第1章 2.2 全称量词与存在量词（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

2．2　全称量词与存在量词 学业标准 素养目标 1．理解全称量词和存在量词的意义．(难点) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 3．能判断含有一个量词的命题的真假．(重点) 1．通过全称量词与存在量词的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P25] 导学1　全称量词命题与存在量词命题 　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是什么？ [提示]　关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词． 　如何判定一个全称量词命题的真假？ [提示]　要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可． 　如何判定一个存在量词命题的真假？ [提示]　要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，命题就是假命题． ◎结论形成 1．全称量词命题与全称量词 在给定集合中，断言__所有__元素都具有__同一种性质__的命题叫作全称量词命题．在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“__∀__”表示，读作“__对任意的__”． 2．存在量词命题与存在量词 在给定集合中，断言__某些__元素都具有__一种性质__的命题叫作存在量词命题．在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“__∃__”表示，读作“__存在__”． 导学2　全称量词命题与存在量词命题的否定 　如何写出一个含有量词的命题的否定？ [提示]　一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． ◎结论形成 全称量词命题与存在量词命题否定 p 否定 结论 全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是__存在量词命题__ 存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x) __∀x∈M，x不具有性质p(x)__ 存在量词命题的否定是__全称量词命题__ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题¬p的否定是p.(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反.(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) (4)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　) 解析　(1)命题p与¬p互为否定． (2)存在量词命题p与其否定¬p一真一假． (3)存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”． (4)正确． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．下列命题中，是真命题且是全称命题的是(　　) A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．梯形的对角线不相等 C．∃x0∈R，＝x0 D．所有的集合都有子集 解析　全称命题有A，B，D三项，C为特效命题，对于A，有a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A为假命题；对于B，等腰梯形的对角线相等，B为假命题；D正确． 答案　D 3．下列全称量词命题为真命题的是(　　) A．所有的质数都是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数，x2也是无理数 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案　B 4．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为(　　) A．∃x∈R，x2＋1＞0　 B．∃x∈R，x2＋1≤0 C．∃x∈R，x2＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 解析　根据命题p可得¬p：∃x∈R，x2＋1≤0. 答案　B [对应学生用书P26] 题型一　全称量词命题和存在量词命题的概念及真假判断 　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. [解析]　(1)是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [触类旁通] 1．判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋2x＋1＞0； (2)∃x∈Z，使3x＋4＝0； (3)至少有一组正整数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤3. 解析　(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题． (2)由于3x＋4＝5成立时，x＝∉Z，因而不存在x∈Z，使3x＋4＝5. 所以存在量词命题“∃x∈Z，使3x＋4＝5”是假命题． (3)由于取a＝1，b＝1，c＝1时，a2＋b2＋c2≤3是成立的，所以存在量词命题“至少有一组正整数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤3”是真命题． 题型二　含有一个量词的命题的否定 　写出下列各命题的否定． (1)p：对任意的正数x，＞x－1； (2)q：三角形有且仅有一个外接圆； (3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)s：有些质数是奇数． [解析]　(1)¬p：存在正数x，使≤x－1. (2)¬q：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆． (3)¬r：所有三角形的内角和小于或等于180°. (4)¬s：所有的质数都不是奇数． 1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论，即得其否定． 2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定. [触类旁通] 2．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋3x＋7≤0； (4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解析　(1)¬p：∃x∈R，x2－x＋＜0，是假命题． ∵∀x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立， ∴¬p是假命题． (2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3)¬r：∀x∈R，x2＋3x＋7＞0，是真命题． ∵∀x∈R，x2＋3x＋7＝＋＞0恒成立， ∴¬r是真命题． (4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题． ∵当x＝－1时，x3＋1＝0，∴¬s是假命题． 题型三　全称量词命题与存在量词命题的应用一题多变 　已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围． [解析]　因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”． 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题． 由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞). [母题变式] 1．(变条件)若本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 解析　由题意知Δ≤0，则a2－4≤0，得－2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[－2，2]. 2．(变条件)若本例中的“任意x∈R”改为“对于x＞0”，求实数a的取值范围． 解析　因为全称命题“对于x＞0，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x＞0，x2＋ax＋1＜0”． 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题． 由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知解得a＜－2， 所以实数a的取值范围是(－∞，－2). [素养聚焦]　利用全称量词命题和存在量词命题的应用，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax). [触类旁通] 3．对于任意实数x，不等式x2＋x＞m恒成立，求实数m的取值范围． 解析　∵x2＋x－m＞0恒成立，∴Δ＝1＋4m＜0，∴m＜－， 所以所求m的取值范围是. [缜密思维提能区]　易错辨析 全称量词命题与存在量词命题的否定 [典例]　写出下列命题的否定． ①∀x∈R，都有x2＝1； ②∃x∈R，使x2＝1. [错解]　它们的否定分别是： ①∀x∈R，都有x2≠1. ②∃x∈R，使x2≠1. [正解]　它们的否定分别是： ①∃x∈R，使x2≠1. ②∀x∈R，都有x2≠1. [纠错心得]　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，对全称量词命题和存在量词命题否定时，不仅要否定结论，还要将全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词． 知识落实 技法强化 1．命题的否定． 2．全称量词命题、存在量词命题的否定． 3．全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用． 1．对于含有全称(存在)量词的命题进行否定需做到“两变”：一变量词，二否定命题． 2．含参数的全称量词(存在量词)命题的问题要转化为恒成立问题，进而转化为函数的最值问题来解决． 学科网（北京）股份有限公司 $$