24.2.1 点和圆的位置关系课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.2.1 点和圆的位置关系 第二十四章 圆 预习反馈 1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d.则： (1)点P在圆外⇔__________； (2)点P在圆上⇔__________； (3)点P在圆内⇔__________． 2．在同一平面内，经过一点能作_______个圆；经过两个点可作________个圆；经过______________的三个点只能作一个圆． 3．经过三角形的______________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的______________的交点，叫做这个三角形的________. 学习目标 1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重、难点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. （难点） 4.了解反证法的证明思想. 自主探究 活动1:探索点与圆的位置关系 通过阅读教材，由生活例子归纳,在同一平面内,点与圆有哪些位置关系,点与圆的位置关系怎样用数量体现? 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 d r P d P r d d r r = r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 点P在⊙O 上 点P在⊙O外 d > d < 例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ （2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 例题解析 变式：点M到⊙O上点的最小距离为3cm,最大距离为19cm,那么⊙O的半径为______________. 11cm或8cm O M M 变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标. 5.练习:如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标. 美好地创造美好 一、点和圆的位置关系 用两圆一垂线法求等腰三角形动点位置. 自主探究 活动2:过不共线三点作圆 问题1:如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ 问题2:如何过两点A、B作一个圆（关键如何确定圆心）？ 过两点可以作多少个圆？ 问题3:过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆（关键如何确定圆心）？ 位置关系 有且只有 定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆. A B C D E G F ●o 归纳总结 已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作： ⊙O,使它经过点A、B、C. 作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； 3、以O为圆心，OB为半径作圆。 所以⊙O就是所求作的圆. O N M F E A B C 练一练 点O就是所求作的位置. O N M F E A B C 练一练 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？ 问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 方法: 1、在圆弧上任取三点A、B、C; A B C O 2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心; 3、以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C 试一试： 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. A B C O 1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心： 定义： 外接圆　 内接三角形 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： 自主探究 活动3:三角形与圆的关系 通过以上的活动探究发现过不在同一条支线上的三点可以作圆,说明圆与三角形存在对应关系. ●O ●O ●O 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C A B C C A B ┐ 例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 变式 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°， AB＝4，求⊙O的半径为______． 例题解析 D 例3：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 典例精析 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°； (2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中，∠DOA＝90°，∠DAO＝30° ∴OA＝ OD ＝ ,AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 活动4:探究反证法 思考:通过以上的活动探究发现过不在同一条直线上的三点可以作圆,哪过在同一条直线上的三点能作一个圆吗? l1 l2 A B C P 自主探究 反证法的定义 要点归纳 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 1.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A . 上 外 上 2.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ） A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外 B 当堂检测 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 位置关系数量化 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 一个三角形的外接圆是唯一的. 注意：同一直线上的三个点不能作圆 点P在圆环内 r≤d≤R R r P d>r 点在圆外 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 课堂小结 Lavf57.62.100 $$