第1章 2.2 全称量词与存在量词（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[基础巩固·夯基提能] 1．设命题p：∀x∈R，|x|＋2＞0，则¬p为(　　) A．∃x∈R，|x|＋2＞0 B．∃x∈R，|x|＋2≤0 C．∃x∈R，|x|＋2＜0 D．∀x∈R，|x|＋2≤0 解析　原命题是全称量词命题，则原命题的否定是存在量词命题，即¬p：∃x∈R，|x|＋2≤0.故选B. 答案　B 2．以下三个命题中，真命题的个数是(　　) ①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a，b，使得a＋b＝ab； ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”． A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析　①原命题的逆命题为若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；②当a＝b＝2时，a＋b＝ab，故②是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题．故选C. 答案　C 3．(多选)已知下列命题正确的是(　　) A．∀x∈R，－x2＜0 B．∃x∈Q，x2＝5 C．∃x∈R，x2－x－1＝0 D．若p：∀x∈N，x2≥1，则¬p：∃x∈N，x2＜1 解析　A中，当x＝0时，－x2＝0，故A是假命题；B中，x2＝5，x＝±，±是无理数，故A是假命题；C中，当x＝时，x2－x－1＝0；D中，全称量词命题的否定是存在量词命题，故CD是真命题． 答案　CD 4．命题“∀x∈R，3x2－2x＋1＞0”的否定是________． 解析　“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，¬p(x0)”． ∴其否定为∃x∈R，3x2－2x＋1≤0. 答案　∃x∈R，3x2－2x＋1≤0 5．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析　①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题． 答案　①②③　④ 6．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：末位数字为9的整数能被3整除； (2)p：有的素数是偶数； (3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0； (4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 解析　(1)¬p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除，¬p为真命题． (2)¬p：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，故¬p为假命题． (3)¬p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.¬p为真命题． (4)¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0，¬p为真命题． [关键能力·综合提升] 7．(多选)下列命题不正确的是(　　) A．∃x∈R，x2＋1≤0 B．∀x∈R，2x＞x2 C．“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1” D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件 解析　∵∀x∈R，x2＋1＞0，∴A为假命题；∵函数y＝2x与y＝x2的图象有交点，如点(2，2)，此时2x＝x2，∴B为假命题；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C为假命题；当a＞1，b＞1时，ab＞1，∴D为真命题． 答案　ABC 8．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是____________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为¬p：____________． 解析　命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是存在量词命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题． 命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0. 答案　存在量词命题　假　∀x∈R，x2＋2x＋5≥0 9．已知命题“∃x∈R，x2－ax＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　∵命题“存在实数x，使x2－ax＋1＜0”为假命题，所以函数y＝x2－ax＋1的图象不能落在x轴的下方，∴Δ＝(－a)2－4≤0，∴－2≤a≤2.实数a的取值范围是－2≤a≤2. 答案　[－2，2] 10．若命题P：“任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命题，求实数a的取值范围． 解析　依题意，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立， 即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，所以有 ⇔⇔a≥2. 实数a的取值范围是[2，＋∞). [核心价值·探索创新] 11．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围． 解析　解法一　由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1，2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0，或4＋4a＋2－a＞0. 整理得a＞－3或a＞－2. 即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞). 解法二　¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解， 令f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 则f(1)≤0，f(2)≤0，即 解得a≤－3.故命题p中，a＞－3. 即参数a的取值范围为(－3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$