2.1等式性质与不等式性质-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 1.不等式的概念 (1)用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． (2)用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3.理解 (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 4.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审题：审清题意，明确关键词语：至多、至少、大于等． (2)设元：适当地设未知数表示变量． (3)列式：用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 知识点2 比较大小 1.作差法 （1）基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 (2)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (3)作差法比较两个实数大小的基本步骤 2.作商法 (1)对于两个正值，可采用作商的方法，比较商与1的大小． (2)作商法比较两个实数大小的基本步骤： 作商➡变形➡判断商与1的大小➡得结论 (3)适用范围：作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较 3.中介值比较法 (1)实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值. (2)关键点：此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点3 等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点4 不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 2.理解 (1)若a>b>0，则0<<；若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 3.利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)特殊值排除法，需遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 4.利用不等式的性质证明不等式 (1)实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 5.利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 思路方法总结 1.用不等式表示不等关系的思路方法 （1）审题：认真审题，找出数量关系 （2）设元：设出所求量，并确认所求量满足的不等关系； （3）关键词：找出体现不等关系的关键词，比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”，“超过”“不超过”等 （4）列式：用代数式表示相应各量，并用不等号连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到． 2.比较大小的方法 （1）作差法:常用于代数式和根式的大小比较 步骤：作差➡变形➡判断差的符号➡得出结论． ②作商法的． （2）作商法：常用于幂式、积式、分式间的大小比较 步骤：作商➡变形➡判断商与1的大小➡得出结论 （3）介值比较法：实质是不等式的传递性 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． （4）平方法：对两式先平方，再比较大小． 3.代数式的取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 典例·举一反三 题型一 不等关系的表示 例1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 3．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组： ． 题型二 作差法比较大小 例2．设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 跟踪训练 1．若，设，，则M，N的大小关系是 ． 2．比较大小： ． 3．设，比较与的值的大小． 题型三 作商法比较大小 例3．设，，则（    ）． A． B． C． D． 跟踪训练 1．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 2．已知，试比较和的大小. 3．已知，试比较与的大小. 题型四 不等式性质的应用 例4．对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 跟踪训练 1．对于任意实数，，，，命题 ①若 ，，则 ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，，则． 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型五 利用不等式性质求范围 例5．若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 跟踪训练 1．已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 3．已知且满足，则的取值范围是 . 题型六 不等式的证明 例6．证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 跟踪训练 1．已知、是正实数，且，证明： (1)；(2). 2．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 3．证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 题型七 糖水不等式及其应用 例7．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜.对于，，下列不等式正确的有： A． B． C． D． 3．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 等式性质与不等式性质 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 1.不等式的概念 (1)用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． (2)用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3.理解 (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 4.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审题：审清题意，明确关键词语：至多、至少、大于等． (2)设元：适当地设未知数表示变量． (3)列式：用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 知识点2 比较大小 1.作差法 （1）基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 (2)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (3)作差法比较两个实数大小的基本步骤 2.作商法 (1)对于两个正值，可采用作商的方法，比较商与1的大小． (2)作商法比较两个实数大小的基本步骤： 作商➡变形➡判断商与1的大小➡得结论 (3)适用范围：作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较 3.中介值比较法 (1)实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值. (2)关键点：此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点3 等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点4 不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 2.理解 (1)若a>b>0，则0<<；若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 3.利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)特殊值排除法，需遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 4.利用不等式的性质证明不等式 (1)实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 5.利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 思路方法总结 1.用不等式表示不等关系的思路方法 （1）审题：认真审题，找出数量关系 （2）设元：设出所求量，并确认所求量满足的不等关系； （3）关键词：找出体现不等关系的关键词，比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”，“超过”“不超过”等 （4）列式：用代数式表示相应各量，并用不等号连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到． 2.比较大小的方法 （1）作差法:常用于代数式和根式的大小比较 步骤：作差➡变形➡判断差的符号➡得出结论． ②作商法的． （2）作商法：常用于幂式、积式、分式间的大小比较 步骤：作商➡变形➡判断商与1的大小➡得出结论 （3）介值比较法：实质是不等式的传递性 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． （4）平方法：对两式先平方，再比较大小． 3.代数式的取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 典例·举一反三 题型一 不等关系的表示 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据工资预算以及工人工资列出不等式. 【详解】依题意，请工人满足的关系式是， 即. 故选：D 跟踪训练 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案. 【详解】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得． 故选：B． 2．某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意直接列不等式即可求解. 【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板， 所以， 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板， 所以. 故选：BC. 3．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组： ． 【答案】 【分析】由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得． 【详解】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以 故答案为： 题型二 作差法比较大小 2．设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用作差法比较大小. 【详解】由题意可知：， 则， 因为，则， 可得，即. 故选：B. 跟踪训练 1．若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合作差法分析判断. 【详解】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 2．比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：>. 3．设，比较与的值的大小． 【答案】 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】 ， 因为，所以， 所以，所以. 题型三 作商法比较大小 3．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 跟踪训练 1．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 2．已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 3．已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 题型四 不等式性质的应用 4．对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 跟踪训练 1．对于任意实数，，，，命题 ①若 ，，则 ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，，则． 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，可通过举反例的方式判断命题真假. 【详解】命题①若 ，，当时， ，故命题①为假命题； 命题②若 ，当时，则，故命题②为假命题； 命题③若 ，则，正确，故命题③为真命题； 命题④若 ，当时，，故命题④为假命题； 命题⑤若 ，，当，，，时，则，故命题⑤为假命题; 有1条真命题. 故选：A. 2．下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 3．已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质判断CD，再由特殊值判断AB. 【详解】A选项，，，，满足，但，A错误； B选项，由，是一个反例，B错误； C选项，由可得，则，C正确； D选项，，D正确； 故选：CD. 题型五 利用不等式性质求范围 5．若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 【答案】B 【分析】利用整体法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】设，故且， 所以，故， 由于，，所以，， 故最小值为，此时， 故选：B. 跟踪训练 1．已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的取值范围，求出的取值范围. 【详解】由题意得，所以． 故选：B. 2．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 3．已知且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可. 【详解】设，可得， 解得，， 因为可得， 所以. 故答案为：. 题型六 不等式的证明 6．证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明； （2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到. 【详解】（1）证明：， 因为，，所以，， 又bd＞0，所以，， 即. （2）证明：因为a＞b＞c＞0， 所以有，，，， 则，， 即有，成立； 因为，，所以，， 又，所以，成立. 所以，有. 跟踪训练 1．已知、是正实数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式证明出，即可证得结论成立； （2）利用配方法以及提公因式的方法可证得结论成立. 【详解】（1）证明：因为、是正实数，则， 当且仅当时，等号成立，故. （2）证明： ， 当且仅当时，等号成立，故. 2．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 3．证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 又因为，所以，所以． （2）证明：由 ， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 题型七 糖水不等式及其应用 7．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据生活常识可知，糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，即可解出． 【详解】因为糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，，所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于容易题． 跟踪训练 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 2．已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜.对于，，下列不等式正确的有： A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，可以得到一个不等式，根据这个不等式所反应的事实对四个选项逐一判断即可. 【详解】由题意可知，可以得到不等式，若，，则有，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得：，因此选项C是正确的； 对于选项B：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项B不是正确的； 对于选项D：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项D不是正确的. 故选：AC 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了数学知识迁移能力，属于中档题. 3．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$