5 y 5 9 12 15 19 根据表中数据得到的y关于x的回归直线方程为，则估计该工人花费可以加工的零件个数约为( ) A.22 B.23 C.24 D.25 4.一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床每天加工的零件数X（单位：件）均服从正态分布.假设3台车床均能正常工作，若，则这3台车床中至少有一台每天加工的零件数超过35的概率为( ) A. B. C. D. 5.某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得，经查表知，则下列判断正确的是( ) A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 B.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010 C.有的把握认为“数学成绩优秀与性别无关” D.在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关” 6.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则( ) A. B. C. D. 7.有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则( ) A. B. C. D.1 8.设.随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在内增大时( ) A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列结论正确的是( ) A.若随机变量X服从两点分布，，则 B.若随机变量Y的方差，则 C.若随机变量服从二项分布，则 D.若随机变量服从正态分布，，则 10.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表.现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则下列说法正确的是( ) x 2 3 4 5 6 y 19 25 ★ 38 44 A.看不清的数据★的值为34 B.回归直线必经过点（4，★） C.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50.9吨 11.一批产品共有10件，其中有5件一等品，3件二等品，2件三等品，则下列说法正确的有( ) A.从中一次性取3件，恰有一件一等品的概率是 B.从中一次性取3件，则至少有一件一等品的概率是 C.从中有放回地抽取3件产品，每次任取一件，则至少有一次取到一等品的概率为 D.从中有放回地抽取3件产品，每次任取一件，用X表示抽取3件产品中一等品的件数，则X的方差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知随机变量，且，则__________. 13.已知随机事件A，B，且，，条件概率，则___________. 14.已知变量y关于x的回归方程为，设，则，其一组数据如表所示. x 1 2 3 4 y e z 1 3 4 6 若，则预测y的值可能为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数. 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，. 16.某校随机调查了100位同学8月份玩手机的时间（单位：时），并将这100个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表： 玩手机时间 人数 1 12 28 24 15 13 7 将8月份玩手机时间为75小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，75小时以下者视为“手机自我管理到位”. （1）请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”； 手机自我管理到位 手机自我管理不到位 总计 男生 女生 12 40 总计 （2）根据（1）中的条件，在抽查的“手机自我管理不到位”的人中按性别分层抽样抽取5名，这5名“手机自我管理不到位”的人中恰有1位男生和1位女生喜欢体育运动，现在从这5名“手机自我管理不到位”的人中随机抽取3人，求这3个人中男女生均有，并且3个人中有人喜欢体育运动的概率. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 17.某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对1道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩. （1）通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数. （2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正确率为，多选题的正确率为，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望. 附：，，. 18.某市某航空公司对近8年（2015—2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 （1）求y关于x的回归直线方程； （2）该市该航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归直线方程，估算2024年顾客对该市该航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 19.某社区开展“学党史，知党情”大型党史知识竞赛活动.竞赛活动后，在参赛的人员中，随机抽取了100名参赛人员的成绩（满分150分）进行统计分析，将所抽取的100名参赛人员的成绩数据绘制成频率分布直方图如图所示，直方图中m，n的关系为，根据频率分布直方图中的信息解答下列问题. （1）从成绩在内的抽取的参赛人员中任取3人，求其中至少有2人的成绩在内的概率. （2）在所抽取的100人中，用分层抽样的方法，分别从成绩在，和内的参赛人员中共抽取9人，再从这9人中任取4人，设抽取的4人中成绩在内的人数为，求的分布列和数学期望. （3）若参赛人员共有1000人，现有某公司准备拿出一定资金，奖励参赛人员中成绩在120分及以上的参赛人员，并拟订了两种奖励方案.方案一：人均奖励333元；方案二：把成绩在内的记为三等，成绩在内的记为二等，成绩在内的记为一等，并按等级每人分别奖励200元、400元和600元.若你是竞赛活动的负责人，用统计知识分析，你将选择哪一种奖励方案，并说明理由. 答案以及解析 1.答案：C 解析：. 2.答案：C 解析：由全概率公式，可得任取一灯泡，在使用1000小时后不会损坏的概率为.故选C. 3.答案：A 解析：依题意，，则回归直线方程为必过点，所以，解得，所以回归直线方程为，所以当时，，即估计该工人花费可以加工的零件个数约为22个.故选A. 4.答案：C 解析：设车床每天加工的零件数超过35的台数为，由题意知每台加工的零件数超过35的概率，所以，则这3台车床中至少有一台每天加工的零件数超过35的概率.故选C. 5.答案：D 解析：，有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.所以ABC错误，故选D. 6.答案：C 解析：由分布列的性质可得，得.所以，因此.故选C. 7.答案：C 解析：由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布，则，，，所以.故选C. 8.答案：D 解析：由分布列可得， ，. 该函数图象的对称轴为直线，且该函数在上单调递减，在上单调递增，所以先减后增，故选D. 9.答案：CD 解析：对于A，若随机变量X服从两点分布，，则，故A错误； 对于B，若随机变量Y的方差，则，故B错误； 对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C正确； 对于D，若随机变量服从正态分布，，则，故，故D正确.故选CD. 10.答案：AD 解析：设看不清的数字为a，由题表可知，，，将代入回归直线方程中，得，解得，所以.所以看不清的数据★的值为34，A正确； 又回归直线过样本点的中心，B错误； 回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预计增加6.3吨，C错误； 当时，，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50.9吨，D正确.故选AD. 11.答案：ABD 解析：对于A，从中一次性取3件，恰有一件一等品的概率，故A正确； 对于B，从中一次性取3件，则至少有一件一等品的概率，故B正确； 对于C，从中有放回的抽取3件产品，每次任取一件，可知每次取到一等品的概率为，则至少有一次取到一等品的概率，故C不正确； 对于D，由题意可知随机变量X服从二项分布，即，所以，故D正确.故选ABD. 12.答案： 解析：因为随机变量，所以，所以，所以. 13.答案：0.82 解析：，，. 由乘法公式得. . 14.答案： 解析：依题意，，. 由，得， 解得，于是，则. 所以当时，. 15.答案：（1）见解析 （2）1.82亿吨 解析：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ，，， ， . 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. （2）由及（1）得. . 所以y关于t的回归方程为. 将2016年对应的代入回归方程得. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨. 16.答案：（1）列联表见解析，没有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关” （2） 解析：（1）补全列联表如下： 手机自我管理到位 手机自我管理不到位 总计 男生 52 8 60 女生 28 12 40 总计 80 20 100 ， 所以没有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”. （2）设这5名“手机自我管理不到位”的人中，2名男生记为，名女生记为，，，其中喜欢运动的为，， 则从这5名“手机自我管理不到位”的人中随机抽取3人的所有结果组成的样本点为，，，，，，，，，，共计10个样本点，且这些样本点的出现是等可能的. 其中，这3个人中男女生均有，并且3个人中有人喜欢体育运动的样本点为，，，，，，，，共计8个样本点. 故所求事件的概率. 17.答案：（1）115人 （2）分布列见解析，数学期望为 解析：（1），. 又，， ， 估计初试成绩不低于90分的有（人）. （2）Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7. ， ， ， ， ， ， 的分布列为 Y 0 2 3 4 5 7 P . 18.答案：（1） （2）20 （3）X的分布列见解析，数学期望为2 解析：（1），， 则 所以，所以. （2）当时，，所以2024年顾客对该市该航空公司投诉的次数为20. （3）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以. 19.答案：（1） （2）的分布列见解析，数学期望为 （3）见解析 解析：（1）因为，所以， 又，所以，， 所以成绩在内的有5人，成绩在内的有17人， 所以任取3人，至少有2人的成绩在内的概率是. （2）由题意成绩在，和内的分别有32人、24人和16人， 因此，抽取的9人中成绩在内的有4人，成绩在内的有3人，成绩在内的有2人， 所以的取值范围为， 所以，，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P . （3）在所抽取的这100人的成绩中，成绩在，和内的人数分别为24，16和6， 所以方案一所需费用约为（元）， 方案二所需费用约为（元）. 因为，因此，选择方案一，既能使得获奖人员得到的奖励资金总额较多，又淡化了等级意识，可以更好地发挥激励作用（也可以选择方案二，既能相对的节约资金，又激励等级竞争意识）. 学科网（北京）股份有限公司 $$