4.1 指数、4.2 指数函数 讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1 指数 与 4.2指数函数 知识点梳理 重点1 根式 1. n次方根的概念 如果，且，那么叫做的次方根． 2. n次方根的性质 （1）当是奇数时，的次方根用符号表示； （2）当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；负数没有次方根 （3）0的次方根是0，记作． 3. 根式的概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，． 4. 根式的性质 （1） （n＞1，且n∈）； （2） 当为奇数时，； （3） 当为偶数时， ． 例1.___________. 答案：-6 例2.若，则实数a的取值范围是__________. 答案： 补充练习：等于_________. 重点2 分数指数幂 1.正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0． 2.正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义． 3.分数指数幂的运算性质 ① ② ③ 例3.计算=__________. 答案： 补充练习：设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是____________. 例4.用分数指数幂的形式表示下列各式. （1） （2）补充练习 解答：（1）= 例5.（幂函数综合运用）已知求证：= 证明： 则 ∴. 又∵. 由得 ∴ ∴= 重点3 指数函数的概念 1. 指数函数的定义 一般地，函数且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2. 指数函数的结构特征 （1）形如.（2）底数a满足a＞0，且a≠1.（3）指数是x. 判断一个函数是否是指数函数关键看三点：系数，底数和指数.如等都不是指数函数.函数 称为指数型函数. 例6.（结构特征考查）若函数是指数函数，则a的值为___________. 答案;2 补充练习：已知指数函数的图象过点，则a=__________. 重点4 指数函数的图象与性质 函数名称 指数函数 定义 ( 0 1 ) ( 0 1 )函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 例7.（指数型函数定义域与值域）求下列函数定义域： （1） （2） 解析：（1） （2） 补充练习：（1）函数的值域是___________. （2） 若函数___________. 例8.（指数函数的单调性）已知函数. （1）求函数定义域和值域. （2）确定函数的单调区间. 例9.（指数函数的最值或值域）如果函数在上的最大柱子是14，则a的值为___________. 例10.（指数函数图象运用）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是____________. 答案：. 补充练习：方程的实数解的个数为____________. 例11.（指数函数综合运用）设函数是定义域为R的奇函数. （1）求k的值. （2）若，判断函数的单调性（不需要证明），并求不等式的解集. 补充练习：已知定义在R上恒不为0的函数，求证： （1） . （2） 若 学科网（北京）股份有限公司 $$