1.1.2　子集和补集　教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教案标题：子集与补集 【教学目标】 1．通过实例理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2．通过实例理解补集的含义，能求给定子集的补集； 3．能使用Venn图表达集合的包含关系与求补集的运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 【教学重点】 子集和补集的概念 【教学难点】 子集和补集的概念及其表示 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【核心素养】 数学抽象，数学运算． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 为了丰富学生的课余生活，某学校开设了多个社团，其中最受学生欢迎的是话剧社，刚刚入学的高一新生中有42名同学申请加入。经过筛选，最终有20人成功加入了话剧社。 问题1 在这段材料中，涉及到哪些集合？ 预设：所有申请加入话剧社的学生组成的集合，所有成功加入话剧社的学生组成的集合，所有申请加入却未成功加入话剧社的学生组成的集合，该学校开设的所有社团组成的集合等。 问题2 如果我们把所有成功加入话剧社的学生组成的集合记为集合，所有申请加入话剧社的学生组成的集合记为集合．那么集合与集合有什么关系？ 预设：集合的每一个元素都属于集合， 预设：集合比集合更大 总结：集合之间不能直接比大小，要用更严格的语言去描述“集合中每一个元素都是集合中的元素”，在数学中有相应的概念． 问题3 如果我们把所有成功加入话剧社的学生组成的集合记为集合，所有申请加入话剧社的学生组成的集合记为集合．所有申请加入话剧社但没有成功加入的学生组成的集合记为集合。（注意这里的记法与问题2中不同），那么集合，集合与集合之间有什么关系？ 预设：集合与集合都是集合的子集， 预设：集合的每一个元素都不属于集合，集合的每一个元素都不属于 预设：集合与集合没有公共元素， 预设：集合可分为集合和集合两部分， 总结：同学们对于集合，集合与集合之间的关系的描述都是正确的，无论在数学中还是在生活中都有很多类似的关系，我们要用更严格的语言去描述“集合与集合都是集合的子集，则集合中的任一元素，或者；或者，二者中有且仅有一个成立”，这在数学中也有相应的概念． 二、归纳探索，形成概念 （一）子集 回顾问题2 如果我们把所有成功加入话剧社的学生组成的集合记为集合，所有申请加入话剧社的学生组成的集合记为集合．那么集合与集合有什么关系？ 再看另外两个例子，观察下列各组集合，考虑两个集合间的关系： （1），； （2），． 问题4 这三个例子有什么共同的特点？ 预设：这三个例子都满足：集合的每个元素都是集合的元素。 我们抽象出如下的定义： 如果集合的每个元素都是集合的元素，就说包含于或者说包含，记作（或），读作包含于（或者说包含）．若包含于则称是的一个子集。 并且规定：空集包含于任一集合，是任一集合的子集． 包含关系可以分为如下两类： （1）如果并且，就说两个集合相等，记作， （2）如果，但，就说是的真子集，记作， 我们还经常采取这样的方式直观地描述集合是集合的真子集，这类表示集合间关系的示意图叫做韦恩图。 （二）补集 回顾问题3 如果我们把所有成功加入话剧社的学生组成的集合记为集合A，所有申请加入话剧社的学生组成的集合记为集合．所有申请加入话剧社但没有成功加入的学生组成的集合记为集合。（注意这里的记法与问题2中不同），那么集合，集合与集合之间有什么关系？ 再看两个例子，观察下列各组集合，考虑两个集合间的关系： （1），，． （2），，． 问题5 这三个例子有什么共同的特点？ 预设：集合与集合都是集合的子集，集合可分为集合和集合两部分。 总结：每一个例子中，所讨论的对象都是集合的元素和子集，集合的元素可以，可以按照属于集合与不属于分为两类。这几个例子中，集合都是由中所有不属于的元素组成的集合。 数学中有如下定义： 如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合的元素和子集，就可以约定把集合叫作全集（或基本集） 若是全集的子集，中不属于的元素组成的子集叫作的补集，记作，即． 当可以由上下文确知时，的补集也可以记作． 补集也可以用维恩图来表示： 三、巩固概念，适当延展 （一）例题研讨 例1 请判断：在下列各组中，集合是不是集合的子集？ （1），； （2），； （3），； （4），． 首先回忆子集的定义，然后请四名同学作出判断， 在（2）、（3）、（4）小题中，都满足集合是集合的子集。 追问，集合是不是集合的子集？ 第（2）、（3）小题中，集合真包含于集合，集合是集合的真子集， 追问，集合与集合的是否相等？ 第（4）小题中，集合与集合相等． 例2 请你写出数集N、Z、Q、R之间的包含关系． 请学生首先回忆一下，这些字母分别代表什么集合？ N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 从而，我们可以直接写出答案：NZQR． 请学生画出相应的韦恩图： 例3 设，请写出的所有子集． 先请学生自己思考，半分钟后请学生举手回答．提示学生有序思考问题． 解：按照子集中元素的个数分类 （1）不含有任何元素的子集：； （2）只含有1个元素的子集：，，； （3）只含有2个元素的子集：，，； （4）含有3个元素的子集： 追问：共有多少个子集？ 预设：8个 拓展：集合共有多少个子集？（留作课下探究的问题） 例4 设，， ，求和． 首先回忆补集的概念，然后请同学分析这几个集合分别由哪些元素组成，将集合，，分别用列举法写出，然后得出结论． 解：， ，， 因此，， ． 练习 把区间看成全集，写出它的下列子集的补集： ；；；． 本题中的全集由区间形式给出，而A、B、C、D四个集合的形式不统一，。本题可以借助数轴来解决。 我们可以先将A、B、C、D四个集合表示出来，然后根据补集的定义来直接写出答案：，，，． 追问，这里把区间看成全集，，，能否推广，得到一个关于补集的性质？ 预设：， （二）拓展内容 介绍一些关于子集与补集的相关结论，根据时间选择一部分进行解释（可借助韦恩图）或证明． 1．子集的相关结论 对于集合，，，有 （1）； （2）； （3）若，则； （4）传递性：若，，则； 若，，则． 2．补集的相关结论 若，都是集合的子集，则有 （1）； （2）； （3）； （4）若，则． 四、归纳小结，提高认识 请学生交流在本节课学习中的体会、收获，师生合作共同完成小结． 1．小结 （1）回顾包含关系、子集、真子集、全集与补集的概念 （2）数形结合的数学思想 （3）用数学的眼光观察世界 2．作业 （1）必做部分：教材第8页 练习1—4 （2）选做部分：继续探究本节课中的拓展内容 第1页 共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$