第1章 3.1 不等式的性质（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 学业标准 素养目标 1．掌握不等式的性质，并能利用不等式的性质，比较数与式的大小或证明简单的不等式．(重点) 2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 1．借助不等式的性质的应用，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过运用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，提升数学建模等核心素养． [对应学生用书P29] 导学1　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a＞b，a＝b，a＜b. 依据 如果a＞b，那么__a－b＞0__． 如果a＜b，那么__a－b＜0__． 如果a＝b，那么__a－b＝0__ 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的__差__与__0__的大小关系 导学2　不等式的性质 　已知3＞2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ [提示]　同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立． 　如果a＞b，那么a2＞b2成立吗？ [提示]　不一定成立． ◎结论形成 性质 性质内容 注意 传递性 a＞b，b＞c⇒__a＞c__ 可加性 a＞b⇔a＋c__＞__b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc c的 符号 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 同向相加 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向相乘 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd 开方 a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n≥2) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　) (4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　　) 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2. (2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系． (3)符合不等式的可乘方性． (4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c＞b－d　　　　 B．ac＞bd C．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c 解析　因为b＜a，d＜c，所以b＋d＜a＋c. 答案　C 3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　) A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax 解析　因为x＜a＜0，不等号两边同时乘a，则ax＞a2；不等号两边同时乘x，则x2＞ax，故x2＞ax＞a2. 答案　B 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________． 解析　M－N＝a2＋a＋1＝＋＞0， ∴M＞N. 答案　M＞N [对应学生用书P30] 题型一　用不等式(组)表示不等关系 　(1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ [解析]　(1)v≤40. (2) 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得到不等式． [触类旁通] 1．用不等式表示下列关系． (1)x为实数，而且大于1不大于6； (2)x与y的平方和不小于2且不大于10. 解析　(1)1＜x≤6. (2)2≤x2＋y2≤10. 题型二　比较两个数(式)的大小 　已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小． [解析]　解法一(作差法) －(＋) ＝＋＝＋ ＝＝. ∵a，b为正实数， ∴＋＞0，＞0，(－)2≥0， ∴≥0， 当且仅当a＝b时等号成立． ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号). 解法二(作商法) ＝ ＝＝ ＝＝1＋≥1， 当且仅当a＝b时取等号． ∵＋＞0，＋＞0， ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号). 解法三(平方后作差) ∵＝＋＋2， (＋)2＝a＋b＋2， ∴－(＋)2＝. ∵a＞0，b＞0，∴≥0， 又＋＞0，＋＞0， 故＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号). 数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号． [触类旁通] 2．比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R. 解析　因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝－＋3 ＝＋≥＞0. 所以x2＋3＞3x. 题型三　不等式性质的应用题点多探 多维探究 角度1　应用不等式性质判断命题真假 　对于实数a，b，c，判断下列结论是否正确． (1)若a＞b，则ac2＞bc2； (2)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2； (3)若c＞a＞b＞0，则＞； (4)若a＞b，＞，则a＞0，b＜0； (5)若a＜b＜0，则＞. [解析]　(1)当c＝0时，有ac2＝bc2.故该结论错误． (2)由可得a2＞ab.因为所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2.故该结论正确． (3)由a＞b＞0，可得－a＜－b＜0.因为c＞a＞b，所以0＜c－a＜c－b，因此＞＞0，于是＞.故该结论正确． (4)由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0.故该结论正确． (5)依题意取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，显然＜.故该结论错误． 1．解决这类问题时，通常有两种方法：一是直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种办法． 2．注意正确的倒数法则，应该是a＞b，ab＞0⇒＜，不能误认为是a＞b⇒＜，在应用时不能出错． 角度2　应用不等式性质证明不等式 　(1)已知a＞b，e＞f，c＞0.求证：f－ac＜e－bc； (2)若bc－ad≥0，bd＞0.求证：≤. [证明]　(1)∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc， ∴－ac＜－bc.∵f＜e，∴f－ac＜e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd＞0， ∴≤，∴＋1≤＋1，∴≤. [素养聚焦]　通过不等式性质的应用，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 1．简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． 2．对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． [触类旁通] 3．(1)若a，b∈(1，＋∞)，证明：<； (2)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1. 证明　(1)要证 <， 只需证()2<()2， 只需证a＋b－1－ab<0， 即证(a－1)(1－b)<0. 因为a>1，b>1，所以a－1>0，1－b<0， 即(a－1)(1－b)<0成立， 所以原不等式成立． (2)假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3， 而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝ 2x2－2x＋＝2＋3≥3. 这与a＋b＋c<3矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1. [缜密思维提能区]　易错案例 [典例]　已知－4＜a＜6，2＜b＜4，则a－2b的取值范围是________． [解析]　 因为2＜b＜4， 所以－4＜－b＜－2， 则－8＜－2b＜－4. 又因为－4＜a＜6， 所以－12＜a－2b＜2. [答案]　(－12，2) [纠错心得]　同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎． 知识落实 技法强化 1．作差法比较大小． 2．不等式的性质及应用． 3．不等式的证明方法． 1．注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性． 2．避免证明题中不等式性质使用不恰当，反证法中假设不准确． 学科网（北京）股份有限公司 $$