精品解析：2023年贵州省遵义市绥阳县思源实验学校中考模拟数学试题

2023年贵州省遵义市绥阳县思源实验学校中考数学模拟试卷（1） 学校∶___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各数中最大的数是（ ）． A. 5 B. C. π D. -8 2. 下列运算正确的是（ ） A. 4ab÷2a="2ab" B. （3x2）3=9x6 C. a3•a4=a7 D. =2 3. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一块含角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC//DE，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从七年级的180名同学中任选出十名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量(单位：吨) 0.5 1 1.5 2 同学数(人) 2 3 4 1 请你估计这180名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是(　　)． A. 180吨 B. 200吨 C. 216吨 D. 360吨 6. 直线的解析式是，且图象经过第一，三，四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 8. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 12. 如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. _______． 14. 因式分解： _____． 15. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 16. 已知、、、、这五个数据，其中、是方程的两个根，这五个数据的中位数是______ ． 17. 若，则__． 18. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 三、计算题（本大题共2小题，共14.0分） 19. 计算． 20. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题（本大题共7小题，共76.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图： 请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题： （1）共抽取_____名学生进行问卷调查； （2）补全条形统计图，求出扇形统计图中“篮球”所对应的圆心角的度数； （3）该校共有2500名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数． 22. 如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 23. 如图，矩形OABC顶点A(6,0)、C（0,4），直线分别交BA、OA于点D、E，且D为BA中点． （1）求k的值及此时△EAD的面积； （2）现向矩形内随机投飞镖，求飞镖落在△EAD内的概率．（若投在边框上则重投） 24. 某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． （1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 25. 如图，分别与相切于点，点在上，且，，垂足为． （1）求证：； （2）若的半径，，求的长 26. 如图1，已知在中，，cm，cm．点由出发沿向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为cm/s．以为边作平行四边形，连接，交于点．设运动的时间为（单位）（）．解答下列问题： （1）用含有的代数式表示___________ （2）如图1，当为何值时，平行四边形为矩形？ （3）如图2，当为何值时，平行四边形为菱形？ 27. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年贵州省遵义市绥阳县思源实验学校中考数学模拟试卷（1） 学校∶___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各数中最大的数是（ ）． A. 5 B. C. π D. -8 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较方法进行解答，即可求解． 【详解】解：∵≈1.732，π≈3.14， ∴-8<<π<5，最大是5， 故选A． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. 4ab÷2a="2ab" B. （3x2）3=9x6 C. a3•a4=a7 D. =2 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、原式=2b，错误； B、原式=27x6，错误； C、原式=a7，正确； D、原式=，错误， 故选C． 3. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的定义解题即可. 【详解】从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图.熟练掌握三视图的概念是解题的关键. 4. 如图，一块含角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC//DE，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知∠C=， 又∵BC//DE， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解决此题的关键是熟练运用平行线的性质． 5. 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从七年级的180名同学中任选出十名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量(单位：吨) 0.5 1 1.5 2 同学数(人) 2 3 4 1 请你估计这180名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是(　　)． A. 180吨 B. 200吨 C. 216吨 D. 360吨 【答案】C 【解析】 【分析】本题需用样本估计总体,只要求得题目中10名同学每家的平均节水量即可认为是所有家庭的平均节水量,即可求得总节水量 【详解】设这180名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是x, x= =1.2 故180名同学的家庭一个月节约用水的总量大约 1.2×180=216(吨) 故选C 【点睛】此题考查算术平均数，用样本估计总体，掌握运算法则是解题关键 6. 直线的解析式是，且图象经过第一，三，四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据的图象经过第一，三，四象限，可得，进一步求出的取值范围，再在数轴上表示即可． 【详解】解：的图象经过第一，三，四象限 解得 的取值范围在数轴上表示为 故选：D． 7. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4， 又∵DE是中位线， ∴DE=BC=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理． 8. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握反比例函数系数的几何意义，是解答本题的关键． 设，，代入得到，，根据三角形面积公式求出，由此得到答案． 【详解】解：根据题意设： ，，代入得： ，， ， ， ， 故选：． 9. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程．分和两种情况，将变形为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：，（舍去）， 经检验，是分式方程的解； 当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，方程的解为或， 故选：D． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题.根据图象可得移动 次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【详解】解：半径为个单位长度的半圆的周长为：， 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点秒走个半圆， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， ， ， 的坐标是， 故选：． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 12. 如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、圆周角定理等知识点，作辅助线并得到是等边三角形是解题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得与的交点即为最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后求出，再根据对称性可得，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即为的最小值，从而求得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、、， 则与的交点即为的最小时的点，的最小值， ， ， 是弧的中点， ， 由对称性，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质求解可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值为它的相反数． 14. 因式分解： _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查提公因式法分解因式，观察发现两个式子有公因式，先提公因式，利用提公因式法进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 15. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 16. 已知、、、、这五个数据，其中、是方程的两个根，这五个数据的中位数是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程与平均数与中位数的求法．首先运用因式分解法解一元二次方程，再求出平均数与中位数，求中位数时应注意首先按大小顺序排列后，再找最中间的数或两个数的平均数才是中位数． 【详解】解：， 整理得：， 方程可变为：， 或， ，， ，一定为或， 将这个数从小到大排列为：，，，，， 中位数是． 故答案为：． 17. 若，则__． 【答案】2004 【解析】 【分析】原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2004． 【点睛】本题考查已知代数式的值把它代入求另一个代数式的值，解决此题的关键是合理的变形． 18. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【解析】 【详解】解：∵A(10，0)，C(0，4)， ∴OA=BC=10，OC=AB=4， 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）； 如图所示，OP=OD=5． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=， ∴此时点P坐标为（3，4）； 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）． 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，共14.0分） 19. 计算． 【答案】0 【解析】 【分析】先将锐角三角函数，二次根式，0次幂和乘方化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是熟记特殊角度的锐角三角函数值，掌握二次根式化简的方法以及0次幂的意义． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，根据分式的运算法则化简原式是解题的关键．先运算括号内的分式减法，再把除法转化成乘法，利用平方差公式运算，然后约分化简，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 四、解答题（本大题共7小题，共76.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图： 请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题： （1）共抽取_____名学生进行问卷调查； （2）补全条形统计图，求出扇形统计图中“篮球”所对应的圆心角的度数； （3）该校共有2500名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数． 【答案】（1）200；（2）作图见试题解析，108°；（3）625． 【解析】 【分析】（1）用排球的人数÷排球所占的百分比，即可求出抽取学生的人数； （2）足球人数=学生总人数﹣篮球的人数﹣排球人数﹣羽毛球人数﹣乒乓球人数，即可补全条形统计图，用360°乘以篮球人数占调查人数的百分比即可得到“篮球”所对应的圆心角的度数； （3）计算足球的百分比，根据样本估计总体，即可解答． 【详解】（1）30÷15%=200（人）． 答：共抽取200名学生进行问卷调查； （2）足球的人数为：200﹣60﹣30﹣24﹣36=50（人），补充完整的条形统计图如图所示： “篮球”所对应的圆心角的度数=360°×=108°； （3）2500×=625（人）． 答：全校学生喜欢足球运动的人数为625人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，从统计图中获取相关信息是关键． 22. 如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 【详解】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 23. 如图，矩形OABC顶点A(6,0)、C（0,4），直线分别交BA、OA于点D、E，且D为BA中点． （1）求k的值及此时△EAD的面积； （2）现向矩形内随机投飞镖，求飞镖落在△EAD内的概率．（若投在边框上则重投） 【答案】（1）k=，；（2）. 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和已知条件“D为BA中点”易求点D的坐标，把点D的坐标代入直线方程可以求得k的值；然后把y=0代入函数解析式易求点E的坐标，所以OE=2，AE=4．由三角形的面积公式来求△EAD的面积； （2）飞镖落在△EAD内的概率= . 【详解】解：（1）∵矩形OABC顶点A（6，0）、C（0，4）， ∴B（6，4）， ∵ D为BA中点， ∴ D（6，2），AD=2， 把点D（6，2）代入得k=， 令得， ∴ E点坐标为（2，0）， ∴ OE=2，AE=4， ∴==； （2）∵A（6，0）、C（0，4）， ∴OA=6，OC=4， ∴， ∴ . 【点睛】此题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积的计算依据概率的求法．求得点D、E的坐标是解题的关键点． 24. 某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． （1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 【答案】（1）购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元和220元． （2）总费用最低方案是购买A型80套，购买B型120套． 【解析】 【分析】（1）设购买一套A型课桌凳需要x元，购买一套B型课桌凳需要y元，再根据“购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元”及“购买4套A型和5套B型课桌凳共需元”列方程组即可得出答案； （2）设购买a套A型课桌凳，则购买套B型课桌凳，再根据“购买这两种课桌凳的总费用少于元”及“购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的”列一元一次不等式组，求解后得到方案情况，再分别求得方案所需金额，作对比即可得出答案． 【详解】（1）设购买一套A型课桌凳需要x元，购买一套B型课桌凳需要y元， 根据题意得： 解得： 答：购买一套A型课桌凳需要180元，购买一套B型课桌凳需要220元． （2）设购买a套A型课桌凳，则购买套B型课桌凳， 根据题意得： 解得： ∵a为整数 ∴共有2种购买方案，方案1：购买79套A型课桌凳，121套B型课桌凳；方案2：购买80套A型课桌凳，120套B型课桌凳． 方案1所需费用：（元）； 方案2所需费用：（元）． ∴方案2购买80套A型课桌凳，120套B型课桌凳所需费用最低，最低费用为40800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，找到相对应的等量关系和不等关系是解题的关键． 25. 如图，分别与相切于点，点在上，且，，垂足为． （1）求证：； （2）若的半径，，求的长 【答案】 （1）证明：如图，连接，则． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． （2）5 【解析】 【详解】解：（1）略 （2）连接，则． ∵，，， ∴，． ∴． ∴． 设，则． 在中，有． ∴．即． 26. 如图1，已知在中，，cm，cm．点由出发沿向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为cm/s．以为边作平行四边形，连接，交于点．设运动的时间为（单位）（）．解答下列问题： （1）用含有的代数式表示___________ （2）如图1，当为何值时，平行四边形为矩形？ （3）如图2，当为何值时，平行四边形为菱形？ 【答案】（1）5-t；（2）秒；（3）秒 【解析】 【分析】（1）首先利用勾股定理求得AC=10，然后表示出AM，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AO即可； （2）利用矩形的性质得到△AMN∽△ACB，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值； （3）根据菱形的性质得到EN⊥AM，根据相似三角形的性质列出比例式计算； 【详解】解：（1）\∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm． ∴由勾股定理得：AC==10cm， ∵点M由C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s， ∴CM=2tcm， ∴AM=AC-CM=10-2t， ∵四边形AEMN为平行四边形， ∴AO=AM=5-t； 故答案为：5-t； （2）当▱ANME是矩形时，MN⊥AB， ∴MN∥BC， ∴△AMN∽△ACB， ∴，即， 解得：t=， ∴当t=时，▱ANME是矩形； （3）当▱ANME是菱形时，EN⊥AM，AO=OM=5-t， 则△ANO∽△ACB， ∴，即， 解得，t=， ∴当t=时，▱ANME为菱形； 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形和菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝ 90°，∠ACO＋∠OAC＝90° ， ∴∠BCD＝∠OAC． ∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝ AC． 在△BDC和△COA中，∠ BDC＝∠COA＝90°，∠BCD ＝∠OAC，BC＝AC， ∴△BDC≌△COA（AAS）． （2） （3）存在，P1（， ）、P2（，） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得． （2）求出点B的坐标，由点B、 C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式． （3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵C点坐标为 (－ 1，0)，∴BD＝CO ＝1． ∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)． 设BC所在直线的函数关系式为y＝kx ＋b， ∴ ，解得 ．∴BC所在直线的函数关系式为y＝－x－． （3）存在 ． ∵y＝x2 ＋x－2＝ (x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝-． 若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1 ，使CP1⊥AC， ∵BC⊥AC，∴点P1 为直线BC与对轴称直线x＝－ 的交点． 由题意可得： ， 解得， ．∴P1（－，－ ）． 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2 ，使AP2⊥AC， 则过点A作A P2∥BC ，交对轴称直线x＝－于点P2 ， ∵CD＝OA，∴A（ 0，2）． 设直线AP2的解析式为：y＝－ x＋m，把A（0 ，2）代入得m＝2． ∴直线AP2的解析式为：y＝－ x＋2． 由题意可得： ，解得， ． ∴P2（－，）． ∴P点坐标分别为P1（－ ，－）、P2（－ ，）． 第1页/共1页 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