第1章 1.2 集合的基本关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．2　集合的基本关系 学业标准 素养目标 1．理解集合之间的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(重点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点) 1．通过集合的基本关系的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助Venn图表示集合的关系的运用，提升直观想象、逻辑推理核心素养． [对应学生用书P8] 导学1　子集与真子集 　给出集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．集合A与集合B有什么关系？集合B中的元素与集合A有什么关系？ [提示]　A中每一个元素都属于B.此时集合B包含集合A.集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中． ◎结论形成 1．子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 定义：如果集合A中的__任意一个__元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集． 规定：空集是任何集合的子集 A__⊆__B(或B__⊇__A)，对于任意一个集合A：∅⊆A 真子集 如果集合A__⊆__B，且__A≠B__，称集合A是集合B的真子集 A____B或(B____A) 2．Venn图 用平面上__封闭曲线__的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的__子集__，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么__A⊆C__． (3)空集是任何集合的子集，即∅⊆A. 导学2　集合相等 　两个集合：A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．A是B的子集吗？B是A的子集吗？两集合相等吗？ [提示]　 A是B的子集且B是A的子集，两集合相等． ◎结论形成 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，即若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合至少有两个子集．(　　) (2){0，1，2}⊆{2，0，1}．(　　) (3)若A⊆B，且A≠B，则AB.(　　) (4)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}．(　　) 解析　(1)∅只有一个子集． (2){0，1，2}＝{2，0，1}，所以{0，1，2}⊆{2，0，1}． (3)若A⊆B，且A≠B，则AB. (4)∅也是集合{0，1}的子集． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列集合是空集的为(　　) A．{0}　　　　　　　　 B．{x|x＞8且x＜5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4} 答案　B 3．(多选)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为(　　) A．P⊆T B．T⊇P C．P＝T D．PT 解析　集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，∴P⊆T，或者写成T⊇P或PT. 答案　ABD 4．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　) 解析　由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}． ∵M＝{－1，0，1}，∴NM. 答案　B [对应学生用书P9] 题型一　集合间的关系 　指出下列各对集合之间的关系． (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． [解析]　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. 1．判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图． 2．证明A＝B，只需证明A⊆B且B⊆A. 3．证明集合间的包含关系，一般用定义． [触类旁通] 1．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，则M与P的关系为(　　) A．M＝P　　　　　　　　 B．M⊆P C．P⊆M D．MP 解析　①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P，由子集定义知M⊆P. ②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N＋，而1∉M，∴1＋a2＝1在a∈N＋时无解． 综合①②知，MP. 答案　D 题型二　有限集合子集的确定 　(1)已知集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}，则A的真子集的个数是(　　) A．16　　　 B．8　　　 C．7　　　 D．4 (2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个． [解析]　(1)∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0，1，2}， ∴集合A的真子集的个数为23－1＝7. (2)由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有五个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足题意的集合M共有7个． [答案]　(1)C　(2)7 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． (5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个． [触类旁通] 2．(1)满足{2 024}⊆A{2 024，2 022，2 023}的集合A的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． (1)解析　满足{2 024}⊆A{2 024，2 022，2 023}的集合A可以是A＝{2 024}，{2 024，2 022}，{2 024，2 023}，因此满足条件的集合A的个数为3. 答案　C (2)解析　因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， 所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 所以A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 题型三　集合间关系的应用题点多探 多维探究 角度1　由集合相等求参数 　已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x，2，y2}，且A＝B，求x，y的值． [解析]　因为A＝B，所以集合A与集合B中的元素相同，所以或 解得或或 验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2，0，0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．所以x，y的取值为或 角度2　由集合间的包含关系求参数一题多变 　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围. [解析]　∵A⊆B， ∴解得故3≤m≤4. ∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}． [母题变式] (变条件)若将例3－2的“A⊆B”改为“B⊆A”，求实数m的取值范围． 解析　当B＝∅，即m＜－5； 当B≠∅时，解得 即m∈∅.故实数m的取值范围是{m|m＜－5}． [素养聚焦]　利用集合间关系的应用，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．由集合相等求参数取值的方法 从集合相等的含义出发，转化为元素间的关系，一是利用分类讨论的方法建立方程组求参数的值，二是利用元素相同，则元素的和与积分别相同，建立方程组求参数的值．需要注意的是解方程组后要代入检验，对不符合题意的参数的值要舍去． 2．由集合之间的包含关系求参数的一个关注点 空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． [触类旁通] 3．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若A⊆B，则实数m的取值范围是________． 解析　由题得A＝{x|－1＜x＜3}，若A⊆B，可得所以m≥3. 故实数m的取值范围是{m|m≥3}． 答案　{m|m≥3} [缜密思维提能区]　易错辨析 忽略空集这一特殊情况而致误 [典例]　设集合A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若BA，求实数a的值组成的集合． [错解]　A＝{－3，5}，B＝，BA， 所以＝－3或＝5，解之得a＝－或a＝. 综上知a的值组成的集合为. [正解]　(1)当B＝∅时，a＝0. (2)当B≠∅时，B＝，因为A＝{－3，5}，BA， 所以＝－3或＝5，解之得a＝－或a＝. 综上知a的值组成的集合为. [纠错心得]　空集是任何集合的子集．不要忽略∅的情况． 知识落实 技法强化 1．子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断． 2．子集、真子集的个数问题． 3．由集合间的关系求参数的值或范围． 由集合间的关系求参数问题注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$