第1章 2.1 第2课时 充要条件（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[基础巩固·夯基提能] 1．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　“a＞b”推不出“a2＞b2”， 例如，2＞－3，但4＜9；“a2＞b2”也推不出“a＞b”， 例如，9＞4，但－3＜2. 答案　D 2．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B＝B B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 解析　由Venn图可知，B，C，D都是充要条件，故选BCD. 答案　BCD 3．“a＞1”是“＜1”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由＜1得＞0，得满足条件的a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).由于(1，＋∞)(－∞，0)∪(1，＋∞)， 所以“a＞1”是“＜1”成立的充分不必要条件． 答案　A 4．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的______条件． 解析　若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 答案　既不充分也不必要 5．在下列电路图中，分别指出闭合开关A是灯泡B亮的什么条件． ①中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件； ②中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件； ③中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件； ④中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件． 解析　①开关A闭合，灯泡B亮；反之，灯泡B亮，开关A闭合，于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；②仅当开关A，C都闭合时，灯泡B才亮；反之，灯泡B亮，开关A必须闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；③开关A不起作用，故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件；④开关A闭合，灯泡B亮；但灯泡B亮，只需开关A或C闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件． 答案　①充要　②必要不充分　③既不充分也不必要　④充分不必要 6．已知p：0＜x＋m＜3m(m＞0)，q：x(x－4)＜0，若p是q的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围． 解析　由p解得－m＜x＜2m， 由x(x－4)＜0，解得0＜x＜4. 若p是q的充分不必要条件，则有 解得m无解； 若p是q的必要不充分条件，则有 解得m≥2. 因此当p是q的既不充分也不必要条件时，实数m的取值范围是(0，2). [关键能力·综合提升] 7．(多选)若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件，也不是“x∈A”的必要条件 解析　∵非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，∴由x∈A⇒x∈A∪B⇒x∈C. 由x∈C⇒x∈A∪B⇒x∈A或x∈B. ∵B不是A的子集，∴不一定有x∈A，即仅有B正确． 答案　ACD 8．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但AD/⇒D，故选A. 答案　A 9．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空． (1)“a，b都为0”的必要条件是________； (2)“a，b都不为0”的充分条件是________； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是__________． 解析　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 ④ab＞0⇔或则a，b都不为0. 答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 10．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明　(1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有实根， 设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2， 由韦达定理知：x1x2＝1＞0， ∴x1，x2同号， 又∵x1＋x2＝－m≤－2， ∴x1，x2同为负根． (2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1， ∴m－2＝－(x1＋x2)－2＝－－2 ＝－＝－≥0. ∴m≥2.综上(1)，(2)知命题得证． [核心价值·探索创新] 11．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a，b)＝－a－b，那么“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由＝a＋b， 可得a2＋b2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，即 由a≥0，b≥0，且ab＝0，得＝＝a＋b， 故“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的充要条件． 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$