1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 ·人教A版选择性必修第一册· 思 情境引入 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？ 思 新知探究 问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 定点O P p 思 新知探究 问题2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l? 思 新知探究 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 思 新知探究 (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使 . (3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 . 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 知识梳理 思 新知探究 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 思 典例解析 例1　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于 √ 解析　∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ， ∴y－z＝0. 思 典例解析 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为__________________. (0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一) 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). 思 新知探究 知识梳理 思 新知探究 思 新知探究 3.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 思 典例解析 例2:如图示，在长方体中，，是的中点，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求直线的方向向量; (2)求平面的法向量; (3)求平面的法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 M （1）方向向量为(0,-2,2) (2)因为轴垂直于平面， 所以是平面的一个法向量. 思 典例解析 例2: (3)求平面的法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 M 解：因为是的中点， 所以，的坐标分别为，，. 因此，. 设是平面的法向量， 则，. 所以， 所以，取，则，. 于是是平面的一个法向量. 设法向量 建系 写点坐标 写平面内两向量坐标 列方程组 赋非零值 思 方法小结 利用待定系数法求法向量的步骤 设向量 设平面法向量n=(x,y,z) 列方程组 选向量 在平面内选取两个不共线向量AB,AC 取x,y,z中一个为非零值(常取±1) 赋值 结论 得到平面的一个法向量 n·AB=0 n·AC=0 列出等式 赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量. 思 练习巩固 1:如图,在四棱锥中，底面是正方形，，，是的中点，求平面和平面的法向量. x y z 解：在正方形中，， 又面，所以、、两两垂直， 以为原点，、、所在直线为、、轴建系如图， 则， 所以，，， 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，，于是是平面的一个法向量. 检 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.空间中点、直线和平面的向量表示 点→点+位置向量 线→点+方向向量 平面→点+法向量 2.求直线的方向向量 3.求平面的方向向量 练 课后作业 优化学案、小本 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. 如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta， ① 或＝＋t. ② 1.设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ta，即＝t. ＝＋ta ＝＋t A.0 B.1 C. D.3 ∴＝(－1,2－y，z－3)， 故设＝km. ∴解得 解析　因为 DD1∥AA1，＝(0,0,1)， 因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)， 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. {P|a·＝0}. $$