第1章 1.3 第2课时 全集与补集（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　全集与补集 [对应学生用书P14] 导学1　全集 　全集是固定的吗？ [提示]　“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的． ◎结论形成 1．定义：在研究某些集合时，它们往往是某个__给定集合__的子集，这个给定的集合叫作全集． 2．符号表示：全集通常记作__U__． 导学2　补集 　A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．集合A，B，U有何关系？ [提示]　U＝A∪B. 　补集是固定的吗？ [提示]　补集是以“全集”为前提的，不是固定的，离开了全集，补集就毫无意义了． ◎结论形成 1．定义 自然语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有__不属于__A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作__∁UA__ 符号语言 ∁UA＝__{x|x∈U，且x∉A}__ 图形语言 2．性质 (1)A∪(∁UA)＝__U__；(2)A∩(∁UA)＝__∅__； (3)∁U(∁UA)＝__A__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.(　　) (2)若A⊆B⊆U，则∁UA⊇∁UB.(　　) (3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．(　　) (4)集合∁RA＝∁QA可能成立．(　　) 解析　(1)由集合补集的定义可知三个等式都成立． (2)画出Venn图可知，此说法正确． (3)根据补集的定义可知，此说法正确． (4)正确． 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M　　　　　　 B．3∈M C．4∉M D．5∉M 解析　由题设，易知M＝{2，4，5}，对比选项，选择A. 答案　A 3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________． 解析　∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}， ∴∁UA＝{x|0＜x＜1}． 答案　{x|0＜x＜1} 4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________． 解析　∁UA＝{x|x＜0}，∁UB＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}．∴∁UA⊆∁UB. 答案　∁UA⊆∁UB [对应学生用书P15] 题型一　补集的运算 　(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　) A.∅　 B．{1，3}　 C．{2，4，5}　 D．{1，2，3，4，5} (2)若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁SA. ①S＝R；②S＝{x|x≤2}；③S＝{x|－4≤x≤1}． (1)[解析]　因为全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}． [答案]　C (2)[解析]　①把集合A表示在数轴上如下图所示． 由图知∁SA＝{x|x＜－1或x≥1}． ②把集合S和A表示在数轴上，如下图所示． 由图易知∁SA＝{x|x＜－1或1≤x≤2}． ③把集合S和A表示在数轴上，如下图所示． 由图易知∁SA＝{x|－4≤x＜－1或x＝1}． 求集合补集的依据及处理技巧 1．依据：集合补集的定义． 2．两种处理技巧 (1)当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． [触类旁通] 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3或x≥1}，求∁RA，∁RB. 解析　借助数轴，由下图可知： ∁RA＝{x|1≤x≤2}，∁RB＝{x|－3≤x＜1}． 题型二　交、并、补的综合运算 　(1)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{0，－2}，则B∩(∁UA)＝(　　) A．{0，1}　 B．{－2，0}　 C．{－1，－2}　 D．{0} (2)已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x＜－1}，B＝{x|－1≤x＜1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB). (1)[解析]　由于A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2，1}， 所以∁UA＝{－1，0，2}， 所以B∩(∁UA)＝{0}，故选D. [答案]　D (2)[解析]　将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示， 则∁UA＝{x|－1≤x≤3}； ∁UB＝{x|－5≤x＜－1，或1≤x≤3}； (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}． 求集合交、并、补运算的方法 [触类旁通] 2．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝，N＝，则＝(　　) A．∁U(M∪N)　　　 B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析　由题意可得M∪N＝， 则∁U(M∪N)＝，选项A正确； ∁UM＝，则N∪∁UM＝，选项B错误； M∩N＝，则∁U(M∩N)＝或，选项C错误； ∁UN＝或，则M∪∁UN＝或，选项D错误； 故选A. 答案　A 题型三　根据补集运算求参数一题多变 　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． [解析]　解法一(直接法)　由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x＜－m}． 因为B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． 解法二(集合间的关系)　由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2＜x＜4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2. 所以m的取值范围是{m|m≥2}． [母题变式] (变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解析　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x＜－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4. 所以m的取值范围是{m|m≤－4}． [素养聚焦]　利用与补集有关的运算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． [触类旁通] 3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1＜0}，B＝{x|x＞a}，且∁UA⊆B，求实数a的取值范围． 解析　∵A＝{x|x＜1}，U＝R， ∴∁UA＝{x|x≥1}， ∵∁UA⊆B，如下图所示， ∴a＜1.∴实数a的取值范围为{a|a＜1}． [缜密思维提能区]　规范答题 补集思想的综合应用 [典例]　(12分)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁UA)∪B≠R，求a的取值范围； (2)若A∩B≠A，求a的取值范围． [审题指导]　本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用，求解时可先将不相等问题转化为相等问题，求出a的集合后取其补集． [规范解答]　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x＜0，或x＞2}．(2分) 设(∁RA)∪B＝R，如下图所示， ∴a≤0，且a＋3≥2， 即a≤0，且a≥－1①.(4分) ∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a＜－1，或a＞0}．(6分) (2)若A∩B＝A，则A⊆B，又A≠∅，(7分) 则得即－1≤a≤0.(10分) ∴当A∩B≠A时，a的取值范围为集合{a|－1≤a≤0}的补集， 即{a|a＜－1，或a＞0}②.(12分) 知识落实 技法强化 1．全集和补集的概念及运算． 2．交、并、补集的混合运算． 3．与补集有关的参数范围的求解． 1．学习本节课要注意正难则反的补集思想、数形结合的思想方法． 2．求补集时易忽视全集，运算时注意端点的取舍． 学科网（北京）股份有限公司 $$