计数原理与二项式定理知识点总结-2025届高三数学一轮复习

高考知识点总结 10-2 计数原理与二项式定理 一．计数原理与排列组合 (一)两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 结论 完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成这件事共有N＝mn种不同的方法 (二)排列与组合 1．排列与组合的概念 名称 定义 区别 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 排列有序，组合无序 组合 合成一组 2.排列数 (1)定义：从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． (2)排列数的公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n)． 特例：(1)A＝；(2)0！=1; (3)排列数的性质：①；②；③． 3.组合数 (1)定义：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． (2)组合数公式：＝ (n，m∈N*，且m≤n) 所以组合数公式还可表示为：．特例：． (3)组合数的主要性质：(1)；(2)； (三)常见排列组合类型及解法 1．“在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有种； ②某(特)元不在某位有(补集思想)(着眼位置)(着眼元素)种. 2.相邻(紧贴)问题“捆绑法”， 其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，排法共有种． ①定位紧贴：个元在固定位的排列有种. ②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法； 3.不相邻问题“插空法”， 其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），的排法共有·种． 4.两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当时，无解；当时，有种排法. 5.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件， 其分配方法数共有. (2)(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆， (3)其分配方法数共有. 6.涂色问题 如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种． 二．二项式定理 (一)1.二项式定理：(a＋b)n＝(n∈N*). 右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数 (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数. 式中的an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝an－kbk. 2.两个常用的二项展开式： ①（） ② 3.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零； 字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从，，一直到，. (二).二项式系数的性质 1.每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． 2.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝. 3.增减性与最大值：二项式系数，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的. 当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大. 当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大. 4.各二项式系数的和：令，则二项式系数的和为， (1)变形式． (2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 令，则 从而得到：． 5.二项式系数最大值： (1)如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； (2)如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大． 6.项的系数最大值： 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． (三).二项式展开式中系数的和 1.设， ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． 2.若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． 3.若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$