第1章 1.3 第1课时 交集与并集（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．3　集合的基本运算 学业标准 素养目标 1．理解两个集合的交集、并集及补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集及补集．(重点) 2．能使用(Venn)维恩图表达集合的关系及运算．(难点) 1．通过集合的交、并、补概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过集合的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 第1课时　交集与并集 [对应学生用书P11] 导学1　交集 　已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{3，4}．集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ [提示]　有．{3，4}． 　上述问题中，集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ [提示]　集合C中的元素既属于集合A又属于集合B. ◎结论形成 1．定义 自然语言 符号语言 图形语言 由既属于集合A又属于集合B的__所有元素__组成的集合叫集合A与B的交集，记作__A∩B__ A∩B＝__{x|x∈A，且x∈B}__ 2．性质 A∩B＝__B∩A__，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝__∅__． 导学2　并集 　若将导学1问题1中的集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？ [提示]　{1，2，3，4，5，6}． 　新的集合中的元素与集合A，B有什么关系？ [提示]　新的集合中的元素属于集合A或属于集合B. ◎结论形成 1．定义 自然语言 符号语言 图形语言 由所有__属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B A∪B＝__{x|x∈A，或x∈B}__ 2．性质 A∪B＝__B∪A__，A__⊆__A∪B，B__⊆__A∪B，A∪A＝__A__，A∪∅＝__A__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集．(　　) (2)若A∩B＝∅，则A，B均为空集．(　　) (3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素．(　　) (4)若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　　) 解析　(1)根据交集的定义可知此说法不正确，必须是“所有”的． (2)当A∩B＝∅时，A，B可以为∅，也可以不为∅，如A＝{1，2}，B＝{3，4}，A∩B＝∅. (3)求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性．所以A，B中分别有3个元素，则A∪B中的元素个数可能是3，4，5，6个． (4)因为(A∩B)⊆(A∪B). 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(2022·全国乙卷)集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|－1＜x＜6}，则M∩N＝(　　) A．{2，4}　　　　　 B．{2，4，6} C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，10} 解析　由题意知M∩N＝{2，4}，故选A. 答案　A 3．(2022·浙江卷)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　) A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6} 解析　由并集运算，得A∪B＝{1，2，4，6}，故选D. 答案　D 4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A. 又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2. 答案　[2，＋∞) [对应学生用书P12] 题型一　交集的概念及应用 　(1)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{0，2}　　　　　　　 B．{1，2} C．{0} D．{－2，－1，0，1，2} (2)已知A＝{x|x≤－2或x＞5}，B＝{x|1＜x≤7}，则A∩B＝________． (3)集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， ①若B⊆A，求实数m的取值范围； ②若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． (1)[解析]　A∩B＝{0，2}． [答案]　A (2)[解析]　将x≤－2或x＞5及1＜x≤7在数轴上表示出来． 根据交集的定义，图中阴影部分即为所求． 所以A∩B＝{x|5＜x≤7}． [答案]　{x|5<x≤7} (3)[解析]　①当B＝∅时，B⊆A， 此时m＋1＞2m－1，解得m＜2， 当B≠∅时，为使B⊆A，m需满足 解得2≤m≤3. 综上知实数m的取值范围为m≤3. ②先求A∩B＝∅，当B＝∅时由(1)知m＜2， 当B≠∅时，为使A∩B＝∅，m需满足 或解得m＞4， 综上知当m＜2或m＞4时A∩B＝∅， 所以若A∩B≠∅，实数m的取值范围是2≤m≤4. [素养聚焦]　利用对集合是否为非空的讨论，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 求集合A∩B的常用方法 (1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集． (2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． (3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意“实”“虚”点． [触类旁通] 1．已知a∈R，集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}． (1)若9∈A∩B，则实数a的值为________． (2)若A∩B＝{9}，则实数a的值为________． 解析　(1)∵9∈A∩B，∴9∈A，且9∈B， ∴2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，符合题意； 当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，集合B不满足集合中元素的互异性，故a≠3； 当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，符合题意． 综上可得实数a的值为5或－3. (2)∵A∩B＝{9}，∴9∈A. ∴2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，由于A∩B＝{－4，9}，不符合题意，故a≠5； 当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，集合不满足集合中元素的互异性，故a≠3； 当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，且A∩B＝{9}，符合题意． 综上可得a＝－3. 答案　(1)5或－3　(2)－3 题型二　并集的概念及应用 　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0}　　　　　　　　 B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} (2)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5} C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5} (3)设S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足(　　) A．－3＜a＜－1 B．－3≤a≤－1 C．a≤－3或a＞－1 D．a＜－3或a＞－1 [解析]　(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}． (2)在数轴上表示集合M，N，如下图所示，则M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}． (3)在数轴上表示集合S，T如下图所示． 因为S∪T＝R，由数轴可得 解得－3＜a＜－1. [答案]　(1)D　(2)A　(3)A 求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个． [触类旁通] 2．满足条件{1，2}∪M＝{1，2，3}的所有集合M的个数是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　因为{1，2}∪M＝{1，2，3}， 所以3∈M，则满足条件的M可以是{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，共有4个． 答案　D 题型三　交集、并集运算性质及综合应用一题多变 　已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． [解析]　(1)当B＝∅，即k＋1＞2k－1时，k＜2，满足A∪B＝A. (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤. 综合(1)(2)可知k≤. ∴k的取值范围是. [母题变式] 1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围． 解析　由A∩B＝A可知A⊆B. 所以即所以k∈∅. 所以k的取值范围为∅. 2．(变条件、变结论)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3＜x≤5}”，求k的值． 解析　由题意可知解得k＝3. 所以k的值为3. 1．此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍． 2．当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意． [触类旁通] 3．已知A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．3≤a<4　　　　　 B．－1<a<4 C．a≤－1 D．a<－1 解析　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1. 答案　C 知识落实 技法强化 1．交集、并集的概念及运算． 2．交集、并集运算的性质． 3．求参数值或范围． 1．对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． 2．对于元素个数无限的集合，在进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否． 学科网（北京）股份有限公司 $$