精品解析：云南省2025届高三上学期9月名校联考数学卷

数学（一）试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. -10 D. 10 2. 用表示有限集合中元素的个数，例如，，则.对于任意两个有限集合，若，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 3. 在平行四边形中，已知，则（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 18 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 中华人民共和国体育代表团参加夏季奥运会以来，中国健儿们不断取得好成绩，到今天成长为体育大国，从2000年以来，金牌情况统计如下（不含中国香港､中国台湾）： 中国体育代表团夏季奥运会获得金牌数 届数 第27届 第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 届数代码 1 2 3 4 5 6 地点 2000年 悉尼 2004年 雅典 2008年 北京 2012年 伦敦 2016年 里约热内卢 2021年 东京 金牌数 28 32 48 38 26 38 根据以上数据，建立关于的线性回归方程，若不考虑其他因素，根据回归方程预测第33届（2024年巴黎奥运会）中国体育代表团金牌总数为（ ） （精确到0.01，金牌数精确到1，参考数据：）；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：. A. 29 B. 33 C. 37 D. 45 7. 若是函数的零点，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某个单选题（只有一个选项符合题目要求）为：给出以下4个命题，命题序号为①②③④（注：命题具体内容省略），则所有正确命题的序号是：A.①② B.③④ C.①④ D.②③根据以上信息，则下列判断正确的是（ ） A. ①②③④中可能有3个正确 B. 若①错误，则③一定正确 C. ①②有一个正确，③④有一个错误 D. 若②正确，则④一定错误 10. 已知数列是公比为2的等比数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等比数列，则公比为 B. 是公比为2的等比数列 C. D. 若，则 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公差为2的等差数列，且，则______. 13. 自然常数是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算，，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则__________. 14. 动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知为边上一点. （1）若为的中点，且，求； （2）若平分，且，求的面积. 16. 如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，侧棱垂直于上、下底面，且. （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求多面体的体积. 17. 已知函数. （1）若为增函数，求的取值范围； （2）若有两个极值点，证明：. 18. 羽毛球比赛采用21分制，比赛规则如下：一场比赛为三局两胜制，在一局比赛中，每赢一球得1分，先得21分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当比分打成后，以投掷硬币的方式选择发球权，随后得分者拥有发球权，一方领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲､乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为. （1）若再打两个球，这两个球甲得分为，求的分布列和数学期望； （2）假设一旦两人比分相等，以投掷硬币的方式选择发球权，求一局比赛甲获胜的概率； （3）用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 19. 已知双曲线的离心率为，右焦点为. （1）求的方程； （2）设动直线与双曲线有且只有一个公共点（在第一象限），且与直线相交于点. ①证明：； ②设为坐标原点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（一）试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. -10 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数乘法法则求解即可. 【详解】，故选A. 【点睛】本题考查复数乘法，考查基本运算求解能力，属基础题. 2. 用表示有限集合中元素的个数，例如，，则.对于任意两个有限集合，若，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】直接画出韦恩图求解即可. 【详解】由已知作集合的韦恩图，则 故选：A 3. 在平行四边形中，已知，则（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法、减法和数量积运算列方程来求得. 【详解】， 两式平方并相减得，所以. 故选：B 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用1，2，3对进行分段，由此判断出正确选项. 【详解】解：因为， 所以，即， 故选：A. 5. 已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，求出外接球的半径即可求出体积. 【详解】圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形， 边长为3的等边三角形的外接圆半径即是圆锥的外接球半径, 设球的半径为，由正弦定理得，即，故球的体积. 故选：D. 6. 中华人民共和国体育代表团参加夏季奥运会以来，中国健儿们不断取得好成绩，到今天成长为体育大国，从2000年以来，金牌情况统计如下（不含中国香港､中国台湾）： 中国体育代表团夏季奥运会获得金牌数 届数 第27届 第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 届数代码 1 2 3 4 5 6 地点 2000年 悉尼 2004年 雅典 2008年 北京 2012年 伦敦 2016年 里约热内卢 2021年 东京 金牌数 28 32 48 38 26 38 根据以上数据，建立关于的线性回归方程，若不考虑其他因素，根据回归方程预测第33届（2024年巴黎奥运会）中国体育代表团金牌总数为（ ） （精确到0.01，金牌数精确到1，参考数据：）；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：. A. 29 B. 33 C. 37 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，然后由回归直线的方程公式求出方程，预测2024年对应代入回归方程即可求解. 【详解】， ，所以， 所以关于的线性回归方程为. 2024年对应，代入回归方程得， 故选：C. 7. 若是函数的零点，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，变形得到，构造函数，利用的单调性，得到，即可求解. 【详解】因为是函数的零点，则， 即，又易知，所以， 设函数，则在区间上恒成立， 即在上单调递增， 所以，则. 故选：C. 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数平移可得，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则， 所以，故， 又，故， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某个单选题（只有一个选项符合题目要求）为：给出以下4个命题，命题序号为①②③④（注：命题具体内容省略），则所有正确命题的序号是：A.①② B.③④ C.①④ D.②③根据以上信息，则下列判断正确的是（ ） A. ①②③④中可能有3个正确 B. 若①错误，则③一定正确 C. ①②有一个正确，③④有一个错误 D. 若②正确，则④一定错误 【答案】BD 【解析】 【分析】根据选项内容，对命题序号是否正确进行讨论. 【详解】由于每个选项只有两个命题序号，可以判断①②③④有且只有2个正确，A错误； 当①②正确③④错误时，符合题意，C错误； 根据选项的设置序号知，①③都正确或都错误，单选题没有选项符合，则①③一个正确一个错误， 同理②④也是一个正确一个错误，故BD正确. 故选：BD. 10. 已知数列是公比为2的等比数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等比数列，则公比为 B. 是公比为2的等比数列 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意有，则中奇数项和偶数项分别构成公比为2的等比数列，可判断BC选项，若是等比数列，求出公比判断A选项，由已知条件求的通项判断D选项. 【详解】数列是公比为2的等比数列，且， 得，则，因为，则，且. 若是等比数列，则，故，所以公比，A错误； 由，故，即，故是公比为2的等比数列，B正确； 同理，数列是公比为2的等比数列，由，则，C正确； 由，则，设为偶数，则，同理设为奇数，则， 所以，D正确， 故选：BCD. 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公差为2的等差数列，且，则______. 【答案】24 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质，求得，再由和公差即可求得. 【详解】是公差为2的等差数列，则，解得， 故. 故答案为：24. 13. 自然常数是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算，，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意利用“调日法”不断计算，进行归纳推理能求出结果． 【详解】因为为弱值，则与上一次的强值3计算得为强值， 与上一次的弱值计算得为弱值， 与上一次的强值计算得为强值， 与上一次的弱值计算得，故. 故答案为：. 14. 动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】设点，由题意得到，化简得圆心的轨迹方程为，将其与直线联立，写出韦达定理，利用弦长公式计算即得. 【详解】 如图，设动圆的圆心，由题意得， 两边取平方，，化简得，故圆心的轨迹方程为. 联立方程，消去整理得， 设，则， 故. 故答案为：6. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知为边上一点. （1）若为的中点，且，求； （2）若平分，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为为的中点，所以，两边平方可得，即可解得； （2）由平分，则，由，利用三角形的面积公式可求得，进而可求得的面积. 【小问1详解】 在中，， 因为为的中点，所以， 两边平方得， 则， 解得. 【小问2详解】 因为平分，所以， 又， 所以，解得， 所以. 16. 如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，侧棱垂直于上、下底面，且. （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求多面体的体积. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 由棱台的性质知， 由四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形， 得， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，可得四边形为平行四边形，则，进而得直线平面； （2）由已知，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，由，即可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）多面体的体积，即为四棱台的体积减去三棱锥的体积，由体积公式即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，而四边形为正方形， 所以两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为， 所以， 则. 设平面的一个法向量为， 则所以 令，则取， 取平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 四棱台的体积， 三棱锥的体积为， 所以多面体的体积. 17. 已知函数. （1）若为增函数，求的取值范围； （2）若有两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2） ，，，由（1）知当， 即时，有两个极值点， 故，设，则， 设， 则， 故在上单调递增，所以， 所以，又， 故， 所以， 又在上单调递减， 故， 所以. 【解析】 【分析】（1），由题意得恒成立，，求导分析的单调性，即的单调性，求出的最值，即可求解. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，设，则，设，求导得出的单调性，可得，继而可得，即，由的单调性可得，继而即可证明. 【小问1详解】 为增函数，则恒成立， 设，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 故当，即恒成立， 所以当为增函数，的取值范围为. 【小问2详解】 略 18. 羽毛球比赛采用21分制，比赛规则如下：一场比赛为三局两胜制，在一局比赛中，每赢一球得1分，先得21分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当比分打成后，以投掷硬币的方式选择发球权，随后得分者拥有发球权，一方领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲､乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为. （1）若再打两个球，这两个球甲得分为，求的分布列和数学期望； （2）假设一旦两人比分相等，以投掷硬币的方式选择发球权，求一局比赛甲获胜的概率； （3）用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 【答案】（1） 0 1 2 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意得的所有可取值为，根据独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再用期望公式求出即可； （2）设第一局比赛甲获胜为事件，由（1）知，，利用全概率公式求解即可； （3）利用独立事件的概率乘法公式求解. 【小问1详解】 依题意，的所有可取值为. 设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且， 所以， ， . 所以的分布列为 0 1 2 故的数学期望为. 【小问2详解】 设第一局比赛甲获胜为事件， 则， 由（1）知，， 由全概率公式得：， 即，解得，所以. 【小问3详解】 .由（2）知，估计每一局甲获胜的概率均为， 设甲获胜时比赛的总局数为，因为每一局比赛的结果相互独立， 所以，， 故该场比赛甲获胜的概率为. 19. 已知双曲线的离心率为，右焦点为. （1）求的方程； （2）设动直线与双曲线有且只有一个公共点（在第一象限），且与直线相交于点. ①证明：； ②设为坐标原点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①由，消去得， 由题意得，化简得. 则，故， 因为点在第一象限，所以，则. 将代入，得. 由已知，所以， 所以. ②. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）①联立直线的方程和双曲线的方程，由此求得点坐标，求得点坐标，利用向量数量积的坐标运算证得. ②先求得三角形面积的表达式，然后导数求得面积的最小值. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为，由题意知，而，解得， 由，所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②设直线与轴的交点为，则， 所以的面积为， 由，所以， 设，则， 令，解得，故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为. 所以当时，面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“双曲线的离心率以及右焦点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得双曲线的标准方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $