精品解析：2024年广东省惠州市中考模拟数学试题

2024年广东省惠州市九年级中考模拟卷数学 （本试卷共8页，23小题，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成书于公元一世纪左右．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零下 B. 零下 C. 零上 D. 零上 2. 下列手机屏幕上常见图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年全国粮食总产量约为13908亿斤，13908亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算不正确的是（ ） A B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x） C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对 10. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（ ） A. 16 B. 4 C. 9 D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：_____________． 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 13. 方程的解为______． 14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 15. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x是满足条件的合适的非负整数． 17. 如图，B，E，C，D四点在同一直线上，相交于点，求证：． 18. 小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，测得，， （1）求的长度（结果保留整数）； （2）若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为，根据小亮同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，，，） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. “端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元，45元，这个超市用4300元购进甲、乙两款粽子共100袋 （1）购进甲、乙两款粽子各是多少袋？ （2）市场调查发现：乙款粽子每天的销售量m(袋)与销售单价n(元)满足如下关系：，设乙款粽子每天的销售利润是w元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标． 21. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 五、解答题（三）（本大题共2 小题，每小题 12分，共24分．） 22. 如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG． （1）求证：AB=CD； （2）求证：CD2=BE•BC； （3）当CG=，BE=时，求CD的长． 23. 如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作，连结．已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）若、、三点在同一直线上，记的面积为，求证：． （3）连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省惠州市九年级中考模拟卷数学 （本试卷共8页，23小题，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成书于公元一世纪左右．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零下 B. 零下 C. 零上 D. 零上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，零上和零下相对，如果零上为正，那么零下就为负即可求解，正确理解正、负数的意义是解题的关键． 【详解】∵若气温为零上记作， ∴表示气温为零下， 故选：． 2. 下列手机屏幕上常见的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 3. 2023年全国粮食总产量约为13908亿斤，13908亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数， 表示时关键要确定的值以及的值． 【详解】解：13908亿， 故选：A． 4. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，，则A，B，C不正确， 故选：D． 5. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根，合并同类项，同底数幂的乘法，零次幂的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 运用立方根的运算可判定A；根据二次根式的加减运算可判定B；根据同底数幂的运算法则可判定C；非零数的零次幂的运算可判定D；由此即可求解． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：B ． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式组解集，再在数轴上表示即可作答． 本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴数轴表示为： 故选：D． 7. 月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，过点作于点，由垂径定理得，证明四边形是矩形，得到米，米，设该圆的半径为米，然后根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则米，， ， ， 四边形是矩形， 米，米， 设该圆的半径为米， 根据题意得：， 解得：， 即此月亮门的半径为米， 故选：C． 8. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长计算，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．连结，，根据圆周角定理可求得的度数，的度数，进而可求得，再根据弧长计算公式，即可求得答案． 【详解】连结，， ，， 的度数为，的度数为， 的度数为：， ， 的长为． 故选B． 9. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x） C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点， 且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x， ∴， ∴（20−x）2＝20x， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 10. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（ ） A. 16 B. 4 C. 9 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解． 作交的的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果． 【详解】解：如图，作交的的延长线于，作于， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， 在中，，， ，， ， 在中， ， 当时，，即 ． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，BC=AD=3， ∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG， ∴EF=BC=3，AE=AB， ∵DE=EF， ∴AD=DE=3， ∴AE==3， ∴AB=3， 故答案3． 【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x是满足条件的合适的非负整数． 【答案】（1）4；（2）； 【解析】 【分析】（1）分别进行化简绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简， 再根据分式分母不为零，确定在范围内合适的非负整数，最后再代入化简后的式子即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： x是满足条件的非负整数，且 原式 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的意义，二次根式的化简以及零指数幂的运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则，注意分式分母不为零． 17. 如图，B，E，C，D四点在同一直线上，相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定， 先由平行线的性质和平角的定义证明，再证明，即可证明． 【详解】证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ． 18. 小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，测得，， （1）求的长度（结果保留整数）； （2）若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为，根据小亮同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）的长度 （2）小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握构造直角三角形，运用锐角三角形求解是解题的关键． （1）在中，运用解直角三角形的方法可求出的值，在中，可求出的值，有次即可求解； （2）过点作，过点作于点，在中，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，根据可得点到地面的距离，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，过点作于点， 由（1）可知，，，， ∴，， 在中，，则， ∴， ∵点到地面的距离为， ∴点到地面的距离为, ∵坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，， ∴小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. “端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元，45元，这个超市用4300元购进甲、乙两款粽子共100袋 （1）购进甲、乙两款粽子各是多少袋？ （2）市场调查发现：乙款粽子每天的销售量m(袋)与销售单价n(元)满足如下关系：，设乙款粽子每天的销售利润是w元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进甲、乙两款粽子各是20袋，80袋 （2）当乙款粽子的销售单价是75元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是900元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题的关键是： （1）设购进甲、乙两款粽子各是袋，袋，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购进甲、乙两款粽子各是袋，袋， 根据题意得： 解得： 答：购进甲、乙两款粽子各是20袋，80袋． 【小问2详解】 解： ， ∴对称轴为， ∵抛物线开口向下， ∴当元时，最大（元） 答：当乙款粽子的销售单价是75元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是900元． 20. 如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点B坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得：， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 小问2详解】 解：把代入得：， 即点的坐标为：， 把代入， 得， 解得：， ∴， ， ， ， ， ∴， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 21. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 【答案】（1）100 （2）见解析 （3）1200人 （4） 【解析】 【分析】（1）利用优秀人数÷优秀人数所占百分比即可； （2）分别求出及格人数与良好人数，补画条形图即可； （3）先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可； （4）画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴王老师抽取了100名学生的参赛成绩， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：及格人数为， 良好人数， 补图如下： ； 【小问3详解】 解： ∴估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有1200人； 【小问4详解】 解：画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种， ∴两个班同时选中同一套试卷的概率为． 【点睛】本题考查从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键． 五、解答题（三）（本大题共2 小题，每小题 12分，共24分．） 22. 如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG． （1）求证：AB=CD； （2）求证：CD2=BE•BC； （3）当CG=，BE=时，求CD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形，可得结论； （2）证明△ABE∽△CBA，列比例式可得结论； （3）根据F是AC的三等分点得：AG=2BG，设BG=x，则AG=2x，代入（2）的结论解出x的值，可得CD的长． 试题解析：证明：（1）∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=∠ADC=90°，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD； （2）∵AE为⊙O的切线，∴AE⊥AC，∴∠EAB+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠ACB=90°，∴∠EAB=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2=BE•BC，由（1）知：AB=CD，∴CD2=BE•BC； （3）∵F是AC的三等分点，∴AF=2FC，∵FG∥BE，∴△AFG∽△ACB，∴ =2，设BG=x，则AG=2x，∴AB=3x，在Rt△BCG中，CG=，∴BC2=（）2﹣x2，BC=，由（2）得：AB2=BE•BC，（3x）2=，4x4+x2﹣3=0，（x2+1）（4x2﹣3）=0，x=±，∵x＞0，∴x=，∴CD=AB=3x=． 点睛：本题是圆和四边形的综合题，难度适中，注意第2和3问都应用了上一问的结论，与方程相结合，熟练掌握一元高次方程的解法． 23. 如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作，连结．已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）若、、三点在同一直线上，记的面积为，求证：． （3）连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接，，根据平行线的性质得出，即可求解； （3）延长交轴于点，得出，进而求得，根据勾股定理的逆定理可得，过点作交于点，以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，则，进而即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，， 解得： ， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，则，则， 当时，， ∴，， ∴, 连接，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 当、、三点在同一直线上， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，延长交轴于点， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 解得：或， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿边翻折，得到， ∴在直线上，且，， 过点作交于点， ∵， ∴，则， ∴， 以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则 设，则， ，， ∵是直径， ∴，则， ∴， 解得， ， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，折叠的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$