1.2.4二面角（同步课件）数学人教B版选择性必修第一册

1.2.4 二面角 主讲：张明明 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 复习回顾 直线与平面的范围： 设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量分别为 平面的法向量为， 日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象。 例如，在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图(2)所示，很多屋顶都是二面角的形象。 你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？ 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线. 一、半平面与二面角 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 一、半平面与二面角 l   二面角的棱 二面角的面 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 二、二面角的平面角 特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 约定二面角及其平面角大小范围：[0，π] 尝试与发现 如果n1，n2分别是平面，的一个法向量，设与所成角的大小为θ，通过作图讨论与<n1，n2>的关系. 三、用空间向量求二面角的大小 n1 n2 α β l n1 n2 α β l 如果n1，n2分别是平面的一个法向量，设所成角的大小为θ，则 θ=<n1，n2>或θ=<n1，n2> 三、用空间向量求二面角的大小 n1 n2 α β l n1 n2 α β l 【典型例题一】 例1. 如图所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B两个点，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AB=6，AC=3，BD=4，CD=7，求二面角α-l-β的大小. 【典型例题一】 解：如图所示，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE=BD，连接CE，ED. 因为四边形AEDB是一个矩形， 所以∠CAE是二面角α-l-β的一个平面角. 又AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC， 从而 【典型例题二】 例2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角. 规律总结 【典型例题三】 例3. (2023深圳期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且AB=2，AD=1，AA1=3，D1E=BF=1. (1)证明:EF⊥A1E; (2)求平面A1EF与平面ABCD的夹角的余弦值. 【典型例题三】 课堂小结 主讲：张明明 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 解: 方法一　如图,以A为坐标原点,AC,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接BD,与AC交于点O,取AD中点F,连接OE,OF.设PA=AB=a,AC=b, 则A(0,0,0),C(b,0,0),B(0,a,0),D(b,-a,0),P(0,0,a), E,O, 所以=,=(b,0,0),=(0,-a,0), 所以·=0×b+×0+×0=0,所以⊥. 由题意,知==,所以·=0.所以⊥. 所以∠EOF是平面EAC与平面ABCD所成角的平面角. 所以cos<,>==. 所以平面EAC与平面ABCD的夹角为45°. 方法二　建立空间直角坐标系如方法一, 则=,=(b,0,0). 因为PA⊥平面ABCD, 所以=(0,0,a)为平面ABCD的一个法向量. 设平面AEC的法向量为m=(x,y,z). 由得所以x=0,y=z.取y=1, 所以m=(0,1,1)为平面AEC的一个法向量. 所以cos<m,>===. 所以平面AEC与平面ABCD的夹角为45°. 向量法求两平面夹角的步骤 用向量法求两平面夹角的大小,可以避免作出二面角的平面角这一难点,转化为计算两半平面法向量的夹角问题,具体求解步骤如下: (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量; (3)求两个法向量的夹角; (4)确定两平面夹角的大小. (1)证明:以C1为坐标原点,C1D1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(2,1,0),E(2,0,1),F(0,1,2),所以= (0,-1,1), =(-2,1,1).所以·=0×(-2)-1×1+1×1=0, 所以⊥,所以EF⊥A1E. (2)解:由(1)知,=(0,-1,1),=(-2,1,1), 设平面A1EF的一个法向量为m=(x,y,z), 则令z=1,则m=(1,1,1). 由题意得C1C⊥平面ABCD,所以是平面ABCD 的一个法向量,=(0,0,3).设平面A1EF与平面ABCD的夹角为θ, 则cos θ=|cos<m,>|===,故平面A1EF与平面ABCD的夹角的余弦值为. $$