精品解析：上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

数学试卷 （本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一､填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的､最简的､完整的结果） 1. 已知全集，集合，，且，则实数a取值范围是________． 2. 已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______． 3. 用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝______. 4. 两正数a与b的几何平均值为2，则与的算术平均值的最小值为________． 5. 已知二项式展开式中存在常数项，正整数的最小值为______． 6. 不等式的解集是______. 7. 已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是__________. 8. 已知.若为奇函数，则__________. 9. 满足定义域为且值域为的函数共有__________个. 10. 已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是，则______. 11. 已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是__________． 12. 在边长为1的正六边形中，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，若分别为的最小值､最大值，其中.则的值为__________. 二､选择题.（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 若是关于的实系数方程的一根，则的值为（ ） A -1 B. 1 C. 0 D. 4 14. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 15. 正方体有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（ ） A. 24对 B. 30对 C. 32对 D. 64对 16. 定义在上的函数和的最小周期分别是和，已知的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三､解答题.（本大题共5小题，满分78分，请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． （1）求该圆锥的侧面积： （2）设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 18. 已知，为常数． （1）若为偶函数，求的值； （2）设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 19. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． （1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （2）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 20. 已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）. （1）若抛物线焦点与圆心重合，求抛物线的方程； （2）若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长. 21. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质． （1）若函数具有性质，求：的值； （2）设，求证：存在常数，使得具有性质； （3）若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 （本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一､填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的､最简的､完整的结果） 1. 已知全集，集合，，且，则实数a取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用子集的含义求解即可. 【详解】因为，又因为，所以. 故答案为：. 2. 已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数恒过定点求解即可． 【详解】因为当时，即时，， 所以函数的图像恒经过定点， 故答案为：． 3. 用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的定义求解. 【详解】因为用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中逐个抽取，个体a在第一次就被抽取的可能性为， 因此，所以. 故答案为：8 4. 两正数a与b的几何平均值为2，则与的算术平均值的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意结合重要不等式运算求解即可. 【详解】因为两正数a与b的几何平均值为2，所以，所以， 因为，所以与的算术平均值最小值为4． 故答案为：4． 5. 已知二项式的展开式中存在常数项，正整数的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】应用二项式展开式计算通项，根据存在常数项利用赋值法计算参数即可． 【详解】二项式的通项为， 若展开式中存在常数项，只需， 则，所以正整数最小取4 故答案为：4． 6. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 则不等式的解集是. 故答案为： 7. 已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由与的关系再结合等差数列通项公式的基本量计算即可； 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 8. 已知.若为奇函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，即可求解. 【详解】由函数， 可得 因为函数为上的奇函数，可得， 即， 所以，解得或，所以， 可得，所以. 故答案为：. 9. 满足定义域为且值域为的函数共有__________个. 【答案】36 【解析】 【分析】根据分组分配方法计算. 【详解】将中的4个元素分为3组，分别对应1,2,3， 则有个. 故答案为：36. 10. 已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得到，求得，再由1与2的中点必为函数的最大值点，求得，即可求解. 【详解】因为函数与直线的三个相邻交点的横坐标依次是， 可得函数的最小正周期为，解得， 结合三角函数的性质，可得1与2的中点必为函数的最大值点， 且2与4的中点必为函数的最小值点， 可得，解得， 因为，所以 故答案为：. 11. 已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出直线必过点，取抛物线位于轴上方部分，设上一点到直线的距离最小，由几何关系得出，再根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求解． 【详解】因为实数成公比为的等比数列，所以， 所以，即直线必过点，且斜率， 不妨取抛物线位于轴上方部分，则，，， 由题可知，，则， 设上一点到直线的距离最小， 则处的切线斜率等于直线的斜率，即，所以， 点到直线的距离， 整理得，解得，因，所以， 根据直线和抛物线得对称性得，， 故答案为：． 12. 在边长为1的正六边形中，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，若分别为的最小值､最大值，其中.则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理和勾股定理分别求出，再由向量的加法法则结合图形的关系和向量的数量积公式求出结果即可； 【详解】如图： 由向量的加法法则可得，两个向量的夹角越小，模长越大，和向量就越大；反之越小； 正六边形可得， 同理， 因为正六边形的边长为1， 由余弦定理可得，解得， 所以， 所以由图形关系可得， 所以， 同理，两个向量的模长越小，夹角越大，和向量就越小，两个括号的乘积就越小， 所以， 如图： 由图可得 ， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能用图形表示，再结合向量的数量积公式计算即可. 二､选择题.（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 若是关于的实系数方程的一根，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的根代入方程进行运算化简,然后利用复数相等的条件即得答案. 【详解】由题意可得，即， 所以. 故选：C. 14. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义及运算律得出，结合余弦函数的正负及即可判断． 【详解】由得，，即， 因为，所以为钝角， 所以的形状一定是钝角三角形， 故选：D． 15. 正方体有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（ ） A. 24对 B. 30对 C. 32对 D. 64对 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体的面对角线的性质结合异面直线的特征计算即可； 【详解】由正方体的特征可知每一条对角线与5条面对角线成异面直线， 所以共有对. 故选：B. 16. 定义在上的函数和的最小周期分别是和，已知的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设，可知，然后根据每一个选项的，去求，判断选项是否成立即可. 【详解】令，则有， 若，则，此时，有，此时，故A错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故B错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故C错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故D正确； 故选：D 【点睛】关键点点睛：当两个最小正周期不同的函数相互加或减的时候，形成的新函数的周期为初始两个函数周期的整数倍，且相同的最小的数. 三､解答题.（本大题共5小题，满分78分，请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． （1）求该圆锥的侧面积： （2）设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理及圆锥的侧面积公式求解即可； （2）取中点，连接，得出直线与直线所成的角即为直线的夹角，再由余弦定理求解即可． 【小问1详解】 由题意，圆锥母线长， 所以圆锥的侧面积为． 【小问2详解】 取中点，连接，则，， 所以直线与直线所成的角即为直线的夹角， 因为平面，平面，所以， 在中，，同理可得， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成的角的余弦值为． 18. 已知，为常数． （1）若为偶函数，求的值； （2）设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，可得参数值； （2）由，可得，结合对勾函数单调性可得参数范围. 【小问1详解】 由已知函数为偶函数， 则， 即恒成立， 化简可得，即， 又不恒为， 所以； 【小问2详解】 由以， 当时，， 此时， 又，则函数在上单调递减， 由在上单调递减， 所以， 解得，即. 19. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． （1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （2）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【答案】（1） （2）6年 【解析】 【分析】（1）根据已知条件直接列式计算即可求解； （2）构造等比数列得到，结合题意列出不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得 ， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， ． 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， 即． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， ， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 20. 已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）. （1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； （2）若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由圆心坐标和抛物线焦点坐标计算可得； （2）联立圆与抛物线的方程，消去后再解出方程的根，结合图形判断即可； （3）设出直线方程和，联立直线和抛物线方程，得到韦达定理，再由题中以及抛物线的定义组成方程组解出最后利用求出结果； 【小问1详解】 由可知圆心坐标为， 因为抛物线的焦点与圆心重合， 所以， 所以抛物线的方程. 【小问2详解】 ，消去并整理方程可得， 解得， 抛物线和圆恒有一个公共点，且恒成立， 所以令，解得. 【小问3详解】 设，直线的方程为，原点到直线的距离为， 由消去可得，其中， ， 所以， 则，① 因为 ，② 由①②解得 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能利用抛物线的定义与已知组成方程组，求出. 21. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质． （1）若函数具有性质，求：值； （2）设，求证：存在常数，使得具有性质； （3）若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为． 【答案】（1）3 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义得，即可求解； （2）设，利用零点存在性定理即可证明； （3）设，可知具有性质，分，和三种情况，结合零点存在性定理得出在上存在零点，即可证明． 【小问1详解】 因为函数具有性质，所以， 所以． 【小问2详解】 证明：设，则， 令，即， 设， 因为， 所以在区间上函数存在零点， 当时，则，此时函数具有性质． 【小问3详解】 证明：设，因为，所以， 设， 因为， 所以具有性质，， 令得，， ①若，则函数在存在零点； ②若，即时， 当时，，即， 所以在区间存在零点； ③若，即， 因为， 所以，所以， 当时，，即， 所以在区间存在零点； 综上所述，，都存在零点，即都有， 故的值域为． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求，但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$