精品解析：山西孝义中学校2024-2025学年高三上学期学业水平质量检测数学试卷（1）

2024-2025学年第一学期学业水平质量检测题（1） 数学试题 说明：本试题考试时间120分钟，满分为150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “>0”是“>0”成立的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件 3. 若直线过点，则的最小值等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数​，则​（ ） A. ​ B. 1 C. ​ D. 5 7. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 经过点作曲线的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式中，推理正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 的值域为 D. 的值域为 11. 若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 13. 的单调增区间是________. 14. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．若，则曲线在处的曲率是_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简下列各式： （1）； （2） 16. 已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）． （Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； （Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 17. 设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性与极值； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期学业水平质量检测题（1） 数学试题 说明：本试题考试时间120分钟，满分为150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 2. “>0”是“>0”成立的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,所以“”是“”成立的充分非必要条件 考点：充分条件与必要条件 3. 若直线过点，则的最小值等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C． 考点：基本不等式. 4. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质判定,利用指数幂的运算化为同底数的幂后利用指数函数的性质可以判定，从而得到结论. 【详解】, , 故选D. 【点睛】本题考查利用指数、对数函数的性质比较大小问题，关键是熟练掌握和运用指数、对数函数的单调性. 5. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断. 【详解】因为定义域为， 则，所以函数的对称中心为， 所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数， 该函数的对称中心为，故函数为奇函数. 故选：A. 6. 已知函数​，则​（ ） A. ​ B. 1 C. ​ D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数运算求得. 【详解】， 令得. 故选：B 7. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解. 【详解】因为，所以. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，即可 令，则 由函数单调性的性质知，在上减函数， ，即. 所以实数的取值范围为。 故选：A. 8. 经过点作曲线的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点坐标，写出切线方程 把代入，研究方程根的情况即可. 【详解】因为， 设切点为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得即：或， 所以，此时，切点为； 或 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式中，推理正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，分，，三种情况，得到，故A正确；BCD选项，根据不等式性质进行判断. 【详解】A选项，显然均不为0， 若，此时，不合要求， 若，此时，满足要求，所以， 若，此时，不合要求， 故，A正确； B选项，因为，所以，， 两边同时乘以，得，B错误； C选项，，故，则，, 不等式两边同时乘以，得，C正确； D选项，由不等式性质得到，若，则，D正确. 故选：ACD 10. 若，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 的值域为 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，B，先判断的定义域是否关于原点对称，再求出，即可判断函数的奇偶性；对C，D，先对利用分离常数法进行化简，再根据指数函数的值域以及不等式的性质即可求出的值域. 【详解】解：对A，由知：， 解得：， 故的定义域为：且关于原点对称， ， 即为奇函数，故A错； 对B，由A知为奇函数，故B对； 对C，， ， 或， 则或， 即或， 即或， 即或， 故的值域为，故C对； 对D，由C知的值域为，故D错. 故选：BC. 11. 若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项. 【详解】设切点为，， 所以切线的斜率， 则此曲线在P处的切线方程为， 又此切线过坐标原点，所以， 由此推出有两个不等的实根，所以，解得或， 故选：AD． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的概念，求出，又，求出即可得到答案. 【详解】因为， 根据导数的概念可得，， 即，所以. 又，所以. 故答案为：2. 13. 的单调增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性求解方法求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 因为二次函数在单调递减，单调递增， 所以的单调增区间是. 故答案为：. 14. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．若，则曲线在处的曲率是_______ 【答案】1 【解析】 【分析】依题意，对函数分别求和，再将点的横坐标代入曲率表达式计算即得. 【详解】由求导得，，再求导得，， 依题意，曲线在处的曲率为. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简下列各式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助指数幂的运算法则化简计算即可得； （2）借助对数运算法则化简计算即可得. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 . 16. 已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）． （Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； （Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 【答案】（I）；（II）. 【解析】 【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围. 试题解析：． （Ⅰ）由题意得，解得． （Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴即 ∴ ∴a的取值范围是 考点：导数的几何意义. 17. 设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图与轴没有公共点， 所以的图象在轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得， 故即. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性与极值； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） ①当时，在R上单调递增，无极大值也无极小值； ②当，在上单调递减，在单调递增. 函数有极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案. （2）时，，令，求函数的最小值，得到答案. 【小问1详解】 ，. ①当时，恒成立， 在R上单调递增，无极大值也无极小值； ②当，时，， 时，， 在上单调递减，在单调递增. 函数有极小值为，无极大值. 【小问2详解】 若对任意，恒成立， 则恒成立，即. 设，则，令， 解得，当时，，当时，， 在上为减函数，在上为增函数，， ，当时满足对任意，恒成立， 实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $