第1章 1.1 第1课时 集合的含义（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　集　合 1．1　集合的概念与表示 学业标准 素养目标 1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的特性． 2．体会元素与集合的属于关系，记住常用数集表示符号．(难点) 3．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点) 4．理解空集、集合的分类区间的概念． 1．通过集合概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．根据元素与集合的关系，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 3．通过集合表示的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 第1课时　集合的含义 [对应学生用书P1] 导学1　元素与集合的相关概念 　看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)大于2并且小于8的所有正数； (2)所有的三角形； (3)现在教室中所有的学生； (4)方程x2－16＝0的所有实数根． [提示]　以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 　你能具体说出你所在班级中头脑比较聪明的同学名单吗？你能具体说出你所在班级中所有女生的姓名名单吗？ [提示]　比较聪明的标准不明确，名单不能具体说出来，而所在班级中女生的姓名是具体明确的，是能够说出的． ◎结论形成 1．集合：把指定的某些对象的__全体__称为集合．通常用大写英文字母__A，B，C，…__表示． 2．元素：集合中的每一个__对象__叫作这个集合的元素．通常用小写英文字母__a，b，c，…__表示． 3．集合中元素具有__确定性__、__互异性__、__无序性__． 导学2　元素与集合的关系 　 某中学2024年高一年级20个班构成一个集合．高一(6)班是这个集合中的元素吗？高二(3)班是这个集合中的元素吗？ [提示]　高一(6)班是这个集合的元素，高二(3)班不是这个集合的元素． ◎结论形成 1．属于：如果元素a在集合A中，就说__元素a属于集合A__，记作__a∈A__． 2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说__元素a不属于集合A__，记作__a∉A__． 导学3　常用数集及其表示 数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 字母表示 __N__ __N＋__ 或__N*__ __Z__ __Q__ __R__ __R＋__ 导学4　集合的分类 　由方程x2＋1＝0的所有实数解组成的集合是怎样的？ [提示]　由于该方程无实数解，因此这个集合不含任何元素，即该集合可以看成包含0个元素的集合． ◎结论形成 1．空集 一般地，把不含__任何元素__的集合称为空集，记作∅. 2．集合的分类 集合 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　) (2)好听的歌能组成一个集合．(　　) (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．(　　) (4)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．(　　) 解析　(1)集合中的元素是互不相同的． (2)好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合． (3)错误， (4)正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　) A．3∈A　　　　　 B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 解析　∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A. 答案　C 3．(多选)下列选项中能构成集合的是(　　) A．高一年级跑得快的同学 B．中国的大河 C．3的倍数 D．大于6的有理数 解析　集合的元素要满足“确定性”，所以AB选项不符合，CD选项符合． 答案　CD 4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B. 答案　B [对应学生用书P2] 题型一　集合概念的理解 　考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负整数； (2)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (3)某校2024年在校的所有高个子同学； (4)的近似值的全体． [解析]　(1)对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”，所以能构成集合； (2)方程的两个解是x＝±3，能构成集合； (3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合． 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． [触类旁通] 1．下列对象能够组成集合的是(　　) A．与2非常接近的全体实数 B．很著名的科学家的全体 C.某教室内的全体桌子 D．与无理数π相差很小的数 解析　A项，与2非常接近的数不确定，不能构成集合；B项，怎么算“很著名”不确定，不能构成集合；C项，某教室内的桌子是确定的，可构成集合；D项，怎么算“相差很小”是不确定的，不能构成集合． 答案　C 题型二　元素与集合的关系 　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R　②∉Q　③0∈N＋　④|－5|∉N＋ A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 (2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 [解析]　(1)①π是实数，所以π∈R正确； ②是无理数，所以∉Q正确； ③0不是正整数，所以0∈N＋错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N＋错误．故选B. (2)若a＝2∈A，则6－a＝4∈A， 所以a＝2；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B. [答案]　(1)B　(2)B 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确己知集合中的元素具有什么特征． [触类旁通] 2．下列结论不正确的是(　　) A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∉Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R 解析　A中，当a＝0时，显然不成立． 答案　A 题型三　集合中元素特性的应用一题多变 　已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. [解析]　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去； 当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性． ∴a＝－． [母题变式] (变条件)若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值． 解析　由a∈A，可得a－2＝a或2a2＋5a＝a或12＝a， 当a－2＝a时，无解， 当2a2＋5a＝a时，a＝0或a＝－2， 若a＝0，三个元素分别为－2，0，12，符合集合中元素的互异性； 若a＝－2，三个元素分别为－4，－2，12，符合集合中元素的互异性． 当a＝12时，这三个元素是10，348，12，符合集合中元素的互异性． 综上所述，a的值为0或－2或12. [素养聚焦]　利用元素互异性问题引起的计算、讨论，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 利用集合中元素的互异性求参数值的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． [触类旁通] 3．已知集合M是由a，a－1，a2－1三个元素组成的，且0∈M，求实数a 的值． 解析　∵0∈M， ∴①当a＝0时，则a－1＝－1，a2－1＝－1，不符合集合元素的互异性，故舍去； ②当a－1＝0时，则a＝1，a2－1＝0，不符合集合元素的互异性，故舍去； ③当a2－1＝0时，a＝±1，由②得，a＝1舍去，则a＝－1，a－1＝－2，a2－1＝0，符合题意． 综上，a＝－1. 知识落实 技法强化 1．元素与集合的概念及关系． 2．集合中元素的特点及应用． 3．常用数集的表示． 1．研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，这是判断是否构成集合的依据． 2．互异性是三个特性中最容易被忽视的性质，注意结合分类讨论思想对参数进行检验． 学科网（北京）股份有限公司 $$