第1章 4.1 一元二次函数（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 学业标准 素养目标 1．理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系．(难点) 2．掌握一元二次函数的简单性质．(重点) 1．通过一元二次函数的学习，培养直观想象等核心素养． 2．借助于求一元二次函数的最值，提升数学运算等核心素养． [对应学生用书P39] 导学1　一元二次函数的图象变化 　由y＝x2的图象如何得到y＝2x2和y＝－x2的图象？ [提示]　把y＝x2图象上各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到y＝2x2的图象；把y＝x2图象上各点的纵坐标变为原来的相反数，即可得到y＝－x2的图象． 　函数y＝x2的图象与函数y＝(x－1)2的图象有怎样的关系？如何由y＝x2的图象得到y＝(x－1)2的图象？ [提示]　它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图象向右平移1个单位长度就可得到y＝(x－1)2的图象． ◎结论形成 一元二次函数的图象变换 1．一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2向__左__平移__h__个单位长度(h＞0)，再向__上__平移__k__个单位长度(k＞0)得到． 2．一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2向__右__平移__|h|__个单位长度(h＜0)，再向__下__平移__|k|__个单位长度(k＜0)得到． 导学2　一元二次函数的性质 1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点坐标是__(h，k)__，对称轴是直线__x＝h__． 2．当a＞0时，抛物线开口__向上__；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而__减少__；在区间__[h，＋∞)__上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在__x＝h__处有最小值，记作ymin＝__k__． 3．当a＜0时，抛物线开口__向下__；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而__增大__；在区间__[h，＋∞)__上，函数值y随自变量x的增大而减少；函数在__x＝h__处有最大值，记作ymax＝__k__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝ax2＋bx＋c是一元二次函数．(　　) (2)函数y＝ax2－ax＋1(a≠0)的对称轴为x＝－.(　　) (3)函数y＝－x2＋x＋1的最小值为.(　　) (4)函数y＝(a2＋1)x2＋x的图象是抛物线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列关于一元二次函数y＝x2＋x＋1的开口方向和顶点的说法，不正确的是(　　) A．开口向下，顶点(1，1) B．开口向上，顶点(1，1) C．开口向下，顶点 D．开口向上，顶点 解析　∵y＝x2＋x＋1＝＋， ∴抛物线开口向上，顶点为. 答案　ABC 3．函数y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为(　　) A．－1　　　　　　　 B．0 C．3 D．4 解析　y＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4， ∵0≤x≤3， ∴当x＝3时，ymin＝3＋6－9＝0. 答案　B 4．抛物线y＝2x2－x－1的顶点坐标是________． 解析　∵y＝2－，∴抛物线的顶点为. 答案　 [对应学生用书P40] 题型一　一元二次函数图象的画法 　画出函数y＝2x2－4x－6的草图． [解析]　y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x)－6 ＝2(x2－2x＋1－1)－6 ＝2[(x－1)2－1]－6 ＝2(x－1)2－8. 函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0). 画法步骤： (1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3，0)，画出直线x＝1； (2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3，0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如下图所示． 画一元二次函数的图象重点体现图象的特征“三点一线一开口”： (1)“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点； (2)“一线”是指对称轴这条直线； (3)“一开口”是指抛物线的开口方向． [触类旁通] 1．画出函数y＝x2－4x－12的图象． 解析　y＝x2－4x－12＝(x－2)2－16. 函数图象开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－16). 令y＝0，即x2－4x－12＝0得x＝－2或x＝6. 故图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(6，0).图象如下图所示． 题型二　一元二次函数图象的变换 　在同一坐标系中作出下列函数的图象，并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象． ①y＝x2；②y＝x2－2；③y＝2x2－4x. [解析]　(1)列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如下图所示． (2)y＝2x2－4x ＝2(x2－2x) ＝2(x2－2x＋1－1) ＝2(x－1)2－2. 由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下： 解法一　先把y＝x2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2x2的图象，然后把y＝2x2的图象向下平移2个单位长度得到y＝2x2－2的图象，最后把y＝2x2－2的图象向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 解法二　先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． [素养聚焦]　利用一元二次函数图象的变换，把直观想象等核心素养体现在解题过程中． 所有一元二次函数的图象均可以由函数y＝x2的图象经过变换得到，变换前，先将一元二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下： 当a＞0时，y＝x2y＝ax2y＝ax2＋ky＝a(x＋h)2＋k；当a＜0时，y＝x2y＝－x2y＝ax2y＝ax2＋ky＝a(x＋h)2＋k. 其中a决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移． [触类旁通] 2．(1)由y＝－2x2的图象，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图象？ (2)把y＝2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？ (3)将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并说明它的图象是由y＝4x2的图象经过怎样的变换得到的？ 解析　(1)把y＝－2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x＋1)2－3的图象． (2)把y＝2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－12x＋22的图象． (3)y＝4x2＋2x＋1 ＝4＋1 ＝4＋1 ＝4＋1 ＝4＋. 把y＝4x2的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，就可得到函数y＝4x2＋2x＋1的图象． 题型三　一元二次函数的最值一题多变 　已知函数y＝x2－2x＋2，x∈[－5，5]，求函数的最大值和最小值． [解析]　y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， ∴y在[－5，1]上逐渐减少， y在[1，5]上逐渐增加． ∴ymin＝12－2×1＋2＝1， ymax＝(－5)2－2×(－5)＋2＝37. [母题变式] (变结论)若函数不变，求该函数在[－5，a]上的最小值． 解析　y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 当－5＜a≤1时，函数在[－5，a]上逐渐减小， ∴函数的最小值为a2－2a＋2， 当a＞1时， ∴函数在[－5，1]上逐渐减少，在[1，5]上逐渐增加． ∴函数的最小值为1. 求一元二次函数在某区间上的最值的要点 (1)考虑一元二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间． (2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间两端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大. [触类旁通] 3．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0，3]的最大值是________，最小值是________． 解析　y＝3(x－1)2－2，该函数的图象如下． 从图象易知： ymax＝3(3－1)2－2＝10， ymin＝3(1－1)2－2＝－2. 答案　10　－2 [缜密思维提能区]　规范答题 二次函数的综合应用 [典例]　(12分)已知f(x)＝ax2＋3x＋2，且f(x)＝0至少有一个实数根，求实数a的取值范围． [规范解答]　①当f(x)＝0只有一个实数根时，即a＝0，由f(x)＝0得x＝－.(4分) ②当f(x)＝0有两个实数根时， 即(8分) 解得a≤且a≠0.(11分) 综上实数a的取值范围为.(12分) 知识落实 技法强化 1．一元二次函数图象的画法及其变换． 2．函数的最值． 1．画图象，注意抓住抛物线的特征“三点一线一开口”． 2．求一元二次函数的最值，注意给定区间与对称轴的相对位置关系，含参数时需进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$