精品解析：辽宁省鞍山市海城市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

九年级期初数学学科检测试卷 （试卷满分120分；时间120分钟） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠﹣2 B. C. 且x≠﹣2 D. 且x≠﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 【详解】解：由题意得， 解得且x≠-2． 故选C． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 2. 奥林匹克官方旗舰店3月份各种“冰墩墩雪容融”纪念品的销售情况统计如下，则纪念品所售价格的众数是（ ） 价格（元） 100 88 68 58 48 销量（万件） 70 80 40 100 40 A. 100元 B. 100 C. 58元 D. 100万件 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得． 【详解】解：因为在纪念品所售价格中，58元销量最高，即出现的次数最多， 所以纪念品所售价格的众数是58元， 故选：C． 【点睛】本题考查了众数，熟记定义是解题关键． 3. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断． 【详解】A. ，设， 则，， 故A选项不能判断它是直角三角形，符合题意； B. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意； C. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意； D. ，设，则，， ，故能判断是直角三角形，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断． 【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)； 在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象． 6. 用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可． 【详解】解：A、由作图可知，，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确； B、由作图可知，即四边相等的平行四边形是菱形，正确； C、由作图可知，只能得出四边形是平行四边形，错误； D、由作图可知，对角线平分对角，可以得出是菱形，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 8. 如图，四边形为矩形，过A、C作对角线的垂线，过B、D作对角线的垂线，如果四条垂线段拼成一个四边形，那这个四边形为（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定、三角形的面积计算，熟知菱形的判定是解答的关键．先根据矩形的性质得到，，再根据三角形的面积公式得到，进而利用四条边相等的四边形是菱形可得结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴四条垂线段拼成一个菱形， 故选：B． 9. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 10. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当____时，二次根式取最小值，其最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知最小值为0，进而求得的值． 【详解】， 当-1时，二次根式取最小值，其最小值为0． 故答案为：-1,0 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点F是BC的中点，点D是AB的中点，连接AF和DF，若△DBF的周长是11，则AB＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点， ∴DE=DF=AB， ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴点F是BC的中点，∴BF=FC=3， ∵BE⊥AC， ∴EF=BC=3， ∴△DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=11， ∴AB=8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键． 13. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 14. 如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， ∵的面积被y轴平分， ∴点P与点A的横坐标互为相反数， ∴点P的横坐标为， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t=_____s时，△PAB为等腰三角形． 【答案】5或8或 【解析】 【分析】求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA=AB=5cm时，②当P和C重合时，PB=AB=5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，求出即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm， ∴AC⊥BD，AO=OC=4cm，BO=OD=3cm， 由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm， 分为三种情况：①如图1，当PA=AB=5cm时，t=5÷1=5（s）； ②如图2，当P和C重合时，PB=AB=5cm，t=8÷1=8（s）； ③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB， 在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2， AP2=32+（4﹣AP）2， AP=； t=÷1=（s）， 故答案为5或8或． 【点睛】考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减运算和解一元二次方程． （1）把二次根式化最简二次根式后，合并同类二次根式即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2） 由题意可得， ∵ ∴ ∴． 17. 某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1）见解析（2）降价4元或36元 【解析】 【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【详解】（1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600 整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0 解得：x=4或x=36． 答：每件应降价4元或36元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键． 18. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．超始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】（1）的长为； （2）物体上升的高度约为． 【解析】 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求出答案； （2）用勾股定理求出，再求出，根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图2，在中，， ， ， 则的长为； 【小问2详解】 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 则物体上升高度约为 19. 某区对5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频率分布表和频数分布直方图的一部分（如图所示）.请根据图表信息回答下列问题： 视力 频数（人） 频率 20 0.1 40 0.2 70 0.35 0.3 10 （1）在频率分布表中，的值为______，的值为______，并将频数分布直方图补充完整； （2）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数.”问甲同学的视力情况应在什么范围内？ （3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，则视力正常的人数占被统计人数的百分比是______，并根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生人数. 【答案】 ①. 60 ②. 0.05 ③. 35% 【解析】 【详解】【分析】（1）用第1组的频数除以第1组的频率可得到样本容量，然后用样本容量分别减去各组的频数可得到第4组的频数，用第5组的频数除以样本容量可得到该组的频率； （2）根据中位数的定义可得到第100个数据和第101个数据都落在第3组内，所以中位数落在第3组内，由此可判断甲同学的视力情况； （3）第4、5组的视力正常，所以视力正常的人数占被统计人数的百分比= ×100%=35%，然后用这个百分比乘以2000即可． 【详解】（1）∵20÷0.1=200，∴a=200﹣20﹣40﹣70﹣10=60， b=10÷200=0.05， 补全直方图如图所示； 故答案为60，0.05； （2）∵根据中位数的定义知道中位数在4.6≤x＜4.9， ∴甲同学的视力情况范围：4.6≤x＜4.9； （3）视力正常的人数占被统计人数的百分比是： ×100%=35%， ∴估计全区初中毕业生中视力正常的学生有35%×5000=1750人， 故答案为35%． 【点睛】本题考查了频（数）率分布直方图、中位数、用样本估计总体，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 20. 红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． （1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ （2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； （2）有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元 【解析】 【分析】对于（1），设A种树苗的单价，可表示B种树苗的单价，再根据总价等于4000，求出解； 对于（2），先列出不等式组，求出解集，可得方案，然后列出一次函数表示总费用，再根据一次函数的性质得出最低费用即可． 【小问1详解】 解：设A种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，根据题意得：， 解得：， ， 答：A种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； 【小问2详解】 解：设购买A种树苗棵，则购买种树苗棵，其中为正整数，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 取20，21，22，23，24，25， 有6种购买方案， 设总费用为元， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为475， 此时， 答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质等，确定等量关系和不等关系是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． （1）求此一次函数的解析式； （2）求出的面积； （3）点D在此坐标平面内，且以O、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3）点D的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立，可求出两直线交点坐标为，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分类讨论：①当为边，且点D位于直线下方时和②当为边，且点D位于直线上方时，结合平行四边形性质可求解；③当为对角线时，过点C作轴于点E，过点C作轴于点F，结合平行四边形的性质可证，即得出，，即得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：，解得：， ∴此一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立，解得：， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分类讨论：①当为边，且点D位于直线下方时，此时平行四边形为，如图， ∴， ∴，， ∴； ②当为边，且点D位于直线上方时，此时平行四边形为，如图， ∴， ∴，， ∴； ③当为对角线时，此时平行四边形为，如图，过点C作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 综上可知点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和平行四边形的性质是解题关键． 22. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长． 【答案】（1）见解析；（2）周长20， 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN； （2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，求出MD＝5，由勾股定理求出BD的长，得出OB的长，再由勾股定理求出OM，即可得出MN的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD， ∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO． ∵MN是BD的垂直平分线 ∴OD＝OB， 在△DMO和△BNO中， ， ∴△DMO≌△BNO（AAS）， ∴OM＝ON． ∵OB＝OD， ∴四边形BMDN是平行四边形． ∵MN⊥BD， ∴四边形BMDN是菱形． （2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x． 在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5．即MB＝5， ∴菱形BMDN的周长为5×4＝20． 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝4， ∴． 在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝， 由（1）得：OM＝ON， ∴． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 23. 综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． （1）如图1，若，则________； （2）回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． （3）方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线的定理，平行四边形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质等知识点，熟读题意合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据中位线定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证出后，利用全等的性质证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可； （3）延长到点，使，连接，，证出四边形是平行四边形后，结合正方形的性质，证出，通过全等的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵是的中位线， ∴ 小问2详解】 解：由题意可得：延长到点，使得，连接如图所示： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，且 【小问3详解】 延长到点，使，连接，，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级期初数学学科检测试卷 （试卷满分120分；时间120分钟） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠﹣2 B. C. 且x≠﹣2 D. 且x≠﹣2 2. 奥林匹克官方旗舰店3月份各种“冰墩墩雪容融”纪念品的销售情况统计如下，则纪念品所售价格的众数是（ ） 价格（元） 100 88 68 58 48 销量（万件） 70 80 40 100 40 A. 100元 B. 100 C. 58元 D. 100万件 3. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 4. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 5. 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 8. 如图，四边形为矩形，过A、C作对角线的垂线，过B、D作对角线的垂线，如果四条垂线段拼成一个四边形，那这个四边形为（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 9. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当____时，二次根式取最小值，其最小值为_________． 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点F是BC的中点，点D是AB的中点，连接AF和DF，若△DBF的周长是11，则AB＝_____． 13. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 14. 如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为________． 15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t=_____s时，△PAB为等腰三角形． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：； 17. 某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 18. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．超始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：） 19. 某区对5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频率分布表和频数分布直方图的一部分（如图所示）.请根据图表信息回答下列问题： 视力 频数（人） 频率 20 01 40 02 70 0.35 0.3 10 （1）在频率分布表中，的值为______，的值为______，并将频数分布直方图补充完整； （2）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数.”问甲同学的视力情况应在什么范围内？ （3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，则视力正常的人数占被统计人数的百分比是______，并根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生人数. 20. 红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． （1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ （2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． （1）求此一次函数的解析式； （2）求出的面积； （3）点D在此坐标平面内，且以O、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标． 22. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN． （1）求证：四边形BMDN菱形； （2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长． 23. 综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． （1）如图1，若，则________； （2）回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． （3）方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$