第8章 数学建模活动(一)（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　走近数学建模 §2　数学建模的主要步骤 §3　数学建模活动的主要过程 学业标准 素养目标 1．了解数学建模的过程和意义． 2．掌握数学建模的步骤．(重点) 3．了解数学建模活动的主要过程．(难点) 1．通过数学建模活动，培养数学建模核心素养． 2．借助建模活动的实例，提升数据分析、直观想象、数学运算核心素养． [对应学生用书P194] 导学1　数学建模及数学建模的主要步骤 1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建数学模型解决问题的过程，是数学应用的重要形式． 2．数学建模的主要步骤 (1)__提出__问题；(2)__建立__模型；(3)__求解__模型；(4)检验结果． 导学2　数学建模活动的主要过程 数学建模活动是微科研，研究过程包括__选题__、__开题__、__做题__、__结题__四个环节． [对应学生用书P194] 一、数学建模活动的实例 1．观察实际情景，发现和提出问题 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题．为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型． 2．收集数据 我们可以利用秒表、温度计等工具(或用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据． 例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据． 表1 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 3．分析数据 茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型． 设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据表1，画散点图(图1). 图1 观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R，0＜a＜1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律． 4．建立模型 根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60. 为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分钟(y－25)的值与上一分钟(y－25)值的比值，列出表2. 表2 x 0 1 2 3 4 5 y－25 60.00 54.19 49.75 46.19 43.19 40.10 比值 0.903 2 0.918 1 0.928 4 0.935 1 0.928 5 计算各比值的平均值，得a＝(0.903 2＋0.918 1＋0.928 4＋0.935 1＋0.928 5)≈0.922 7. 我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型y＝60×0.922 7x＋25(x≥0).① 5．检验模型 将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律． 图2 6．求解问题 将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得60×0.922 7x＋25＝60. 解得x＝log0.922 7. 由信息技术得x≈6.699 7. 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min. 二、数据建模活动的选题 请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动．可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个： 1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 2．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重？ 3．用电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法． 4．估计阅读一本书所需要的时间． 也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究． 三、数学建模活动的要求 1．组建合作团队 数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3～5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告． 2．开展研究活动 根据开题报告所规定的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题． 3．撰写研究报告 以小组为单位，撰写一份研究报告． 4．交流展示 (1)对同一个课题，先由3～4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短．在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告．选定代表，制作向全班汇报的演示文稿． (2)与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足．开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动． [时间120分钟，满分150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3} B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0} 解析　由B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，A∪B＝{－1，1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{－2，0}，故选D. 答案　D 2．对一个样本量为100的数据分组，各组的频数如下表： 区间 [17，19) [19，21) [21，23) [23，25) [25，27) [27，29) [29，31) [31，33] 频数 1 1 3 3 18 16 28 30 估计小于29的数据大约占总体的(　　) A．16% B．40% C．42% D．58% 解析　由表格可以看出，样本中小于29的数据的频数为1＋1＋3＋3＋18＋16＝42， ∵样本容量为100， ∴样本中小于29的数据的频率为， ∴估计小于29的数据大约占总体的42%.故选C. 答案　C 3．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，即c≤－1.故由c＝－1可以推出f(x)在R上递增；但f(x)在R上递增时，c不一定等于－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件． 答案　A 4．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.则当x∈[1，3]时，f(x)的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　 B． C．－2 D．－ 解析　当x<0时，f(x)＝－， 在[－3，－1]内，当x＝－3时，f(x)有最大值2， 因为f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称， 所以f(x)在[1，3]内存在最小值－2. 答案　C 5．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　) A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 解析　因为x>0，y>0，x＋2y＝2， 所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立． 所以xy有最大值，且最大值为. 答案　C 6．某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35岁以下 40 30 70 35～50岁 27 13 40 50岁以上 8 2 10 现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是(　　) A．该教职工具有本科学历的概率低于60% B．该教职工具有研究生学历的概率超过50% C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10% D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10% 解析　该教职工具有本科学历的概率P＝＝＝62.5%>60%，故A错误； 该教职工具有研究生学历的概率P＝＝＝37.5%<50%，故B错误； 该教职工的年龄在50岁以上的概率P＝＝≈8.3%<10%，故C错误； 该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率P＝＝＝12.5%>10%，故D正确． 答案　D 7．(2022·新高考全国卷Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　总事件数为C＝＝21， 第一个数取2时，第二个数可以是3，5，7； 第一个数取3时，第二个数可以是4，5，7，8； 第一个数取4时，第二个数可以是5，7； 第一个数取5时，第二个数可以是6，7，8； 第一个数取6时，第二个数可以是7； 第一个数取7时，第二个数可以是8； 所以P＝＝＝. 答案　D 8．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a 解析　a＝log29－log2＝log2(3)， b＝1＋log2＝log2(2)， c＝＋log2＝log2， 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 且2>3>，所以b>a>c. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位：分钟)进行了调研，根据统计数据制成折线图如下． 下列说法正确的是(　　) A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30 B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72 C．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小 D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 解析　由题图可知，班级甲的数据从小到大依次为30，35，55，65，70，70，72.班级乙的数据从小到大依次为30，30，35，65，83，88，90，所以班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，A选项正确；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，B选项错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差为72－30＝42，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差为90－30＝60，所以班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差较小，C选项正确；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值为，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的平均值为，所以班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值较小，D选项错误，故选AC. 答案　AC 10．定义运算a⊕b＝设函数f(x)＝1⊕2－x，则下列命题正确的有(　　) A．f(x)的值域为[1，＋∞) B．f(x)的值域为(0，1] C．不等式f(x＋1)<f(2x)成立的范围是(－∞，0) D．不等式f(x＋1)<f(2x)成立的范围是(0，＋∞) 解析　由函数f(x)＝1⊕2－x，有f(x)＝ 即f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示，根据函数图象，得f(x)的值域为[1，＋∞)，A正确．若不等式f(x＋1)<f(2x)成立，由函数图象有或 解得x<0，C正确．故选AC. 答案　AC 11．小明与小华两人做游戏，则下列游戏中公平的是(　　) A．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若向上的点数为奇数则小明获胜，若向上的点数为偶数则小华获胜 B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，若恰有一枚正面向上则小明获胜，若两枚都正面向上则小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，若扑克牌是红色的则小明获胜，若扑克牌是黑色的则小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，若两人写的数字相同则小明获胜，若两人写的数字不同则小华获胜 解析　在A中，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数的概率均为，故A中的游戏公平；在B中，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上的概率P＝×＋×＝，两枚都正面向上的概率P′＝×＝，故B中的游戏不公平；在C中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率均为，故C中的游戏公平；在D中，小明、小华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同的概率P＝×＋×＝，两人写的数字不同的概率P′＝1－P＝，故D中的游戏公平． 答案　ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“是整数”的概率为______． 解析　记取出数为(a，b)，所有可能结果为(2，3)，(2，6)，(3，2)，(3，6)，(6，2)，(6，3)，共6种，满足“是整数”的结果有(6，2)，(6，3)，共2种，所以所求概率为P＝＝. 答案　 13．若函数f(x)＝有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为________． 解析　令f(x)＝0，当x≥0时，由＝0得x＝0，即x＝0为函数f(x)的一个零点， 故当x<0时，2x－b＝0有一解，得b∈(0，1). 答案　(答案不唯一) 14．已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是________． 解析　f(x)＝|ln x|的图象如图所示，因为0<a<b，且f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|且0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ab＝1.所以2a＋b≥2＝2，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时等号成立． 答案　[2，＋∞) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a∈N＋，c∈N＋)满足：①f(1)＝5；②6<f(2)<11. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对任意x∈[1，2]，都有f(x)≥2mx＋1成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)∵f(1)＝5，∴5＝a＋c＋2， ∴c＝3－a. 又6<f(2)<11，∴6<4a＋c＋4<11， ∴－<a<. 又a∈N＋，∴a＝1，c＝2， ∴f(x)＝x2＋2x＋2. (2)设g(x)＝f(x)－2mx－1＝x2－2(m－1)x＋1，x∈[1，2]， 则由已知得 当m－1≤1，即m≤2时，g(x)min＝g(1)＝4－2m≥0，此时m≤2. 当1<m－1<2，即2<m<3时， g(x)min＝g(m－1)＝1－(m－1)2≥0，此时无解． 当m－1≥2，即m≥3时，g(x)min＝g(2)＝9－4m≥0，此时无解． 综上所述，实数m的取值范围是(－∞，2]. 16．(15分)现有某种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食附赠玩具A，B，C中的一个．对某零售店售出的100袋零食中附赠的玩具类型进行追踪调查，得到以下数据： BBABC　ACABA　AAABC　BABAA　CAAAB ABCCC　BCBBC　CABCA　BACAB　BCBCB BCCCA　BCCAA　BCCCB　ACCBB　BACAB ACCAB　BBBAA　CABCA　BCBBC　CABCA (1)能否认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同？请说明理由； (2)假设每袋零食随机附赠玩具A，B，C是等可能的，某人一次性购买该零食3袋，求他能从这3袋零食中集齐玩具A，B，C的概率P. 解析　(1)答案一：能．假设购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同，此时购买一袋该零食获得每一款玩具的概率均为.对统计数据进行整理可得，购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的频率分别是32%，35%，33%，与假设中的概率非常接近，故可以认为假设成立，即能够认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同． 答案二：不能．对统计数据进行整理，可得购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的频率分别是32%，35%，33%，其中35%－32%＝3%，差别较大，故不能认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同．(言之有理即可) (2)依题意，将其购买的第一袋、第二袋、第三袋零食中附赠的玩具按顺序列出，可知共有27种不同的可能，列举如下： AAA　 AAB　 AAC　 ABA　 ABB　 ABC ACA ACB ACC BAA BAB BAC BBA BBB BBC BCA BCB BCC CAA CAB CAC CBA CBB CBC CCA CCB CCC 其中，可集齐三种玩具的情况有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种(以下划线形式标出)，而每种可能出现的机会相等，根据古典概型的概率计算公式知P＝＝. 17．(15分)有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数型函数变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q＝Q0e－0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量． (1)随着时间t的增加，臭氧的含量是增加的还是减少的？ (2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失？(参考数据：ln 0.5≈－0.69) 解析　(1)对于函数Q＝Q0e－0.002 5t，显然Q>0. (2)令＝＝e－0.002 5t＝， 解得－0.002 5t＝ln ≈－0.69，解得t＝276.故估计276年以后将会有一半的臭氧消失． 18．(17分)随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意度的调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表(单位：人次). 满意度 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中抽取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机抽取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？(直接写结果) 解析　(1)设这个人恰好对生产的酸奶满意为事件A，总人次为500， 共有100＋120＋150＝370人对酸奶满意， 所以P(A)＝＝. (2)用频率估计概率，由已知可得抽取老年人对生产的鲜奶满意的概率P(B)＝，抽取青年人对生产的鲜奶满意的概率P(C)＝，设这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为P(D)，则P(D)＝2×××＋×＝， 所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为. (3)青年人． 19．(17分)(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c).当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值． 解析　(1)由题意知(c－95)·0.002＝0.5%⇒c＝97.5， q(c)＝0.01×2.5＋5×0.002＝0.035＝3.5%. (2)当c∈[95，100]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)·0.002＋(100－c)·0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82≥0.02. 当c∈(100，105]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)·0.012＋(105－c)·0.002＝0.01c－0.98＞0.02， 故f(c)＝ f(c)min＝0.02. 学科网（北京）股份有限公司 $$