第1章 2.1 第1课时 必要条件与性质定理、充分条件与判定定理（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 学业标准 素养目标 1．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点) 2．理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点) 3．结合具体命题，掌握判断充分条件、必要条件的方法． 1．通过必要条件与充分条件的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助充分条件与必要条件的应用，提升逻辑推理等核心素养． 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 [对应学生用书P18] 导学　充分条件与必要条件 　在命题“若两个三角形全等，则它们的面积相等”中条件和结论分别是什么？ [提示]　条件是两个三角形全等；结论是两个三角形面积相等． 　必要条件与命题“若p，则q”的真假性有什么关系？ [提示]　当命题“若p，则q”为真命题时，q是p的必要条件． ◎结论形成 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p__⇒__q p____q 条件 关系 p是q的__充分__条件， q是p的__必要__条件 p不是q的__充分__条件， q不是p的__必要__条件 定理关系 判定定理给出了__结论成立__的充分条件，性质定理给出了__结论成立__的必要条件 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　　) (2)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．(　　) (3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　) (4)a＝0是a2＝0的充分条件又是必要条件．(　　) 解析　(1)因为“x2＝9” “x＝3”． (2)因为“x＞0” “x＞1”． (3)不唯一，如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．使x＞3成立的一个充分条件是(　　) A．x＞4　　　　　　 B．x＞0 C．x＞2 D．x＜2 解析　只有x＞4⇒x＞3，其他选项均不可推出x＞3. 答案　A 3．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件． 答案　充分 4．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件． 解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． 答案　必要 [对应学生用书P19] 题型一　充分条件的判断 　(1)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　) A．x＞3　　　　　　 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 (2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若a∈Q，则a∈R. ②若a＜b，则＜1. ③若x＞1，则x2＞1. ④若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3. ⑤在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC. ⑥已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. (1)[解析]　因为x＞4⇒x＞3.14. 所以x＞3.14的一个充分条件是x＞4. [答案]　C (2)[解析]　①由于QR，所以p⇒q. 所以p是q的充分条件． ②由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1，因此pq，所以p不是q的充分条件． ③由x＞1可以推出x2＞1.因此p⇒q， 所以p是q的充分条件． ④由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分条件． ⑤由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． ⑥因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 1．判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． 2．除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． [触类旁通] 1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若ab＞0，则a＞0，b＞0. (2)若两个三角形相似，则两个三角形全等． (3)若x为无理数，则x2为无理数． (4)若x＝1，则x2－4x＋3＝0. 解析　(1)ab＞0⇒a＞0，b＞0或a＜0，b＜0a＞0，b＞0， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (2)因为两个三角形相似不一定全等． 因此pq，所以p不是q的充分条件． (3)若x为无理数，则x2不一定为无理数；例如为无理数，则()2＝2不为无理数； 因此pq，所以p不是q的充分条件． (4)因为x＝1⇒x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0， 所以x＝1是x2－4x＋3＝0的充分条件， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 题型二　必要条件的判断 　在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． [解析]　(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． 1．判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． 2．也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”．条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． [触类旁通] 2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若a＋5是无理数，则a是无理数． (2)若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． (3)若(x－a)(x－b)＝0，则x＝a. (4)若a和b都是偶数，则ab是偶数． 解析　(1)若a＋5是无理数，则a＋5是无限不循环小数，所以a是无限不循环小数， 所以a是无理数，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)全等三角形面积相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)若(x－a)(x－b)＝0，则x＝a或x＝b； 所以pq，所以q不是p的必要条件． (4)两个偶数的乘积仍是偶数． 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 题型三　充分条件与必要条件的应用一题多变 　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [解析]　由p：3a＜x＜a， 即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a＜0， 所以a的取值范围是. [母题变式] 1．(变条件)将本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解析　p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以⇒a∈∅. 2．(变条件)将本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解析　由p：3a＜x＜a，其中a＜0， 即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}． 因为p是q的充分条件， 所以p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－1≤a＜0. 所以a的取值范围是[－1，0). [素养聚焦]　利用充分条件与必要条件的应用，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中. 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． [触类旁通] 3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的一个充分条件是________．(答案不唯一) 解析　要使y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则k<0且b≥0. 这是一个等价条件，而要写出一个充分条件，故可取k＝－1，b＝1. 答案　k＝－1且b＝1 [缜密思维提能区]　易错案例 对问题的设问形式理解不清致误 [典例]　使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是(　　) A．x≥0　　　　　 B．x＞2或x＜0 C．x∈{－1，3，5} D．x≥3或x≤－ [解析]　依题意，所选选项应是使不等式2x2－5x－3≥0成立的充分不必要条件．由于不等式2x2－5x－3≥0的解集为，正确的选项中变量x的取值范围应该比对应的范围要小一些，而{－1，3，5}，故选C. [答案]　C [纠错心得]　我们知道：①A是B的充分不必要条件是指A⇒B且BA；②A的充分不必要条件是指B⇒A且AB.这两种说法是在充分条件与必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误． 知识落实 技法强化 1．充分条件与判定定理，必要条件与性质定理． 2．充分条件，必要条件的探求． 1．探求充分性、必要性，注意范围的“扩大”与“缩小”． 2．利用充分条件、必要条件求参数范围，首先要进行等价转化，再参照题目要求“充分”“必要”进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$