1.3 空间向量及其运算的坐标表示【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1.3：空间向量及其运算的坐标表示 【考点归纳】 · 考点一、求空间点的坐标 · 考点二、空间向量的坐标运算 · 考点三、空间向量平行坐标问题 · 考点四、空间向量垂直坐标问题 · 考点五：空间向量模长坐标问题 · 考点六：　空间向量夹角坐标问题 · 考点七：空间向量坐标综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四　空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝；cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝||＝. 【例题详解】 题型一、求空间点的坐标 1．（23-24高二上·四川成都）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二、空间向量的坐标运算 4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京顺义·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 题型三、空间向量平行坐标问题 7．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东湛江）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知向量，且，则（    ） A． B． C．3 D．6 题型四、空间向量垂直坐标问题 10．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 11．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 12．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 题型五：空间向量模长坐标问题 13．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 14．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）设，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型六：　空间向量夹角坐标问题 16．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知空间向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点，，，则（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二上·浙江杭州·期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 题型七：空间向量坐标综合问题 19．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 20．（24-25高二上·全国·课前预习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 21．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 【高分演练】 一、单选题 22．（23-24高一下·天津红桥·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（    ） A．2 B． C．5 D． 24．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段的中点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期中）对于任意非零向量，，以下说法错误的是（    ） A．若，则 B．若（），则 C． D．若，则为单位向量 26．（23-24高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 27．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知空间三点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．若，则D的坐标为 28．（22-23高二上·陕西西安·期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 29．（21-22高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且=x+2x+4，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 31．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 32．（23-24高二上·宁夏固原·期末）在空间直角坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 33．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知空间向量，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，棱分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 35．（2023高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 36．（2023·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ． 37．（23-24高二上·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 38．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 四、解答题 39．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 40．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知空间中三点，，. (1)若四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标； (2)若，且，求向量； (3)若点在平面内，求的值. 41．（22-23高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 42．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3：空间向量及其运算的坐标表示 【考点归纳】 · 考点一、求空间点的坐标 · 考点二、空间向量的坐标运算 · 考点三、空间向量平行坐标问题 · 考点四、空间向量垂直坐标问题 · 考点五：空间向量模长坐标问题 · 考点六：　空间向量夹角坐标问题 · 考点七：空间向量坐标综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四　空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝；cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝||＝. 【例题详解】 题型一、求空间点的坐标 1．（23-24高二上·四川成都）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 3．（21-22高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点，利用两点的坐标即可表示出，再由两向量相等的坐标表示列出方程组，即可求出答案. 【详解】设，则， 所以，解得：，，． 所以点的坐标为． 故选：D 题型二、空间向量的坐标运算 4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加减运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 5．（23-24高二上·北京顺义·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设，则， 故，解得， 所以点坐标为 故选：C 6．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得，然后利用空间共线平行向量即可求解. 【详解】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确. 故选：A. 题型三、空间向量平行坐标问题 7．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】，， 因为，所以，解得. 故选：A. 8．（23-24高二上·广东湛江）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知向量，且，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】求出，根据向量平行得到方程组，求出，得到答案. 【详解】，因为， 设，则，解得， 所以. 故选：C 题型四、空间向量垂直坐标问题 10．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 11．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 12．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 题型五：空间向量模长坐标问题 13．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 14．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 15．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）设，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，求得向量，再利用向量的模公式求解. 【详解】解：因为向量， ，且， 所以，解得； 因为，，且， 所以，解得， 则，， 所以， 则， 故选：B 题型六：　空间向量夹角坐标问题 16．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知空间向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意直接由空间向量夹角的余弦值公式运算即可. 【详解】由题意空间向量， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：B. 17．（23-24高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标表示判断AB，根据向量模的坐标运算判断C，根据向量夹角计算公式判断D. 【详解】因为，，， 所以，，故AB错误； 因为， 所以，故C错误； 因为，故D正确. 故选：D 18．（22-23高二上·浙江杭州·期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由即可求结果. 【详解】由题意可得，则，即， 又，即，且， 所以. 故选：C 题型七：空间向量坐标综合问题 19．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【详解】（1）由题知，， 所以， 因为， 所以. （2）因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 20．（24-25高二上·全国·课前预习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长. （2）利用向量法求得与所成角的余弦值. 【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. （2），，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为．    21．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）首先求出，设，根据向量模的坐标表示得到方程，解得，再代入即可得解； （2）首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以设， 又，即，解得， 所以或； （2）因为，，， 所以， ， 所以， 又向量与互相垂直， 故，解得. 【高分演练】 一、单选题 22．（23-24高一下·天津红桥·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值. 【详解】向量，且， 所以，解得， 故选：B. 23．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系求出，进而求出，再由空间向量数量积的定义求解即可. 【详解】关于平面的对称点为，所以， 所以，即，， 所以. 故选：C. 24．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段的中点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得出，.进而根据图形关系，表示可得，代入坐标运算，即可得出答案. 【详解】因为E，F分别为线段的中点， 所以，，. 因为，，， 所以， ， 所以，. 故选：B. 25．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期中）对于任意非零向量，，以下说法错误的是（    ） A．若，则 B．若（），则 C． D．若，则为单位向量 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；根据向量共线定理可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确； 对于B选项，设（），其中为实数， 所以，所以，故B正确； 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确； 对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误. 故选：D. 26．（23-24高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意，求得，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 且，其中点可以看作球心在原点，半径为的球上的点 所以表示球上的点到点距离， 最大值为球心到点的距离再加球的半径， 即. 故选：D 27．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知空间三点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．若，则D的坐标为 【答案】D 【分析】根据空间两点距离公式判断A，根据数量积的坐标运算判断B，根据共面向量基本定理判断C，根据向量的坐标运算判断D. 【详解】因为，，故A正确； 因为，所以，故C正确; 因为，，所以，所以点在平面内，故B正确； 因为，显然不成立，故D错误. 故选：D 28．（22-23高二上·陕西西安·期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设E、F坐标，根据得出E、F坐标关系式，利用函数求最值即可. 【详解】 如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设， 则，， ，当时取得最大值. 故选：B 29．（21-22高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且=x+2x+4，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四点共面可得，即可求，进而可求、，利用空间向量夹角的坐标表示求与的夹角余弦值，进而确定其大小. 【详解】因为四点共面，又， 所以，可得，所以，， 则，， 所以，，， 所以，由， 所以，即的夹角为. 故选：C 二、多选题 30．（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解决. 【详解】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 31．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B. 【详解】由已知可得，A正确； 由于，所以在上的投影向量即为，B正确； 若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而, 所以， 上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误; 由，故，且， 所以正确． 故选：ABD． 32．（23-24高二上·宁夏固原·期末）在空间直角坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用向量模长的坐标表示可得，可知A正确；由可知，显然满足，可得B正确；当时代入计算可得，即C正确；代入利用向量数量积的坐标表示可知，可得D错误. 【详解】由可知，即A正确； 当时，则，满足，因此，即B正确； 当时，易知，所以，可知C错误； 当时，可得，满足， 可知不垂直，即D错误. 故选：AB. 33．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知空间向量，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】用空间向量的坐标运算处理即可. 【详解】由，得，故A错误； ，故B错误； 又，故C正确； ，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABD. 34．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，棱分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解ABD，根据等体积法即可求解C. 【详解】以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，    由题意得,0,,,1,，．A正确 ,0,,,1,,,0,,,1,,,0,,． ,,,,1,，, 故，B正确， ．，，所以．D正确 ,故C错误， 故选：ABD 三、填空题 35．（2023高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 【答案】9 【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐标，求出 的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【详解】因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以. 故答案为：. 36．（2023·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据，从而可求出，即可求解. 【详解】因为，所以，即，得． 故答案为：. 37．（23-24高二上·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】设，根据给定条件，借助向量的夹角公式计算即可. 【详解】设，由，得 则向量的一个坐标为：.（答案不唯一，坐标满足即可） 故答案为：.（答案不唯一） 38．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，根据夹角公式，代入坐标运算，求其最值即可. 【详解】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 39．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可； （2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可； （3）由点在平面上，设，解方程组求出即可. 【详解】（1），设， 因为，而，所以； 故或 （2），，， 由与互相垂直得：， 解得. （3）点在平面上，， ， ， 解得：. 40．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知空间中三点，，. (1)若四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标； (2)若，且，求向量； (3)若点在平面内，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到，再代入坐标，即可求解； （2）根据向量平行的定理可知，，再代入向量模的公式，即可求解； （3）利用空间向量共面可知，，再代入坐标运算，即可求解. 【详解】（1） 设点， 由题意可知，，所以， 得， 所以点的坐标为； （2） ，因为， 所以， 因为，所以，得， 所以向量或； （3） 因为点在平面上，故存在实数使得， 又，, 所以，解得. 故. 41．（22-23高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可. （2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可. （3）根据向量共面定理，建立向量与向量之间的表示，可得方程组，求解即可. 【详解】（1），， ， ． （2）因为， 所以，解得， 因为，且向量与垂直， 所以， 即， ． 所以实数和的值分别为和； （3）解：设， 则 解得， 即， 所以向量与向量，共面． 42．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$