第1章 4.3 一元二次不等式的应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[基础巩固·夯基提能] 1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　) A．{x|－1≤x＜0}　　 B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤1} 解析　因为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}， 所以A∩B＝{x|0＜x≤1}． 答案　B 2．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．－＜a≤ B．－＜a＜ C．－≤a＜ D．－≤a≤ 解析　Δ＝(－2a)2－4×1×2≤0， ∴－≤a≤. 答案　D 3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 解析　3 000＋20x－0.1x2≤25x⇔x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150. 答案　C 4．不等式≥1的解集为________． 解析　因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于(2x－1)(x＋4)≤0，x＋4≠0，解得－4＜x≤. 答案　 5．若不等式x2－4x＋3m＜0的解集为空集，则实数m的取值范围是________． 解析　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥. 答案　 6．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问： (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围； (2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值． 解析　税率为P%时，销售量为(80－10P)万件， 设销售金额为F，则F＝80(80－10P)， 税金为80(80－10P)·P%，其中0＜P＜8. (1)由 解得2≤P≤6.故P的范围为[2，6]. (2)∵F＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数， ∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额，为4 800万元． (3)∵0＜P＜8， 设税收金额为G，则G＝80(80－10P)·P%＝ －8(P－4)2＋128， ∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元． [关键能力·综合提升] 7．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为(　　) A.1 B．－1 C．－3 D．3 解析　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0，1]恒成立，又y＝x2－4x在(0，1]上为减函数， ∴ymin＝12－4×1＝－3，∴m≤－3. 答案　C 8．在R上定义运算：x*y＝x(1－y).若不等式(x－a)*(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．－＜a＜ D．－＜a＜ 解析　依题意得x－a－x2＋a2＜1恒成立， 即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立， 所以Δ＝a2－a－＜0恒成立， 解得－＜a＜. 答案　C 9．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行使(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________．欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为________． 解析　由于“汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L”，所以＝11.5，解得k＝100，故每小时油耗为－20，依题意－20≤9，解得45≤x≤100，依题意60≤x≤120， 故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60，100]. 答案　100　[60，100] 10．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式ax2＋ax－6＜0的解集为B. (1)若a＝1，求A∩B； (2)在(1)的前提下，若不等式x2＋mx＋n＜0的解集为A∩B，求不等式mx2＋x＋n＜0的解集； (3)∀x∈R，ax2＋ax－6＜0，求a的取值范围． 解析　(1)由题可知A＝{x|－1＜x＜3}， 当a＝1时，B＝{x|－3＜x＜2}， ∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}． (2)∵不等式x2＋mx＋n＜0的解集为A∩B＝{x|－1＜x＜2}， ∴－1和2是方程x2＋mx＋n＝0的两个根， ∴解得 ∴mx2＋x＋n＜0， 即－x2＋x－2＝－－＜0，其解集为R. (3)当a＝0时，－6＜0恒成立，符合题意； 当a≠0时，∵∀x∈R，ax2＋ax－6＜0， ∴ 解得－24＜a＜0. 综上可得，a的取值范围是{a|－24＜a≤0}． [核心价值·探索创新] 11．若不等式＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析　∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4＞0， ∴只需mx2－mx－1＜0恒成立． 故m＝0或 ∴－4＜m≤0. 答案　(－4，0] 学科网（北京）股份有限公司 $$