精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年 八年级上学期数学开学考试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 4. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A. AB=5，BC=6 B. AB=5，BC=6，AC=13 C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 5. 如图,OC平分∠AOB,CM⊥OB于点M,CM=3,则点C到射线OA的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中线、相交于点O，，且，，则四边形的面积是（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 10. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知，则______． 12. 如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是______． 13. 长方形的周长为，其中一边为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为______________． 14. 如图，直线 ，，分别过正方形 的三个顶点，，，且相互平行，若 ， 的距离为 ，， 的距离为2， 则正方形的边长为____． 15. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________． 三．解答题（共7小题，满分55分） 16. （1）； （2）； （3）； （4）（简便运算）． 17. 先化简，再求值：，其中a，b满足：． 18. 如图所示，已知锐角∠AOB及一点P． （1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明． 19. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 20. 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题： (1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km． (2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车平均速度为___________km/h，图中点A表示 ． (3)小南从家到度假村路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km． 21. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． （1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． （2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数． （3）在中，为的等腰分割线，且，，请直接写出的度数． 22. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A、D、E，在同一直线上，连接，易证，则①线段之间数量关系是______；②______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E，在同一直线上，若，求的长度； （3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年 八年级上学期数学开学考试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用单项式乘单项式的法则，完全平方公式，幂的混合运算，平方差公式对各项进行运算即可． 【详解】A. ，故该选项正确； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项错误； D. ，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】利用单项式乘单项式的法则，完全平方公式，幂的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2. 肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：700纳米米米， 故选：B． 3. 下列事件中是必然事件是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义逐一判断即可：在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件． 【详解】解：A、床前明月光是随机事件，不符合题意； B、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，不符合题意； D．黄河入海流是必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键． 4. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A. AB=5，BC=6 B. AB=5，BC=6，AC=13 C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系以及三角形的性质对每个选项一一判断即可. 【详解】A.两条边无法做出唯一三角形； B.5+6＜13，不能构成三角形； C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC； D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC. 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形的画法，利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键. 5. 如图,OC平分∠AOB,CM⊥OB于点M,CM=3,则点C到射线OA的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过C作CF⊥AO，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案． 【详解】过C作CF⊥AO． ∵OC为∠AOB平分线，CM⊥OB，∴CM=CF． ∵CM=3，∴CF=3． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大； 当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变； 当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小； 当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变； 当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小； 故选B． 7. 如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，求出即可解答． 【详解】解：，， ， 由翻折的性质可知：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 8. 将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于点，先利用平角定义可得，从而可得，即可判断A；利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可判断B；利用三角形的外角性质可得，即可判断C；利用平角定义可得，从而可得，即可判断D． 【详解】延长交于点， ， ， ， ∴， 故A不符合题意； ∵， ， 是的一个外角， ， ， 故B不符合题意； 是的一个外角， ， 故C不符合题意； ，， ， ， 故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，的中线、相交于点O，，且，，则四边形的面积是（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中心、与中线有关的三角形的面积的计算、三角形面积公式，由三角形面积公式得出，再根据三角形重心性质得出，，，求出，，从而得出，最后再由四边形的面积计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的中线、相交于点O， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 10. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积之和为 ， ∵正方形的面积为， ∴即， ∴， ∴阴影部分的面积之和为16． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算出等式左边的结果为64，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，正确推出是解题的关键． 12. 如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查几何概率；根据几何概率的求法：石子落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每个正方形的面积都为，总面积为，其中阴影部分面积为， 石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 13. 长方形的周长为，其中一边为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，根据题意表示出另一边长，再利用矩形面积求法得出答案即可，正确表示出矩形的另一边长是解此题的关键． 【详解】解：∵长方形的周长为，其中一边为（其中）， ∴另一边长为， ∴， 故答案为：． 14. 如图，直线 ，，分别过正方形 的三个顶点，，，且相互平行，若 ， 的距离为 ，， 的距离为2， 则正方形的边长为____． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作交于点E，交于点F，可得，再证明，可得，然后由勾股定理，即可求解． 【详解】解∶如图，过点D作交于点E，交于点F， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ， 即正方形的边长为． 故答案为： 【点睛】本题利用了全等三角形的判定的性质，勾股定理，正方形的性质求解，作辅助线，构建三角形全等是关键． 15. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分55分） 16. （1）； （2）； （3）； （4）（简便运算）． 【答案】（1）-18；（2）-6；（3）；（4）810000 【解析】 【分析】（1）先算乘方，去绝对值，再算加减； （2）先算乘方，再从左到右依次计算； （3）先用平方差公式，再用完全平方公式； （4）把式子变形，先用平方差公式，再合并即可． 【详解】解：（1） =-1-8-1+（-8） =-18； （2） =-6； （3） ； （4） =（900-1）×（900+1）+1 =810000． 【点睛】本题考查整式的运算和实数运算，解题的关键是掌握整式运算、实数运算的顺序及相关运算法则． 17. 先化简，再求值：，其中a，b满足：． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴，， 解得：，， 则原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关键． 18. 如图所示，已知锐角∠AOB及一点P． （1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明． 【答案】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示见解析；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据垂线的定义画出图形即可解决问题； (2)根据四边形内角和为360º或“8字型”性质即可解决问题. 【详解】解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示； （2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB． 理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°， ∴∠MPN+∠AOB=180°． 右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°， ∴∠MPN=∠AOB． 故答案为（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示见解析；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由见解析. 【点睛】本题主要考查了基本的尺规作图. 19. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1） （2）需要， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ，，， 如图，过作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：， 答：山地C距离公路的垂直距离为； 小问2详解】 解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则， ， ， 由（1）可知，， ， 有危险需要暂时封锁， 在中， ， ， 即需要封锁的公路长为． 20. 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题： (1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km． (2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ． (3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km． 【答案】（1）t，s，60；(2) 1,60,小南出发2.5小时后，离家的距离为50km ;(3)30或45． 【解析】 【分析】（1）直接利用常量与变量的定义得出答案；直接利用函数图象结合纵坐标得出答案； （2）利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，根据速度=路程÷时间求解即可；根据函数图象的横纵坐标的意义得出A点的意义； （3）利用函数图象得出交点的位置进而得出答案． 【详解】（1）自变量是时间或t，因变量是距离或s；小亮家到该度假村的距离是：60； （2）小亮出发1小时后爸爸驾车出发：爸爸驾车的平均速度为60÷1=km/h； 图中点A表示：小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km； （3）当20t=60(t-1)，解得：t=1.5 则离家20×1.5=30（千米） 当20t=120-60(t-1),解得：t=2.25 则离家20×2.25=45（千米） 小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45． 【点睛】此题主要考查了函数图象以及常量与变量，利用函数图象获取正确信息是解题关键． 21. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． （1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． （2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数． （3）在中，为的等腰分割线，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；第二种：等腰的顶角，等腰的顶角；等腰分割见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）证明，，从而得出结论； （2）是腰时，，；是底时，，，可画出图形； （3）分为，及三种情形，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：是的垂直平分线， ， ，是等腰三角形， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的一条等腰分割线； 【小问2详解】 解：如图1， 第一种：等腰的顶角，等腰的顶角； 第二种：等腰顶角，等腰的顶角． 【小问3详解】 解：如图2， 当，时，， 如图3， 当，时，， 如图4， 当，时，， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类讨论问题，三角形内角和定理，解决问题的关键是正确分类，画出图形． 22. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A、D、E，在同一直线上，连接，易证，则①线段之间的数量关系是______；②______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E，在同一直线上，若，求的长度； （3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由条件易证，从而得到，由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）同 （1）证出得出，，求出，得出，由勾股定理求出即可； （3）把绕点C逆时针旋转得，连接，则，证出是等边三角形，得出，，求出，证明D、P、E在同一条直线上，得出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）①和均为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 由①得， ， 为等边三角形， ， 点A，D，E在同一直线上， ， ， 故答案为：； （2）和均为等腰三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 点A，D，E在同一直线上， ， ， ， ； （3）把绕点C逆时针旋转得，连接，如图所示： 则 ，，， 是等边三角形， ， ， ， 又 即D、P、E在同一条直线上， ， 在中， ， 即的长为． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $