第2章 2.1 第1课时 函数概念(一)（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§2　函　数 2．1　函数概念 学业标准 素养目标 1．理解函数的概念，了解构成函数的要素．(难点) 2．能求简单函数的定义域、值域．(重点) 3．会判断两个函数是否为同一函数． 1．通过对函数概念的理解提升数学抽象等核心素养． 2．通过求函数的定义域、值域提升逻辑推理，数学运算等核心素养． 第1课时　函数概念(一) [对应学生用书P55] 导学　函数概念 　初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？ [提示]　初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量． 　因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？ [提示]　因变量y随自变量x的变化而变化． 　任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ [提示]　不一定．只有非空数集之间才能建立函数关系． ◎结论形成 函数的定义：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的__每一个__数x，在集合B中都有__唯一确定__的数y与之对应，那么就把__对应关系__f叫作定义在集合A上的一个函数，记作__y＝f(x)，x∈A__．其中集合__A__叫作函数的定义域，x叫作自变量，与x值对应的y值叫作__函数值__，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． [提醒]　(1)集合A，B是非空数集，值域C⊆B. (2)函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．(　　) (2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) (4)在研究函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(　　) 解析　(1)f(x)是一个符号，“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示． (2)根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一的y与之对应． (3)在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集． (4)同一个题中，为了区别不同的函数，常采用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，则其函数值不可能是(　　) A．4　　　　　　　　　　　　 B．3 C．0 D．－1 解析　x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝3. 答案　A 3．已知f(x)＝，则f(2)＝(　　) A．1 B． C． D． 解析　f(2)＝＝. 答案　C 4．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析　依题意 解得x∈(－∞，0)∪(0，1]. 答案　(－∞，0)∪(0，1] [对应学生用书P56] 题型一　函数的概念 　判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N＋，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应． [解析]　(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数． (4)集合A不是数集，故不是函数． 判断对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A，B是否为非空数集． (2)判断A中任一元素在B中是否有唯一的元素与之对应．满足上述两条，则该对应关系是函数关系． [触类旁通] 1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析　由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数． 答案　C 题型二　求函数的定义域 　求下列函数的定义域． (1)f(x)＝；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋ . [解析]　(1)∵x≠2时，分式有意义， ∴这个函数的定义域是{x|x≠2}． (2)∵3x＋2≥0，即x≥－时，根式才有意义， ∴这个函数的定义域是. (3)∵要使函数有意义，必须 ⇒ ∴这个函数的定义域是{x|－1≤x＜2}． [素养聚焦]　通过求函数的定义域，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 求函数定义域的步骤 [触类旁通] 2．求下列函数的定义域． (1)f(x)＝2x＋3； (2)f(x)＝·＋2； (3)y＝. 解析　(1)函数f(x)＝2x＋3的定义域为R. (2)要使函数有意义，需满足解得1≤x≤4.所以函数f(x)＝· ＋2的定义域为{x|1≤x≤4}． (3)要使函数有意义，需满足1＋x≠0，解得x≠－1.所以函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞). 题型三　函数对应关系的应用一题多变 　已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R). (1)求f(1)，g(1)的值； (2)求f(g(x)). [解析]　(1)f(1)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝＝＝－(x∈R，且x≠－2). [母题变式] 1．(变结论)在本例条件下，求g(f(1))的值及f(2x＋1)的表达式． 解析　g(f(1))＝g(1)＝1＋4＝5. f(2x＋1)＝＝－. 2．(变条件、变结论)若将本例g(x)的定义域改为{0，1，2，3}，求g(x)的值． 解析　因为g(x)＝x＋4，x∈{0，1，2，3}， 所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7. 所以g(x)的值为4，5，6，7. 函数求值的方法及关注点 1．方法 (1)求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 2．关注点 用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)求f(3)，f(4)，f(g(3))及f(g(4))的值． (2)求f(g(x))，并证明f(x)＋f(g(x))为常数． 解析　(1)f(3)＝＝－， f(4)＝＝－， f(g(3))＝f＝＝， f(g(4))＝f＝＝. (2)因为f(x)＝，则 f(g(x))＝f＝＝， 所以f(x)＋f(g(x))＝＋＝＝＝2，为常数． [缜密思维提能区]　易错辨析 因代数式变形不等价而致错 [典例]　求函数y＝的定义域． [错解]　因为y＝)＝，要使函数有意义，则x≠－3. 故函数的定义域为{x|x≠－3}． [正解]　要使函数有意义，必须使x2＋x－6≠0， 即(x－2)(x＋3)≠0，所以x－2≠0且x＋3≠0， 即x≠2且x≠－3. 故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}． [纠错心得]　(1)求函数的定义域时，不可对原表达式化简变形． (2)注意思维的全面性，定义域常从被开方数是否有意义，分母是否为零等角度列不等式(组)求解． 知识落实 技法强化 1．函数的概念． 2．定义域，函数值． 1．函数的判定要注意y的值“存在且唯一”是关键． 2．求定义域时，x的值使函数的表达式每一部分都有意义，考虑要全面；对于实际问题要具体问题具体分析． 学科网（北京）股份有限公司 $$