第十二章三角形全等常见模型（上） 专项训练2024-2025学年人教版数学八年级上册

全等三角形常见模型（上） 专项训练八年级上 全等三角形常见模型（上） 专题一（倍长模型） 图3 1 （1）如图1，在△ABC中，若AB=5,AC=8,求BC边上的中线AD取值范围。 （2）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上,若DM⊥DN。求证 BM+CN＞ MN （3）如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB,AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN,其中∠BAM=∠NAC=90°，AB=AM,AC=AN,连接MN,探索AD与MN的关系，并说明理由 解析： （1）6.5＞AD＞1.5 解析 利用三角形三边关系 求AD的取值范围，倍长AD至点E 使得AD=DE ，连接BE, △BDE ≌△ADC(SAS)，AC=BE,在△ABE中，AB+BE＞AE(2AD) ，BE-AB＜AE(2AD)， 即13＞2AD＞3, 6.5＞AD＞1.5 （2） 倍长DM至点E连接CE 构造全等三角形 因为DM=DE,∠MDB=∠EDC ,BD=DC 所以△MDB≌△EDC，所以BM=CE,使得BM+CN转换在一个三角形中，连接EN(思路点拨，证明MN=EN) 因为MD=DE,∠MDN=∠EDN,DN=DN,所以△MDN≌△EDN，所以MN=CN ,在三角形EDN中，两边之和大于第三边，所以BM+CN＞ MN。 （3） 倍长AD至点E，连接CE，AE=2AD。思路点拨：如果能证明AE=MN 即可得到AD与MN的数量关系。需要证明△AMN≌△AEC,因为△ABD≌△DEC,所以AB=EC, 因为AM=AB,所以AM=CE, 因为BA∥EC,∠BAC+∠ACE=180°，因为∠BAC+∠MAC=180°，所以∠ACE=∠MAC 可证△AMN≌△AEC（SAS）所以MN=AE,所以MN=2ADE E 2. △ABC、△DPC都是等边三角形 （1）如图1，求证：AP=BD （2）如图2,点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB,若PA⊥PM,且PB=2PM,求证BP⊥BD 解析： （1） 题目中同时出现两个等边（或等腰）三角形，首先要想到手拉手模型 在△ACP和△ACD中，BC=AC,∠BCD=∠ACP，DC=CP 所以△ACP≌△ACD（SAS） 所以AP=BD （2）要想求证BP⊥BD，就需要证明△BPD≌△APE 倍长PM至点E，连接AE,△AME≌△PMC(SAS)E 因为△ABC、△DPC都是等边三角形，所以∠ACP+∠PCB=60°， ∠PCB+∠BCD=60°，所以∠ACP=∠BCD 在△APC和△BDC中 ，BC=AC ,∠BCD=∠ACP,DC=PC 所以△APC≌△BDC 所以BD=AP ,在△BPD和△APE中，BP=AE,BC=AC,DC=AE 所以△BPD≌△APE（SSS） 所以∠PBD=∠APE=90° 所以BP⊥BD 专题二（大手拉小手模型） 1. 如图，在等腰△ABC中与等腰△ADE中，AB=AC,AD=AE,AC＞AD,∠BAC=∠DAE=50°，连接BD和CE相交于点P,交AC于点M,交AD于点N,下列结论： （1） BD=CE （2）∠BPC=50° （3）PA平分∠BPE （4）AP平分∠BAE 其中正确的____________________________________ 答案：正确的有（1）（2）（3） 解析（1）手拉手模型，在△ABD和△ACE中，AB=AC,AD=AE ∠BAC=∠DAE，∠BAD=∠CAE 所以△ABD≌△ACE（SAS） 所以BD=CE （2） 因为△ABD≌△ACE（SAS）所以∠ABD=∠ACE 根据八字模型得到∠BAC=∠BPC=50° （3） 过A点作AB,CE的垂线分别交于点G,H,转化为证明AG=AH （角分线定理） 简单办法：利用全等三角形高相等证明。AG和AH 分别是全等△ABD和△ACE的高，根据等面积法，很容易证明AG=AH ,即可证明AP是∠BPE的角分线 也可通过证明△AHE≌△AGD 来证明AG=AH。 H G 2. 如图，在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使得AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. （1）如图1 当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90° 求证 ①△ABD≌△ACE ② 直接写出∠BCE的度数 （2）设∠BAC=α，∠BCE=β ①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β 之间有怎样的数量关系？说明理由。 ②当点D在直线BC上移动时α，β 之间有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出结论。 E D 答案： （1）① 见解析 ② ∠BCE=90°(45+45) 解析：① 因为在ABD和△ACE中AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC所以∠BAD=∠CAE，所以△ABD≌△ACE（SAS） ② 因为△ABC中为等腰直角三角形，所以∠B=∠ACB=45°，∠ACE=∠B=45°,所以∠ACE+∠ACB=90° （2）①设∠BAC=α，∠BCE=β ，因为△ABD≌△ACE所以∠B=∠ACE 因为∠B=∠ACB,∠BCE=180-∠BAC, 即β=180-∠BAC（∠α）所以 α+β=180° ② 当D在线段BC上， 仍然满足 α+β=180° 如果超出BC则 不满足题干 专题三（一线三等角模型） 1. 如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB,点D、E、F分别是AB,BC,AC边上的点，BE=CF （1）若∠DEF=∠ABC,求证DE=EF （2）若∠A+2∠DEF=180°，BC=9,EC=2BE,求BD的长 （3）把（1）中的条件和结论反过来，若DE=EF，则∠DEF=∠ABC；这个命题是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由。 解析： （1）如图1，因为∠DEF=∠ABC ，且∠ABC+∠1+∠3=180°，∠DEF+∠2+∠3=180° 所以∠1=∠2，在△BDE和△EFC中， 所以△BDE≌△EFC（AAS） 所以DE=EF （2）因为∠ABC=∠ACB，在三角形ABC中，2∠ABC+∠A=180°,因为∠A+2∠DEF=180°，所以∠ABC=∠ACB=∠DEF，根据题1 可以证明△BDE≌△EFC（AAS），BD=EC=9×2/3=6 2. 成立 如图2 证明如下:分别过F点E点作BC、AB的垂线（利用BE=CF）在△BEG和△FHC中（∠BGE=∠FHC=90°，∠B=∠C,BE=CF）所以△BEG≌△FHC（AAS）所以GE=HF, 因为GE=HF，DE=EF 所以在△DEG和≌△FHE(HL)，所以∠HEF=∠BDE;因为∠HEF+∠DEF+∠BED=180°，∠BED+∠BDE+∠B=180° ,∠HEF=∠BDE所以∠B=∠DEF 即可证明 图1 图2H G 2 1 3 2.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到AC=___________,BC=AE.我们把这个数学模型称为“K”字模型，或一线三等角模型。 （2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G. 求证点G是DE的中点； 解析 （1）AC=DE （2）构造一线三等模型 ，过点D作FG的垂线交于点M,过点E作FG的垂线交于点N, 在△ABF和DAM中，因为∠BFA=∠DMA=90°，∠FBA=∠DAM(等角的余角相等）AB=AD 所以△ABF≌DAM（AAS）,所以BF=AM,AF=DM 同理在△AFC和AGE中,因为因为∠AFC=∠AGE=90°,∠FAC=∠NEA,AC=AE,所以△AFC≌AGE，所以AF=NE; 在△DMG和NGE中,∠DMG=∠EGM,=90°∠DGM=∠NGE,DM=NG 所以△DMG≌NGE，所以DG=GE ，G是DE中点. 图2Q O 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE,将AE绕点A逆时针旋转90°，E点旋转至点F （1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证△AGF≌△ECA （2）如图2，连接BF交AC于点D,若=5,求证CE是BE的2倍 （3） E是射线CB上一点，直线BF交直线AC于点D,若=,则=________ D 解析： （1）将AE绕点A逆时针旋转90°，所以∠FAE=90°，因为∠1+∠FAC=90°，∠2+∠FAC=90°，所以∠1=∠2，在△AFG和△ACE中 △AGF≌△ECA（AAS） （2）过F点作AC的垂线交于点G, 根据（1） 可得△AGF≌△ACE（AAS）所以AG=CE, FG=AC 因为AC=BC, AC=FG,所以BC= FG在△FGD和△BCD中，BC= FG，∠FDG=∠CDB,∠FGD=∠BCD=90° ，所以△FGD≌△BCD，所以DG=DC, 因为=5,设CD为x，AD为5x,AG=4x,DG=x, 因为CE=AG所以CE=4x，BE=2x ,即可证得CE是BE的2倍。 （3）=，设BC为5x，BE为2x，CE=3x，因为△AGF≌△ACE（AAS），所以AG=EC=3x，因为AC=BC,所以CG=2x，因为DG=DC,所以DG=DC=x,所以AD=4x, ==4 G 2 1 3. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=5cm,CD=4cm.点P从C点出发以1cm/s的速度沿CB向点B匀速运动。点M从点A出发以1.5cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,点N从D点出发以acm/s的速度沿DC向点C匀速运动.点P、M、N同时出发，当其中一个点达到终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts. （1）如图1，①当a为何值时，以 P、B、M为顶点的三角形与△PCN全等？并求出相应的t的值； ②连接AP、BD交于点E.当AP⊥BD时，求出t的值； （2）如图②，连接AN,MD交于点F,当a=，t=时，证明S△ADF=S△ADF, 图1图2 解析： （1）如果要想以P、B、M为顶点的三角形与△PCN全等，我们需要创造出情况①CP=BM,BP=CN，设运动时间为t, CP=1t，CN=4-at ;BM=5-1.5t BP=5-1t 同时满足 解 a为0.5cm/s ，t=2 情况② BM=CN ,BP=CP 设运动时间为t, CP=1t，CN=4-at ;BM=5-1.5t BP=5-1t 解 a=1.1 cm/s ，t=2.5 （2）根据模型图1 正方形内的三角形全等 ，要想使AM⊥AN, 那么∠1+∠2=90°，因为∠2+∠5=90°，所以∠1=∠5；∠4=∠3；因为AB=BC,所以△ABN≌△BCM; 同理 在图二中，如果AP⊥BD，那么ABP≌△BCD, BP=CD ,CP=1,t=1; （3）a=，t=时， CP= ，DN=×=1，AM=×=4, MB=1 △ADF和△ADF有共同的底边，所以要想证明△ADF和△ADF面积相等，则需要证明高相等，过点A作DF的垂线交延长线于H ,过点C作DF的垂线交延长线于G,转化为证明AH=CG,在△AHM和△CDG中，因为CD∥AB所以∠AMH=∠GDC（两直线平行，内错角相等）， ∠AHM=∠DGC=90°，AM=DC ，所以△AHM≌△CDG（AAS）得到AH=CG,所以S△ADF=S△ADF。 图1 图2G H A D N 3 2 5 4 C B M 1 专题四（截长补短模型） 1. 如图，已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线交于点E,CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB 解析： 因为AD∥BC，∠PAB+∠CBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）∠PAB的平分线与∠CBA的平分线交于点E，所以∠EAB+∠EBA=90°，∠AEB=90°。 在AB上取一点G,使得AD=AG,,转化为证明GB=BC.在△ADE和△AEG中，AD=AG,∠DAE=∠EAG,AE=AE,所以ADE≌△AEG 因为∠AEB=90°，∠DEA+∠CEB=90°,因为∠AEG+∠GEC=90°且∠DEA=∠AEG，所以∠CEB=∠GEC，在△GEB和△BEC中,∠CEB=∠GEC,EB=EB,∠GBE=∠EBC,所以△GEB≌△BEC，得到BG=BC, 因为AD=AG,BG=BC,所以AD+BC=AG+BG=ABA 图1C B 2 1 G 2. 引子：如图1所示，在△ABC中，AB=AC,求证∠B=∠C,对于该问题小周是这样想的：作△ABC的高AD,利用___________,易证△ABD≌△ACD,从而得到∠B=∠C；也可以作△ABC的角分线AD，利用___________,易证△ABD≌△ACD,从而证得∠B=∠C。由此我们得到：如果一个三角形有两个边相等，那么这两个边对应的角也相等，简称“等边对等角” 问题：如图2-1所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，AD=3cm,DC=5cm,BC=6cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D匀速运动，点Q同时从C点出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B匀速运动，设运动时间为t(s) （1）如图2-1，当△PAE与△EBQ全等时，求t的值； （2）如图2-2，若AC与DQ交于点F,连接PF、AQ,当t=2.5时，=______________,=______________, （3）如图2-3,当PE⊥QE时，求证AP+BQ=PQ 解析： （1）如果要使得△PAE与△EBQ全等，需要AP=BQ当AP=BQ时BQ=6-2t ，AP=t 解6-2t =t ，t=2 （2）当t=2.5时，AP=2.5cm, CQ=2.5×2=5cm，BQ=1cm S△AFP 与S△DFP共底，高的比就是面积比，==5 S△AQP 与S△CQF 面积比等于S△ADF与S△DFC 的面积比，因为我们知道AD和CD的长度，所以我们以AD和CD为底，高度比就是面积比，过F分别作 AD,CD的高交于点M,N。因为CQ=2.5×2=5cm，CD=5,所以△DCQ为等腰三角形，∠CQD=∠QDC,因为AD∥BC,所以∠CQD=∠PDQ,所以∠QDC=∠PDQ ，因为FD=FD,两高得到两个90°的角，所以△MDF≌△DNF,所以FM=FN,高相等面积比就等于底边比，所以= （3）因为E是AB边上的中点，倍长PE至点G,使得PE=EG,得到△AEP≌ △GEB(SAS) 得到AP=BG,因为PE⊥QE，AP=BG,所以QE垂直平分PG,得到△PQG为等腰三角形，PQ=QG, 因为AP+BG=QG,PQ=QG所以AP+BG=PQ G 1 学科网（北京）股份有限公司 $$