第22章二次函数解答题训练（1）2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章二次函数解答题训练（1） 1．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）． （1）求b，c的值； （2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差． 2．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？ 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　； （2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2？ （3）t为何值时△PBQ的面积最大？ 4．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果每天获得104元的利润，销售单价为多少元？ 5．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线表示的二次函数的表达式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点C在点O的正上方，且OC＝2.25m．运动员带球向点A的正后方移动了n（n＞0）米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围． 6．如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x m（宽AB不大于长BC），面积为S m2． （Ⅰ）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （Ⅱ）请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值； （Ⅲ）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1m的两扇小门，能否使围成的花圃面积为51m2？如果能，请直接写出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由． 7．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 8．某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示．（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线，其最低点坐标是（6，1））． （1）求每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式； （2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益； （3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？ 9．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/kg） 7 8 9 y（kg） 4300 4200 4100 （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 　 　；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？ 10．有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌MN的距离MP＝a．现以点M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（dm）表示球与点M之间的水平距离，y（dm）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，PB段抛物线可以看作是由PA段抛物线向左平移得到． （1）当a＝4时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； （2）已知BC段抛物线的最大高度为，且它的形状与PA段抛物线相同．若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 第22章二次函数解答题训练（1） 1．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）． （1）求b，c的值； （2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差． 【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）， ∴c＝3，y＝x2+bx+3， 将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6， ∴b＝﹣6，c＝3； （2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6， 当0≤x≤4时， ①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6； ②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3； 3﹣（﹣6）＝9， ∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9． 2．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？ 【解答】解：（1）根据题意，得 抛物线的顶点坐标为（5，4），经过（0，0）， ∴设：抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4， 把（0，0）代入，得 25a+4＝0，解得a＝﹣， 所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4＝﹣x2+x． 答：抛物线解析式为y＝﹣x2+x． （2）货船能从桥下通过．理由如下： ∵货船宽为2米，高为3米， 当x＝6时，y＝﹣（6﹣5）2+4＝3.84， ∵3.84＞3， ∴货船能从桥下通过． 答：货船能从桥下通过． 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． （1）AP＝　2t cm　，BP＝　（12﹣2t）cm　，BQ＝　4t cm　； （2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2？ （3）t为何值时△PBQ的面积最大？ 【解答】解：（1）由题意得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm， ∵AB＝12cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm， 故答案为：2t cm，（12﹣2t）cm，4t cm； （2）∵BQ＝4t cm，BP＝（12﹣2t）cm，∠B＝90°， ∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（12﹣2t）•4t＝（﹣4t2+24t）（cm2）， 即S△PBQ＝﹣4t2+24t， 由题意得：﹣4t2+24t＝32， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4， 答：当运动时间是2s或4s时△PBQ的面积为32cm2； （3）由（2）可知，S△PBQ＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36， ∵﹣4＜0， ∴当t＝3时，△PBQ的面积有最大值为36， 答：当t为3s时，△PBQ的面积有最大值． 4．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果每天获得104元的利润，销售单价为多少元？ 【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b， 将（10，30）、（16，24）代入，得：， 解得：， 所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）； （2）根据题意知W＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣x+40） ＝﹣x2+50x﹣400 ＝﹣（x﹣25）2+225， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜25时，W随x的增大而增大， ∵10≤x≤16， ∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144； （3）根据题意知，﹣（x﹣25）2+225＝104， ∴x＝14或x＝36（舍去）， 答：销售单价为14元． 5．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线表示的二次函数的表达式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点C在点O的正上方，且OC＝2.25m．运动员带球向点A的正后方移动了n（n＞0）米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围． 【解答】解：（1）∵8﹣6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入，得36a+3＝0，解得， ∴抛物线表示的二次函数的表达式为； （2）当x＝0时，， ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点（0，2.25）代入，得，解得n1＝﹣5（舍去），n2＝1， 把点（0，0）代入，得，解得n3＝﹣8（舍去），n4＝4， ∴n的取值范围为1≤n≤4． 6．如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x m（宽AB不大于长BC），面积为S m2． （Ⅰ）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （Ⅱ）请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值； （Ⅲ）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1m的两扇小门，能否使围成的花圃面积为51m2？如果能，请直接写出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（Ⅱ）∵宽AB＝x m，则长BC＝（24﹣3x）m， ∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x， 又x＞0，且10≥24﹣3x≥x， ∴≤x≤6， ∴S关于x的函数解析式为S＝﹣3x2+24x（≤x≤6）； （Ⅱ）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小， ∵≤x≤8， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为， ∴当x＝时，花圃ABCD能围成的最大面积为m2； （Ⅲ）能使围成的花圃面积为51m2．理由： 设AB＝x m，则BC＝24﹣3x+2＝（26﹣3x）m， ∴S＝x•（26﹣3x）＝﹣3x2+26x， 令S＝51，则﹣3x2+26x＝51， 解得x1＝，x2＝3， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴x≤26﹣3x≤10， ∴≤x≤， ∴x＝， 此时，BC＝26﹣3x＝26﹣17＝9（m）， ∴当AB＝m，BC＝9m时，能使围成的花圃面积为51m2． 7．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ＝， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 8．某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示．（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线，其最低点坐标是（6，1））． （1）求每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式； （2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益； （3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？ 【解答】解：（1）设每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝kx+b， 将（3，5）和（6，3）代入得， ， 解得：． ∴每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝﹣x+7； （2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：y＝a（x﹣6）2+1，把（3，5）代入得， 5＝a（3﹣6）2+1，解得a＝． ∴y＝（x﹣6）2+1，即y＝x2﹣x+17， 收益w＝﹣ x+7﹣（x2﹣x+17） ＝﹣（x﹣）2+， ∵a＝﹣＜0， ∴当x＝5时，w有最大值，w最大＝． ∴5月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元； （3）一年中销售每千克蔬菜的收益：w＝﹣（x﹣）2+， 当w＝1时，﹣（x﹣）2+＝1， 解得：x1＝，x2＝， ∵a＝﹣＜0，x为正整数， ∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月． 9．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/kg） 7 8 9 y（kg） 4300 4200 4100 （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 　y＝﹣100x+5000　；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得： ， 解得：， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣100x+5000； （2）由题意得： w＝（x﹣6）（﹣100x+5000） ＝﹣100x2+5600x﹣30000 ＝﹣100（x﹣28）2+48400， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28． ∴当x＝28时，w有最大值为48400元． ∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元； （3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400， ∴x1＝20，x2＝36， ∵a＝﹣100＜0， ∴当20≤x≤36时，w≥42000， 又∵6≤x≤30， ∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元． 10．有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌MN的距离MP＝a．现以点M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（dm）表示球与点M之间的水平距离，y（dm）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，PB段抛物线可以看作是由PA段抛物线向左平移得到． （1）当a＝4时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； （2）已知BC段抛物线的最大高度为，且它的形状与PA段抛物线相同．若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【解答】解：（1）①由题意，当a＝4时， ∴P（0，4）． 将P代入y＝﹣（x﹣10）2+b中得， 4＝﹣（0﹣10）2+b， ∴b＝6． ②由①得“直发式”模式下函数解析式为y＝﹣（x﹣10）2+6， ∴令y＝0，则0＝﹣（x﹣10）2+6， ∴x＝10+10． ∴A（10+10，0）． 又由题意可得“间发式”模式的解析式为y＝﹣（x﹣10+m）2+6（m＞0）， 同样过P（0，4）， ∴4＝﹣（0﹣10+m）2+6． ∴m＝20． ∴“间发式”模式的解析式为y＝﹣（x+10）2+6． ∴令y＝0，则0＝﹣（x+10）2+6， ∴x＝﹣10+10． ∴B（﹣10+10，0）． ∴AB＝10+10﹣（﹣10+10）＝20（dm）． 答：点A，B之间的距离20dm． （2）由题意，∵抛物线为y＝﹣（x﹣10）2+b， ∴对称轴是直线x＝10． ∴点P（0，a）关于对称轴对称的点为（20，a）． ∴AB＝PQ＝20． 设B（m，0）， 又∵A、C重合， ∴C（m+20，0）． 故可设BC段抛物线为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣20）， 又抛物线在线段BC的中点时有最高点，此时BC的中点横坐标为＝m+10， ∴y最大值为＝﹣（m+10﹣m）（m+10﹣m﹣20）＝． ∴b＝4． ∴PA段解析式为y＝﹣（x﹣10）2+4． 令x＝0， ∴y＝2，即PM＝2． ∴a＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $$