专题 解一元二次方程计算题50题（8大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

（北师大版）九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 专题 解一元二次方程计算题（50题） 直接开平方法知识点一 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 配方法知识点二 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 公式法知识点三 ◆1、把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 因式分解法知识点四 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 1．（2023春•抚顺月考）解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 2．（2023秋•深圳校级月考）解方程： （1）4x2＝25； （2）（x+1）2＝36． 3．（2023秋•扬州期中）解方程： （1）x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1． 4．（2023春•天津期中）解下列方程： （1）x2﹣3＝5； （2）3x2﹣1＝26； （3）x2﹣8＝0． 5．（1）（2023春•潮安区校级月考）解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0． （2）（2023•龙川县校级开学）（x+1）2＝25． （3）（2023秋•南关区校级期末）解方程：2（x﹣3）2＝8． （4）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0． 6．用直接开平方法解一元二次方程 （1）2y2＝8． （2）2（x+3）2﹣4＝0． （3）（x+1）2＝25 （4）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 题型二 用配方法解一元二次方程 7．（2023秋•茌平区校级月考）用配方法解下列方程： （1）x2﹣6x﹣7＝0； （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 8．利用配方法解下列方程： （1）x2﹣7x﹣18＝0； （2）2x2﹣8x﹣3＝0 9．用配方法解下列方程： （1）x2+12x＝﹣9． （2）﹣x2+4x﹣3＝0． 10．用配方法解一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0 （2）y2﹣6y+6＝0 （3）5x2+4x＝1． 11．使用“配方法”解一元二次方程 （1）x2+6x+6＝0； （2）3x2+6x﹣5＝0； （3）3（x+2）2﹣6＝21． 12．（2023秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0； （3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 13．用配方法解方程： （1）x2﹣7x+12＝0； （2）2x2﹣4x﹣16＝0； （3）5x2﹣3x+5＝x2+5x； （4）（x+1）（2x﹣3）＝1． 题型三 用公式法解一元二次方程 14．用公式法解方程： （1）2x2＝1﹣3x； （2）（x+3）2＝5（3+x）． 15．用公式法解方程： （1）（x+2）（x+3）＝﹣4； （2）（x+2）2＝﹣2x． 16．用公式法解方程： （1）x2﹣3x﹣2＝0； （2）2x2+3x+3＝0． 17．用公式法解方程： （1）t2﹣2t＝﹣1； （2）2x2﹣3＝4x． 18．用公式法解方程： （1）x2﹣3x﹣1＝0； （2）x2﹣6x+1＝0； （3）2x2+3x+3＝0； （4）（x﹣1）2（x﹣1）﹣1＝0． 19．用公式法解下列方程： （1）2x2+x﹣6＝0； （2）x2+4x＝2； （3）5x2﹣4x﹣12＝0； （4）4x2+4x+10＝1﹣8x． 20．用公式法解方程： （1）2x2﹣3x+1＝0； （2）16x2+8x＝3； （3）1﹣x＝3x2； （4）3y2+1＝2y． 题型四 用因式分解法解一元二次方程 21．（2024春•诸暨市期末）（1）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2； （2）解方程：（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2． 22．用因式分解法解一元二次方程： （1）5（x2﹣x）＝3（x2+x）； （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2． 23．（2024春•丰城市校级月考）解下列方程： （1）x（2x﹣5）＝4x﹣10； （2）x2+5x+7＝3x+10； （3）2x2﹣x﹣3＝0． 24．用因式分解法解一元二次方程： （1）3x2﹣5x＝0； （2）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0； （3）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0． 25．用因式分解法解一元二次方程： （1）x2﹣2x＝0； （2）4x2﹣4x+1＝0； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0． 题型五 用指定方法解一元二次方程 26．（2023春•蓬莱区期中）用指定的方法解方程： （1）用配方法）； （2）x2＝8x+20（用公式法）； （3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0（用因式分解法）； （4）（x+2）（3x﹣1）＝10（用适当的方法）． 27．（2023春•南岗区校级期中）按要求解下列一元二次方程： （1）（x﹣2）2＝5（直接开平方）； （2）（配方法）； （3）x2+3x+1＝0（公式法）； （4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）（因式分解法）． 28．（2023•武进区校级模拟）按要求解方程： （1）直接开平方法：4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2； （2）配方法：2x2﹣7x﹣4＝0； （3）公式法：3x2+5（2x+1）＝0； （4）因式分解法：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）． 29．用指定的方法解方程． （1）x2+2x﹣1＝0；（用配方法） （2）3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） （3）3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） （4）3x2+5x＝3x+3．（用公式法） 30．（2024•红山区校级开学）按规定方法解方程： （1）x2﹣3x+1＝0；（公式法） （2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；（因式分解法） （3）（y+3）2＝（5﹣3y）2；（直接开平方或因式分解法） （4）3x2+6x﹣4＝0．（配方法） 31．用指定方法解下列一元二次方程 （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法） （3）x2+x﹣1＝0（公式法） （4）x2﹣7x﹣30＝0（因式分解法） 32．用指定方法解下列一元二次方程 （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法） （3）x2+x﹣1＝0（公式法） （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法） 33．（2023秋•南部县校级月考）按要求解下列方程 （1）（x+2）2﹣6＝0（直接开平方法）． （2）2x2+1＝3x（用配方法解方程）． （3）x2﹣4x+1＝0（用公式法解方程）． （4）m2x2﹣28＝3mx（m≠0）（用因式分解法）． 题型六 用适当方法解一元二次方程 34．（2024春•肇源县期中）用适当的方法解下列方程． （1）2x＝x2； （2）x2﹣3x﹣1＝0； （3）x2+5＝2x； （4）（2x+3）2＝4． 35．（2023秋•息县月考）解一元二次方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）x2﹣3x+1＝0； （3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （4）x2+4x﹣5＝0． 36．（2024•宛城区校级开学）用合适的方法解下列方程． （1）9（x﹣2）2＝16； （2）（3﹣x）x＝（3﹣x）； （3）2x2+x﹣3＝0； （4）x2+10x﹣11＝0． 37．（2023•蕉岭县校级开学）用适当的方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2﹣16＝0； （2）6x2﹣5x﹣1＝0； （3）25（x+1）2＝9（x﹣2）2； （4）2y（y﹣1）+3＝（y+1）2． 38．（2024春•淮阴区校级月考）解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣25＝0； （2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）； （3）x2﹣4x﹣3＝0； （4）3x2+5x+1＝0． 39．（2023秋•祁东县校级期中）用适当的方法解方程： （1）（3x﹣1）2﹣4＝0； （2）x2+2x﹣3＝0； （3）3x2+5（2x+1）＝0； （4）3（x﹣2）2＝x2﹣4． 40．用适当的方法解下列方程： （1）（x+4）2＝5（x+4）； （2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2； （3）4（x﹣3）2﹣25＝0； （4）2y2+4y＝y+2． 题型七 用十字相乘法解一元二次方程 41．用十字相乘法解下列一元二次方程． （1）x2﹣5x﹣6＝0 （2）6x2+19x﹣36＝0． 42.十字相乘法解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2﹣4x+3＝0； （3）x（x﹣4）﹣5＝0. 43．用十字相乘法解下列方程： （1）3a2﹣8a+4＝0； （2）5x2+7x﹣6＝0； （3）6y2﹣11y﹣10＝0； （4）2x2﹣3x+5＝0． 44．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例： 分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+2x﹣8＝（ 　 　）（ 　 ）． （2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣5x﹣24＝0． 45．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： （x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3． 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）． 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： （1）x2+7x+10＝　 　； （2）x2﹣2x﹣3＝　 　； （3）y2﹣7y+12＝　 　； （4）x2+7x﹣18＝　 　． 题型八 用换元法解一元二次方程 46．（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1，x2，x3，x4． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　 　的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0． 47．（2023秋•渝中区期末）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 48．（2023秋•湖北月考）问题背景： 我们知道，配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，我们还可以用换元法来解某些高次方程，如：解方程x4﹣x2﹣6＝0①，可以将x2看着一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0②，解得y1＝3，y2＝2，当y＝3时，x2＝3，所以x1，x2；当y＝﹣2时，x2＝﹣2，此方程无实数解，所以原方程的解为：x1，x2． 解决问题： （1） 上面的解法中，由方程①得到方程②，实质上是利用换元法达到 　 　的目的，体现了数学 的 　 　思想． （2）用适当的方法解下列方程： ①x3﹣4x＝0； ②（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 49．（2023秋•确山县校级月考）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 50．解方程： （1）（2x+1）2＝3（2x+1）； （2）解方程：（3x+2）2﹣4＝0（直接开平方法）； （3）x2﹣6x+4＝0（配方法）； （4）解方程：x2﹣2x﹣4＝0； （5）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0， 阅读下面的解题过程：解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y 则原方程可化为：y2﹣10y+24＝0 解之得：y1＝6，y2＝4∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4 ∴x1，x2这种解方程的方法叫换元法． 请仿照上例，用换元法解方程：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 专题 解一元二次方程计算题（50题） 直接开平方法知识点一 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 配方法知识点二 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 公式法知识点三 ◆1、把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 因式分解法知识点四 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 1．（2023春•抚顺月考）解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣81＝0， x2＝81， ∴x＝±9， ∴x1＝9，x2＝﹣9； （2）4（x﹣1）2＝9， （x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1，x2． 【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特征正确寻找解方程的方法． 2．（2023秋•深圳校级月考）解方程： （1）4x2＝25； （2）（x+1）2＝36． 【分析】（1）直接开平方，可得方程的解； （2）直接开方，可得方程的解． 【解答】解：（1）两边都除以4，得 x2， 开平方，得 x＝±； （2）开方，得 x+1＝±6， 移项、合并同类项，得 x＝5或x＝﹣7． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，开方运算是解题关键，注意一个正数有两个平方根，一个数只有一个立方根． 3．（2023秋•扬州期中）解方程： （1）x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1． 【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣49＝0， x2＝49， ∴x＝±7， ∴x1＝7，x2＝﹣7； （2）2（x+1）2﹣49＝1， （x+1）2＝25， ∴x+1＝±5， ∴x1＝4，x2＝﹣6． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 4．（2023春•天津期中）解下列方程： （1）x2﹣3＝5； （2）3x2﹣1＝26； （3）x2﹣8＝0． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】 解：（1）x2﹣3＝5， ∴x2＝8， ∴x， ∴x1＝2，x2＝﹣2． （2）解：∵3x2﹣1＝26， ∴3x2＝27， 则x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3； （3）解：方程整理得：x2＝16， ∴x1＝4，x2＝﹣4． 【点评】本题主要考查解形如x2＝p（p≥0）的一元二次方程，直接利用开平方法是解题的关键． 5．（1）（2023春•潮安区校级月考）解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0． 【分析】利用直接开平方法解方程得出答案． 【解答】解：（2x﹣1）2﹣25＝0 移项，得（2x﹣1）2＝25， ∴2x﹣1＝±5， 解得x1＝3，x2＝﹣2． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方法是解题关键． （2）（2023•龙川县校级开学）（x+1）2＝25． 【分析】用直接开方法解方程即可． 【解答】解：， ∴（x+1）2＝100， x+1＝±10， ∴x1＝﹣11，x2＝9． 【点评】本题考查直接开方法解一元二次方程，掌握方法是解题的关键． （3）（2023秋•南关区校级期末）解方程：2（x﹣3）2＝8． 【分析】先把方程变形得到（x﹣3）2＝4，再把方程两边开方得到x﹣3＝±2，然后解一次方程即可． 【解答】解：2（x﹣3）2＝8， （x﹣3）2＝4， x﹣3＝±2， 所以x1＝5，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （4）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0． 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可解答． 【解答】解：16（2﹣x）2﹣9＝0 移项得：16（2﹣x）2＝9， 去系数得：， 直接开平方得：， 即或， 解得：，． 【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 6．用直接开平方法解一元二次方程 （1）2y2＝8． （2）2（x+3）2﹣4＝0． （3）（x+1）2＝25 （4）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 【分析】（1）（3）系数化为1，进一步利用直接开平方解方程； （2）移项，系数化为1，再直接开方； （4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：（1）2y2＝8 y2＝4 y＝±2 解得：y1＝2，y2＝﹣2． （2）2（x+3）2﹣4＝0 （x+3）2＝2 x+3＝± 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣3； （3）（x+1）2＝25 （x+1）2＝100 x+1＝±10 解得：x1＝﹣11，x2＝9． （4）（2x+1）2＝（x﹣1）2 2x+1＝x﹣1，2x+1＝﹣（x﹣1） 解得：x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 题型二 用配方法解一元二次方程 7．（2023秋•茌平区校级月考）用配方法解下列方程： （1）x2﹣6x﹣7＝0； （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程整理得：x2﹣6x＝7， 配方得：x2﹣6x+9＝7+9， 即（x﹣3）2＝16， 直接开平方得：x﹣3＝±4， 解得：x1＝7，x2＝﹣1； （2）原方程整理得：x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+11， 即（x﹣1）2， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1，x2． 【点评】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 8．利用配方法解下列方程： （1）x2﹣7x﹣18＝0； （2）2x2﹣8x﹣3＝0 【分析】（1）首先将常数项移到等号右边，可得x2﹣7x＝18，接下来给两边加上一次项系数一半的平方，利用配方法可得（x）2，开方计算即可解答； （2）首先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号右边，可得x2﹣4x，接下来给两边加上一次项系数一半的平方，利用配方法可得（x﹣2）2，开方计算即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣7x﹣18＝0， x2﹣7x＝18， x2﹣7x18，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝9，x2＝﹣2． （2）2x2﹣8x﹣3＝0， x2﹣4x， x2﹣4x+44，即（x﹣2）2， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤，属于中考常考题型． 9．用配方法解下列方程： （1）x2+12x＝﹣9． （2）﹣x2+4x﹣3＝0． 【分析】（1）利用配方法得到（x+6）2＝27，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法得到（x﹣2）2＝1，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）x2+12x+36＝﹣9+36， （x+6）2＝27， x+6＝±3， 所以x1＝﹣6+3，x2＝﹣6﹣3； （2）x2﹣4x＝﹣3， x2﹣4x+4＝﹣3+4， （x﹣2）2＝1， x﹣2＝±1， 所以x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 10．用配方法解一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0 （2）y2﹣6y+6＝0 （3）5x2+4x＝1． 【分析】（1）、（2）把常数项移项后，在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． （3）化二次项系数为1，在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， x﹣1＝±， 解得x＝1±； （2）y2﹣6y+6＝0， y2﹣6y＝﹣6， y2﹣6y+9＝﹣6+9， （y﹣3）2＝3， y﹣3＝±， 解得y＝3±； （3）5x2+4x＝1， x2x， x2x， （x）2， x±， 解得x1，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 11．使用“配方法”解一元二次方程 （1）x2+6x+6＝0； （2）3x2+6x﹣5＝0； （3）3（x+2）2﹣6＝21． 【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2+6x+6＝0， x2+6x＝﹣6， x2+6x+9＝﹣6+9， （x+3）2＝3， x+3， ； （2）3x2+6x﹣5＝0， 3x2+6x＝5， x2+2x， x2+2x+11， （x+1）2， x+1， ； （3）3（x+2）2﹣6＝21， （x+2）2＝9， x+2＝±3， x1＝1，x2＝﹣5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 12．（2023秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0； （3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 【分析】各方程整理后，利用配方法求出解即可． 【解答】解：（1）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （2））原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （3）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2； （4）原方程可化为x2x＝﹣1， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝2，x2． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．用配方法解方程： （1）x2﹣7x+12＝0； （2）2x2﹣4x﹣16＝0； （3）5x2﹣3x+5＝x2+5x； （4）（x+1）（2x﹣3）＝1． 【分析】（1）运用配方法解决一元二次方程． （2）运用配方法解决一元二次方程． （3）运用配方法解决一元二次方程． （4）运用配方法解决一元二次方程． 【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0， ∴． ∴． ∴． ∴x＝4或3． （2）∵2x2﹣4x﹣16＝0， ∴2（x2﹣2x+1）＝18． ∴2（x﹣1）2＝18． ∴（x﹣1）2＝9． ∴x﹣1＝±3． ∴x＝4或x＝﹣2． （3）∵5x2﹣3x+5＝x2+5x， ∴4x2﹣8x+5＝0． ∴4（x2﹣2x+1）+1＝0． ∴4（x﹣1）2＝﹣1＜0． ∴该方程无解． （4）∵（x+1）（2x﹣3）＝1， ∴2x2﹣3x+2x﹣3＝1． ∴2x2﹣x﹣4＝0． ∴0． ∴． ∴． ∴． ∴x． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决本题的关键． 题型三 用公式法解一元二次方程 14．用公式法解方程： （1）2x2＝1﹣3x； （2）（x+3）2＝5（3+x）． 【分析】（1）化为一般式，再用公式法即可； （2）化为一般式，再用公式x，解方程即可． 【解答】解：（1）化为一般形式得：2x2+3x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）去括号，得x2+6x+9＝15+5x， 化为一般形式得：x2+x﹣6＝0，其中a＝1，b＝1，c＝﹣6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣6）＝25， ∴x， ∴x1＝﹣3，x2＝2． 【点评】本题考查用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 15．用公式法解方程： （1）（x+2）（x+3）＝﹣4； （2）（x+2）2＝﹣2x． 【分析】（1）化简为一般式，利用公式法求解； （2）化简为一般式，利用公式法求解． 【解答】解：（1）原方程可化为x2+5x+10＝0， ∵b2﹣4ac＝52﹣4×1×10＝﹣15＜0， ∴原方程无实数根； （2）原方程可化为x2+6x+4＝0 ∵b2﹣4ac＝62﹣4×1×4＝20＞0， ∴x3±， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣3． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是掌握公式法的步骤． 16．用公式法解方程： （1）x2﹣3x﹣2＝0； （2）2x2+3x+3＝0． 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）由公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， 因为b2﹣4ac＝9+8＝17＞0， 所以x， 即x或x； （2）这里a＝2，b＝3，c＝3， 因为b2﹣4ac＝27﹣24＝3， 所以x， 即x或x． 【点评】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是正确解答的关键． 17．用公式法解方程： （1）t2﹣2t＝﹣1； （2）2x2﹣3＝4x． 【分析】（1）先把方程化为2t2﹣6t+3＝0，再加上出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为2x2﹣4x﹣3＝0，再加上出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解． 【解答】解：（1）方程化为2t2﹣6t+3＝0， ∵a＝2，b＝﹣6，c＝3， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3＝12＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）方程化为2x2﹣4x﹣3＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 18．用公式法解方程： （1）x2﹣3x﹣1＝0； （2）x2﹣6x+1＝0； （3）2x2+3x+3＝0； （4）（x﹣1）2（x﹣1）﹣1＝0． 【分析】各个小题均找出公式中的a，b，c，求出求根公式，判断方程解的情况，然后利用求根公式，进行解答即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （2）∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （3）∵0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （4）原方程化成一般形式为：， ∵， ∴， ． 【点评】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握用公式法解一元二次方程． 19．用公式法解下列方程： （1）2x2+x﹣6＝0； （2）x2+4x＝2； （3）5x2﹣4x﹣12＝0； （4）4x2+4x+10＝1﹣8x． 【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，判断b2﹣4ac的值是否大于0，若大于0，则x，由此即可得到答案． 【解答】解：（1）a＝2，b＝1，c＝﹣6， ∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣6）＝49＞0， ∴， ∴x， 则x1＝﹣2，x2． （2）将方程化为一般形式， 得x2+4x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝4，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣2）×1＝24＞0， ∴x2±， 即x1＝﹣2，x2＝﹣2． （3）a＝5，b＝﹣4，c＝﹣12， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣12）＝256＞0， ∴x， ∴x1＝2，x2． （4）将方程化为一般形式4x2+12x+9＝0， ∵a＝4，b＝12，c＝9， ∴122﹣4×4×9＝0， ∴x， x1＝x2． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握利用公式法解方程的步骤，属于中考常考题型． 20．用公式法解方程： （1）2x2﹣3x+1＝0； （2）16x2+8x＝3； （3）1﹣x＝3x2； （4）3y2+1＝2y． 【分析】（1）用公式法求解即可； （2）用公式法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）用公式法求解即可． 【解答】解：（1）∵2x2﹣3x+1＝0， ∴a＝2，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0， ∴x， ∴x1＝1，x2． （2）∵16x2+8x＝3， ∴16x2+8x﹣3＝0， ∴a＝16，b＝8，c＝﹣3， ∴Δ＝82﹣4×16×（﹣3）＝256＞0， ∴x， ∴x1，x2． （3）∵1﹣x＝3x2， ∴3x2+x﹣1＝0， a＝3，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝12﹣4×3×（﹣1）＝13＞0， ∴x， ∴x1，x2． （4）∵3y2+1＝2y， ∴3y2+1﹣2y＝0， a＝3，b＝﹣2，c＝1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3×1＝0， ∴y， ∴y1＝y2． 【点评】本题考查利用公式法求解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题关键． 题型四 用因式分解法解一元二次方程 21．（2024春•诸暨市期末）（1）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2； （2）解方程：（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2． 【分析】利用因式分解法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝2，x2＝1． （2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2， （3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0， （3x﹣4+4x﹣3）（3x﹣4﹣4x+3）＝0， （7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0， 则7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 22．用因式分解法解一元二次方程： （1）5（x2﹣x）＝3（x2+x）； （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2． 【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）5（x2﹣x）＝3（x2+x）， 整理得：2x2﹣8x＝0， 2x（x﹣4）＝0， 2x＝0，x﹣4＝0， x1＝0，x2＝4； （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2， x﹣2＝2x+3，x﹣2＝﹣（2x+3）， x1＝﹣5，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中． 23．（2024春•丰城市校级月考）解下列方程： （1）x（2x﹣5）＝4x﹣10； （2）x2+5x+7＝3x+10； （3）2x2﹣x﹣3＝0． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10， x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （2x﹣5）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣5＝0，x﹣2＝0， 解得，x2＝2； （2）x2+5x+7＝3x+10， x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， ∴x﹣1＝0或x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3； （3）2x2﹣x﹣3＝0， （x+1）（2x﹣3）＝0， ∴x+1＝0或2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程是关键． 24．用因式分解法解一元二次方程： （1）3x2﹣5x＝0； （2）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0； （3）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0． 【分析】（1）提公因式法因式分解解方程即可； （2）利用平方差公式因式分解解方程即可； （3）利用完全平方公式因式分解解方程即可． 【解答】解：（1）∵3x2﹣5x＝0， ∴x（3x﹣5）＝0， ∴x＝0或3x﹣5＝0， ∴x1＝0，x2； （2）∵4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0， ∴[2（x﹣3）]2﹣[5（x﹣2）]2＝0， ∴[2（x﹣3）+5（x﹣2）][2（x﹣3）﹣5（x﹣2）]＝0， ∴（2x﹣6+5x﹣10）（2x﹣6﹣5x+10）＝0， ∴（7x﹣16）（﹣3x+4）＝0， ∴7x﹣16＝0或﹣3x+4＝0， ∴x1，x2． （3）∵（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0， ∴[（2x+1）+2]2＝0， ∴2x+1+2＝0， ∴x， ∴x1＝x2． 【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 25．用因式分解法解一元二次方程： （1）x2﹣2x＝0； （2）4x2﹣4x+1＝0； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0． 【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2； （2）4x2﹣4x+1＝0， （2x﹣1）2＝0， 解得x1＝x2； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0， （2x﹣4﹣3）（2x﹣4+3）＝0， （2x﹣7）（2x﹣1）＝0， 2x﹣7＝0或2x﹣1＝0， x1，x2； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0， （x+1+4x﹣2）（x+1﹣4x+2）＝0， （5x﹣1）（3﹣3x）＝0， 5x﹣1＝0或3﹣3x＝0， x1，x2＝1． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 题型五 用指定方法解一元二次方程 26．（2023春•蓬莱区期中）用指定的方法解方程： （1）用配方法）； （2）x2＝8x+20（用公式法）； （3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0（用因式分解法）； （4）（x+2）（3x﹣1）＝10（用适当的方法）． 【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝14，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （3）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0，然后解一次方程即可； （4）先把方程化为一般式得到3x2+5x﹣12＝0，再利用因式分解法把方程转化为3x﹣4＝0或x+3＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝10， x2﹣4x+4＝14， （x﹣2）2＝14， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （2）x2＝8x+20， x2﹣8x﹣20＝0， a＝1，b＝﹣8，c＝﹣20， Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣20）＝16×9＞0， x4±6， 所以x1＝10，x2＝﹣2； （3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+4x）＝0， x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0， 所以x1＝3，x2； （4）（x+2）（3x﹣1）＝10， 方程化为一般式为3x2+5x﹣12＝0， （3x﹣4）（x+3）＝0， 3x﹣4＝0或x+3＝0， 所以x1，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法． 27．（2023春•南岗区校级期中）按要求解下列一元二次方程： （1）（x﹣2）2＝5（直接开平方）； （2）（配方法）； （3）x2+3x+1＝0（公式法）； （4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）（因式分解法）． 【分析】（1）两边直接开平方即可得出答案； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （3）利用求根公式计算即可； （4）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝5， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）∵x2x0， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2＝1， ∴x±1， ∴x1，x2； （3）∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴Δ＝9﹣4×1×1＝5＞0， 则x，即x1，x2； （4）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2）， ∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（x﹣5）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝2，x2＝5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 28．（2023•武进区校级模拟）按要求解方程： （1）直接开平方法：4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2； （2）配方法：2x2﹣7x﹣4＝0； （3）公式法：3x2+5（2x+1）＝0； （4）因式分解法：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）． 【分析】（1）先把方程两边开方得到2（t﹣3）＝±3（2t﹣3），然后解两个一次方程即可； （2）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开平方法解方程； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （4）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或3x﹣15+2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2， 2（t﹣3）＝±3（2t﹣3）， 即2（t﹣3）＝3（2t﹣3）或2（t﹣3）＝﹣3（2t﹣3）， 所以t1，t2； （2）2x2﹣7x﹣4＝0， x2x＝2， x2x+（）2＝2+（）2， （x）2， x±， 解得x1＝4，x2； （3）3x2+5（2x+1）＝0， 3x2+10x+5＝0， ∵a＝3，b＝10，c＝5， ∴Δ＝102﹣4×3×5＝40＞0， ∴x， ∴x1，x2； （4）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）， 3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0， （x﹣5）（3x﹣15+2）＝0， x﹣5＝0或3x﹣15+2＝0， 所以x1＝5，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法． 29．用指定的方法解方程． （1）x2+2x﹣1＝0；（用配方法） （2）3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） （3）3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） （4）3x2+5x＝3x+3．（用公式法） 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）方程利用因式分解法求出解即可； （4）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）x2+2x﹣1＝0， x2+2x＝1， x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2， ∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣1． （2）3x2﹣5x+1＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝1， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， ∴x， ∴x1，x2； （3）3（2x+1）2＝4x+2， 3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0， ∴2x+1＝0或6x+1＝0， ∴x1，x2． （4）3x2+5x＝3x+3， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣3， ∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 30．（2024•红山区校级开学）按规定方法解方程： （1）x2﹣3x+1＝0；（公式法） （2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；（因式分解法） （3）（y+3）2＝（5﹣3y）2；（直接开平方或因式分解法） （4）3x2+6x﹣4＝0．（配方法） 【分析】（1）根据公式法进行计算即可； （2）整理后，根据因式分解进行计算即可； （3）根据直接开平方进行计算即可； （3）根据配方法进行配方计算即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0， a＝1，b＝﹣3，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5， ， 故，； （2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）， 整理得4x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0， 因式分解得（2x﹣1）（4x﹣3）＝0， ∴2x﹣1＝0，4x﹣3＝0， 解得，； （3）（y+3）2＝（5﹣3y）2， 开方得y+3＝±（5﹣3y）， ∴y+3＝5﹣3y，y+3＝﹣5+3y， 解得，y2＝4； （4）3x2+6x﹣4＝0， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 31．用指定方法解下列一元二次方程 （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法） （3）x2+x﹣1＝0（公式法） （4）x2﹣7x﹣30＝0（因式分解法） 【分析】（1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，把二次项系数化为1，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）套用求根公式计算可得； （4）十字相乘法因式分解后求解可得． 【解答】解：（1）∵3（2x﹣1）2＝12， ∴（2x﹣1）2＝4， 则2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣2， 解得：x或x； （2）∵2x2﹣4x＝7， ∴x2﹣2x， 则x2﹣2x+1，即（x﹣1）2， 解得：x﹣1＝±， ∴x＝1±； （3）∵a＝1、b＝1、c＝﹣1， ∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 则x； （4）∵（x﹣10）（x+3）＝0， ∴x﹣10＝0或x+3＝0， 解得：x＝10或x＝﹣3． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 32．用指定方法解下列一元二次方程 （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法） （3）x2+x﹣1＝0（公式法） （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法） 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0， 移项，得 3（2x﹣1）2＝12， 两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4， 两边开平方，得2x﹣1＝±2， 移项，得2x＝1±2， 解得：x1，x2； （2）2x2﹣4x﹣7＝0， 两边都除以2，得x2﹣2x0， 移项，得x2﹣2x， 配方，得x2﹣2x+1，即（x﹣1）2， 解得：x﹣1＝±， 即x1＝1，x2＝1； （3）x2+x﹣1＝0， 这里a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴x， 解得：x1，x2； （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0， 方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得：x1，x2＝1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 33．（2023秋•南部县校级月考）按要求解下列方程 （1）（x+2）2﹣6＝0（直接开平方法）． （2）2x2+1＝3x（用配方法解方程）． （3）x2﹣4x+1＝0（用公式法解方程）． （4）m2x2﹣28＝3mx（m≠0）（用因式分解法）． 【分析】（1）先变形为（x+2）2＝6，然后利用直接开平方法解方程； （2）先变形为x2x，再利用配方法得到（x）2，然后利用直接开平方法解方程； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程； （4）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）（x+2）2＝6， x+2＝±， 所以x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）x2x， x2x， （x）2， x±， 所以x1＝1，x2； （3）Δ＝（﹣4）2﹣4×1＝12＞0， x2±， 所以x1＝2，x2＝2； （4）m2x2﹣28＝3mx（m≠0）， m2x2﹣3mx﹣28＝0， （mx﹣7）（mx+4）＝0， ∴mx﹣7＝0或mx+4＝0， 所以x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法解方程． 题型六 用适当方法解一元二次方程 34．（2024春•肇源县期中）用适当的方法解下列方程． （1）2x＝x2； （2）x2﹣3x﹣1＝0； （3）x2+5＝2x； （4）（2x+3）2＝4． 【分析】（1）利用提公因式法解出方程； （2）利用配方法解出方程； （3）利用完全平方公式、直接开平方法解出方程； （4）利用直接开平方法解出方程． 【解答】解：（1）2x＝x2， 则x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝0；x2＝2； （2）x2﹣3x﹣1＝0， 则x2﹣3x＝1， ∴x2﹣3x+（）2＝1+（）2， ∴（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （3）x2+5＝2， 则x2﹣2x+5＝0， ∴（x）2＝0， ∴x1＝x2； （4）（2x+3）2＝4， ∴2x+3＝±2， ∴x1；x2． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、配方法、直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 35．（2023秋•息县月考）解一元二次方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）x2﹣3x+1＝0； （3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （4）x2+4x﹣5＝0． 【分析】（1）利用解一元一次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元一次方程﹣公式法，进行计算即可解答； （3）利用解一元一次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答； （4）利用解一元一次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9， x﹣2＝±3， x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3， x1＝5，x2＝﹣1， （2）x2﹣3x+1＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴x， ∴，； （3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）， 3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0， （x﹣2）（3x+2）＝0， x﹣2＝0或3x+2＝0， x1＝2，； （4）x2+4x﹣5＝0， （x+5）（x﹣1）＝0， x+5＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣5，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 36．（2024•宛城区校级开学）用合适的方法解下列方程． （1）9（x﹣2）2＝16； （2）（3﹣x）x＝（3﹣x）； （3）2x2+x﹣3＝0； （4）x2+10x﹣11＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法解答即可； （2）移项，利用因式分解法解答即可求解； （3）利用公式法解答即可求解； （4）移项，利用配方法解答即可求解． 【解答】解：（1）∵9（x﹣2）2＝16， ∴， ∴， ∴，； （2）移项得，（3﹣x）x﹣（3﹣x）＝0， ∴（3﹣x）（x﹣1）＝0， ∴3﹣x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1； （3）a＝2，b＝1，c＝﹣3， ∵Δ＝12﹣4×2×（﹣3）＝25＞0， ∴， ∴，x2＝1； （4）∵x2+10x﹣11＝0， ∴x2+10x＝11， ∴x2+10x+25＝11+25， 即（x+5）2＝36， ∴x+5＝±6， ∴x1＝﹣11，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 37．（2023•蕉岭县校级开学）用适当的方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2﹣16＝0； （2）6x2﹣5x﹣1＝0； （3）25（x+1）2＝9（x﹣2）2； （4）2y（y﹣1）+3＝（y+1）2． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为2x﹣1﹣4＝0或2x﹣1+4＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为6x+1＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可； （3）先把两边开方得到5（x+1）＝±3（x﹣2），然后解两个一次方程即可； （4）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【解答】解：（1）（2x﹣1﹣4）（2x﹣1+4）＝0， 2x﹣1﹣4＝0或2x﹣1+4＝0， 所以x1，x； （2）（6x+1）（x﹣1）＝0， 6x+1＝0或x﹣1＝0， 所以x1，x2＝1； （3）25（x+1）2＝9（x﹣2）2， 5（x+1）＝±3（x﹣2）， 所以x1，x2； （4）方程化为一般式为y2﹣4y+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝2． ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0． ∴2， 所以y1＝2，y2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法． 38．（2024春•淮阴区校级月考）解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣25＝0； （2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）； （3）x2﹣4x﹣3＝0； （4）3x2+5x+1＝0． 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程； （3）根据配方法解一元二次方程； （4）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣25＝0， ∴（x﹣1）2＝25， ∴x﹣1＝±5， 解得x1＝6，x2＝﹣4； （2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）， ∴（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0， ∴（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）＝0， ∴5x﹣1＝0或5x﹣4＝0， 解得； （3）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， x﹣2＝±， 解得； （4）3x2+5x+1＝0， ∴a＝3，b＝5，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣12＝13， ∴， 解得，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，公式法及配方法是解题的关键． 39．（2023秋•祁东县校级期中）用适当的方法解方程： （1）（3x﹣1）2﹣4＝0； （2）x2+2x﹣3＝0； （3）3x2+5（2x+1）＝0； （4）3（x﹣2）2＝x2﹣4． 【分析】（1）先把方程变形为（3x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （4））先把方程变形为3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）（3x﹣1）2﹣4＝0， （3x﹣1）2＝4， 3x﹣1＝±2， 所以x1＝1，x2； （2）x2+2x﹣3＝0， （x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝1； （3）3x2+5（2x+1）＝0， 3x2+10x+5＝0； a＝3，b＝10，c＝5， Δ＝102﹣4×3×5＝40＞0， x， 所以x1，x2； （4）3（x﹣2）2＝x2﹣4， 3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0， x﹣2＝0或3x﹣6﹣x﹣2＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法． 40．用适当的方法解下列方程： （1）（x+4）2＝5（x+4）； （2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2； （3）4（x﹣3）2﹣25＝0； （4）2y2+4y＝y+2． 【分析】（1）方程移项后用因式分解法解方程即可； （2）方程整理后运用公式法求解即可． （3）移项后直接开平方，进而解方程即可； （4）先提公因式，再移项后用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）（x+4）2＝5（x+4）， （x+4）2﹣5（x+4）＝0， （x+4）（x﹣1）＝0， x+4＝0，x﹣1＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝1； （2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2， 整理得，3x2﹣17x+20＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝49＞0， ∴x， 解得x1＝4，x2； （3）4（x﹣3）2﹣25＝0， 4（x﹣3）2＝25， 2（x﹣3）＝±5， 解得x1，x2； （4）2y2+4y＝y+2， 2y（y+2）＝（y+2）， 2y（y+2）﹣（y+2）＝0， （2y﹣1）（y+2）＝0， 解得y1＝﹣2，y2． 【点评】此题主要考查了因式分解法以及公式法、直接开平方法解方程，正确掌握解方程的方法是解题关键． 题型七 用十字相乘法解一元二次方程 41．用十字相乘法解下列一元二次方程． （1）x2﹣5x﹣6＝0 （2）6x2+19x﹣36＝0． 【分析】（1）利用十字相乘即可得出（x﹣6）（x+1）＝0，进而求出答案； （2）利用十字相乘即可得出（2x+9）（3x﹣4）＝0，进而求出答案． 【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0， （x﹣6）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝6； （2）6x2+19x﹣36＝0， （2x+9）（3x﹣4）＝0， 解得：x1，x2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的计算方法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程，难度适中． 42.十字相乘法解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2﹣4x+3＝0； （3）x（x﹣4）﹣5＝0. 【分析】（1）利用十字相乘法进行因式分解解方程； （2）利用十字相乘法进行因式分解解方程； （3）先整理成一般式，再利用十字相乘法进行因式分解解方程. 【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）解：x2﹣4x+3＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝3，x2＝1； （3）解：x（x﹣4）﹣5＝0 x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， 所以x1＝5，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法． 43．用十字相乘法解下列方程： （1）3a2﹣8a+4＝0； （2）5x2+7x﹣6＝0； （3）6y2﹣11y﹣10＝0； （4）2x2﹣3x+5＝0． 【分析】（1）利用十字相乘法分解3a2﹣8a+4，得（3a﹣2）（a﹣2）； （2）利用十字相乘法分解5x2+7x﹣6，得（5x﹣3）（x+2）； （3）利用十字相乘法分解6y2﹣11y﹣10，得（2y﹣5）（3y+2）； （4）利用十字相乘法分解2x2﹣3x+5，得（2x）（x）． 【解答】解：（1）运用十字相乘法，原方程化为（3a﹣2）（a﹣2）＝0， 则3a﹣2＝0，a﹣2＝0， 得a1，a2＝2． （2）运用十字相乘法，原方程化为（5x﹣3）（x+2）＝0， 则5x﹣3＝0，x+2＝0， 解得x1，x2＝﹣2． （3）运用十字相乘法，原方程化为（2y﹣5）（3y+2）＝0， 则2y﹣5＝0，3y+2＝0， 解得y1，y2． （4）运用十字相乘法，原方程化为（2x）（x）＝0， 则2x0，x0， 解得x1，x2． 【点评】本题考查因式分解法，灵活运用十字相乘法是解题的关键． 44．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例： 分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+2x﹣8＝（ 　 　）（ 　 ）． （2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣5x﹣24＝0． 【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得； （2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得． 【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝x2+（4﹣2）x+（﹣2）×4＝（x+4）（x﹣2）， 故答案为：x+4，x﹣2； （2）∵x2﹣5x﹣24＝0， x2+（﹣8+3）x+（﹣8）×3＝0， ∴（x﹣8）（x+3）＝0， 则x+3＝0或x﹣8＝0， 解得：x＝﹣3或x＝8． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 45．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： （x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3． 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）． 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： （1）x2+7x+10＝　 　； （2）x2﹣2x﹣3＝　 　； （3）y2﹣7y+12＝　 　； （4）x2+7x﹣18＝　 　． 【分析】（1）把10分解成2×5； （2）把﹣3分解成﹣3×1； （3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）； （4）把﹣18分解成（﹣2）×9； 【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）； （2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）； （3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）； （4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）． 故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）． 【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，是解题关键． 题型八 用换元法解一元二次方程 46．（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1，x2，x3，x4． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　 　的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0． 【分析】（1）根据题意可以解答本题； （2）根据换元法可以解答此方程． 【解答】解：（1）由题意可得， 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想， 故答案为：换元、换元； （2）x4﹣x2﹣12＝0， 令a＝x2，则原方程可化为：a2﹣a﹣12＝0， 解得，a＝﹣3或a＝4， ∴x2＝﹣3（舍去），x2＝4， 解得，x1＝2，x2＝﹣2， 故原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 【点评】本题考查换元法解一元二次方程、解一元二次方程的方法，解题的关键是明确解方程的方法． 47．（2023秋•渝中区期末）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 【分析】（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用公式法求得x的值． 【解答】解：（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0， 整理，得（y+3）（y+1）＝0， 解得y1＝﹣3，y2＝﹣1． 当y＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3， 解得x1， 当y＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1， 解得x2． 综上所述，原方程的解为x1，x2； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴x＝±， 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为x1，x2． 【点评】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 48．（2023秋•湖北月考）问题背景： 我们知道，配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，我们还可以用换元法来解某些高次方程，如：解方程x4﹣x2﹣6＝0①，可以将x2看着一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0②，解得y1＝3，y2＝2，当y＝3时，x2＝3，所以x1，x2；当y＝﹣2时，x2＝﹣2，此方程无实数解，所以原方程的解为：x1，x2． 解决问题： （1） 上面的解法中，由方程①得到方程②，实质上是利用换元法达到 　 　的目的，体现了数学 的 　 　思想． （2）用适当的方法解下列方程： ①x3﹣4x＝0； ②（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 【分析】（1）设x2＝y，则x4＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化数学思想； （2）①利用因式分解法，则原方程可化为 x（x2﹣4）＝0，解方程即可求出x的值； ②设 x2+x＝y，则原方程换元为 y2﹣4y﹣12＝0，可得y1＝6，y2＝﹣2，即可求解． 【解答】解：（1）上面的解法中，由方程①得到方程②，实质上是利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：降次，转化； （2）①因式分解得，x（x2﹣4）＝0， ∴x＝0，x2﹣4＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2，x3＝2； ②设 x2+x＝y，则原方程换元为 y2﹣4y﹣12＝0， ∴（y﹣6）（y+2）＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣2， 当y1＝6时，x2+x＝6，所以x1＝2，x2＝﹣3； 当y1＝﹣2时，x2+x＝﹣2，此方程无实数解， 所以原方程的解为：x1＝2，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了高次方程的解法，正确掌握换元法是解决本题的关键． 49．（2023秋•确山县校级月考）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【分析】（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值； （2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用公式法求得x的值． 【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴； 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为，． （2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0， 整理，得（y﹣6）（y+1）＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣1． 当y＝6时，即x2﹣2x＝6， 解得，； 当y＝﹣1时，即x2﹣2x＝﹣1， 解得x3＝x4＝1． 综上所述，原方程的解为，，x3＝x4＝1． 【点评】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 50．解方程： （1）（2x+1）2＝3（2x+1）； （2）解方程：（3x+2）2﹣4＝0（直接开平方法）； （3）x2﹣6x+4＝0（配方法）； （4）解方程：x2﹣2x﹣4＝0； （5）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0， 阅读下面的解题过程：解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y 则原方程可化为：y2﹣10y+24＝0 解之得：y1＝6，y2＝4∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4 ∴x1，x2这种解方程的方法叫换元法． 请仿照上例，用换元法解方程：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0． 【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （3）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （4）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （5）设x﹣2＝y，则原方程可化为y2﹣3y﹣10＝0，求出方程的解，再求出x即可． 【解答】解：（1）（2x+1）2＝3（2x+1）， （2x+1）2﹣3（2x+1）＝0， （2x+1）（2x+1﹣3）＝0， 2x+1＝0或2x+1﹣3＝0， 解得：x1，x2＝1； （2）（3x+2）2﹣4＝0， （3x+2）2＝4， 开方，得3x+2＝±2， 解得：x1＝0，x2； （3）x2﹣6x+4＝0， x2﹣6x＝﹣4， 配方得：x2﹣6x+9＝﹣4+9， （x﹣3）2＝5， 开方得：x﹣3， 解得：x1＝3，x2＝3； （4）x2﹣2x﹣4＝0， x2﹣2x＝4， 配方得：x2﹣2x+1＝4+1， （x﹣1）2＝5， 开方得：x﹣1， 解得：x1＝1，x2＝1； （5）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0， 把x﹣2视为一个整体，设x﹣2＝y， 则原方程可化为：y2﹣3y﹣10＝0， 解之得：y1＝5，y2＝﹣2， ∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣2， ∴x1＝7，x2＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能灵活运用一元二次方程的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，换元法等． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$