精品解析：山东省泰安第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

数学开学检测限时训练 2024.9.7 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 空间任意四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算法则得到答案. 【详解】. 故选：D 2. 已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ） A. ，共线 B. ，共线 C. ，，共面 D. ，，不共面 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面向量定理可作出判断 【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，， 由共线向量定理知，A，B，C三点共线， 由共面向量定理知，，，共面. 故选：C 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 4. 已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系及夹角公式计算即可得. 【详解】， ， 则， 因为，所以， 即与的夹角是. 故选：B. 5. 已知，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的公式列出方程，求出. 【详解】由题意得，故，所以. 故选：D 6. 空间四边形中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值， 【详解】，故 所以. 故选：D． 7. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒ A. 平面PAC B. C. D. 平面平面PBC 【答案】C 【解析】 【分析】结合空间中点、线、面的位置关系，对选项逐个分析判断即可. 【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则， 又由圆的性质可知，且，平面， 则平面，所以A正确； 对于B，由A可知平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，而平面，所以，所以B正确； 对于C，假设成立，由平面，且平面，所以，而，且平面，所以平面，由A可知平面，所以，显然不成立，故假设错误，即C不正确； 对于D，由B可知，平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确. 故选：C. 【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生的推理能力与空间想象能力，属于中档题. 8. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先取正方形的中心，连接，由知为异面直线与所成的角，再在中求的正弦即可. 【详解】连，相交于点，连、， 因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角， 不妨设正方形中，，则，由平面，可得， 则，， 因为，为的中点，所以，． 故选：C. 【点睛】方法点睛： 求空间角的常用方法： （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，显然三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 10. 设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的计算公式计算可判断A；利用向量和数量积计算结合没有意义判断B；是与共线的向量，是与共线的向量，可判断C；根据数量积的计算公式计算可判断D. 【详解】对于A：因为向量为非零向量且不共线，所以，且， 所以，故A错误； 对于B：，而没有意义，故B错误； 对于C：是与共线的向量，又不一定为0，故不一定为， 是与共线的向量，又不一定为0，故不一定为，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 11. 如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ） A. B. C. A，P，三点共线 D. A，P，M，D四点共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性. 【详解】，A选项错误. ，B选项正确. 则是的中点， ， ， 则不存在实数使，所以C选项错误. ， 由于直线，所以四点共面，所以D选项正确. 故选：BD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 13. 已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理直接求解即可. 【详解】四点共面，， ，解得：. 故答案为：. 14. 点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的______心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 【答案】外心 【解析】 【分析】设在平面上的射影为，则平面，连接、、，从而得到，即可得到，即可判断. 【详解】设在平面上的射影为，则平面，连接、、， 则平面，所以，，， 又，所以， 所以， 所以为的外心. 故答案为：外心 四、解答题（共5题；共77分） 15. 如图，在四面体OABC中，设，，，G为的重心，以为空间基底表示向量，． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用三角形重心的性质和向量的三角形法则即可得出． 【详解】由G为的重心，知E为AC的中点， 所以， ． 16. 如图，四棱锥中，平面分别为线段 的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 【答案】（1）证明: 设交点为，连接，又， 又，所以四边形是菱形，则是中点， 又为中点，是中位线，， 平面，平面，平面； （2）证明:由（1）可知四边形是菱形，，又平面可得， 为中点可得，又，四边形为平行四边形，， ，，平面，又平面， 平面平面 【解析】 【分析】（1）设交点为，连接，则可根据是中位线求证，进而得证； （2）由线段关系可证，又由平面可得，进而可得，再结合四边形是菱形可得，即可求证； 【详解】（1）略； （2）略. 【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题 17. 如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）16 （2）0 （3）2 【解析】 【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解； （2）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解； （3）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【小问1详解】 如图， 设，，， 则，，，. . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 18. 如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点． （1）求的值； （2）证明：C，E，F，G四点共面． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：，因为，， 因为不共线，所以令， 即，解得， ∴. 故C，E，F，G四点共面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出向量坐标，利用数量积公式即得； （2）求出，得到四点共面. 【小问1详解】 因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又因为， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴. 【小问2详解】 略. 19. 如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且． （1）求证：； （2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】（1） 设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. （2），平面，证明如下： 要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学开学检测限时训练 2024.9.7 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 空间任意四个点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ） A. ，共线 B. ，共线 C. ，，共面 D. ，，不共面 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 空间四边形中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 7. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒ A. 平面PAC B. C. D. 平面平面PBC 8. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ） A. B. C. A，P，三点共线 D. A，P，M，D四点共面 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 13. 已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是________． 14. 点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的______心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 四、解答题（共5题；共77分） 15. 如图，在四面体OABC中，设，，，G为的重心，以为空间基底表示向量，． 16. 如图，四棱锥中，平面分别为线段 的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 17. 如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算： （1）； （2）； （3）. 18. 如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点． （1）求的值； （2）证明：C，E，F，G四点共面． 19. 如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且． （1）求证：； （2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $