2024-2025学年上海八年级上学期第一次月考卷 考试范围：二次根式、一元二次方程 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

2024-2025学年上海八年级上学期第一次月考卷 考试范围：二次根式、一元二次方程、共27题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的判别式的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 3．若方程的两根分别是，则的值为（    ） A．26 B．18 C．16 D． 4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．当为何值时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 6．已知，是方程的两个实数根，则的值为(   ) A． B． C． D． 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．若方程有解，则的取值范围是 ． 8．方程的解为 ． 9．若y＝－，则＝ ． 10．比较大小：2 ， ． 11．已知x＝4时一元二次方程x2＝m的一个解，则另一根是 ． 12．一元二次方程的两根为，则 ； 13．若一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 14．已知y1＝x2－2x－3，y2＝x＋7，能使y1＝y2成立的x的取值为 ． 15．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为 ． 16．某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 17．同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程： ． 18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示即为：（其中，，为三角形的三边长，为面积）．则，，时的三角形的面积为 ． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．计算： (1) (2)． 20．先化简，再求值：，其中. 21．已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0(m为常数) (1)求证：方程有两个不相等的实数根. (2)设x1，x2是方程的两个实数根，且x1+x2＝4，请求出方程的这两个实数根. 22．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． (1)若降价8元，则平均每天销售数量为__________件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 23．已知关于x的方程 (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)记该方程的两个实数根为，，若，求值 24．某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验：求1人每次能教会几名同学？ 25．直播购物逐渐走近了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为70元的“网红裙子”进行直播销售，如果按每件110元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件商品的售价每降低1元，日销量增加2件，为尽快减少库存，商家决定降价销售， (1)若该电商决定将这批“网红裙子”的售价定为100元，则每天可卖出___件“网红裙子”； (2)若要使得日利润达到1250元，则每件“网红裙子”应定价多少进行销售？ 26．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形； ①  使三角形的三边长分别为2，3，（在图①中画出一个既可）； ②使三角形为直角三角形且三边长均为无理数（在图②中画出一个既可），并标出你所画三角形的三边的长.                                       ①                                 ② 27．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿尔·花拉子米(约780~约850)，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是 ，即，而由原方程变形得，即边长为x+1的正方形面积为36．所以，则x=5． 任务： （1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的（    ） A．直接开平方法          B．公式法          C．配方法 D．因式分解法 （2）所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想       B．数形结合思想       C．建模思想 D．整体思想 （3）运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形(画出拼接的正方形并求出正根)． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海八年级上学期第一次月考卷 考试范围：二次根式、一元二次方程、共27题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘运算和算术平方根逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、，原计算正确，符合题意，选项正确； C、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； D、，原计算错误，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘三种运算和算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2．一元二次方程的根的判别式的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握的根的判别式为是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．若方程的两根分别是，则的值为（    ） A．26 B．18 C．16 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形，最后代入求出即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了完全平方公式，解题的关键是熟知根与系数的关系表达式． 【详解】解：∵方程的两根分别是， ∴，， ∴， 故选：A． 4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，令，建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意： 解得：， 故选：B． 5．当为何值时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性解答． 【详解】由题意得：x-1>0， 解得x>1， 故选：A． 【点睛】此题考查未知数的取值范围的确定，掌握分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性是解题的关键． 6．已知，是方程的两个实数根，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系表示出与，再把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】∵x1、x2是方程x2-7x+3=0两个实数根， ∴x1+x2=7，x1x2=3， ∴=， 故选C． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．若方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】这个式子先移项，变成（x+3）2=-a，再根据方程（x+3）2+a=0有解，则-a是非负数，从而求出a的取值范围． 【详解】解：∵方程（x+3）2+a=0有解， ∴-a≥0，则a≤0． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数． 8．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据一元二次方程的求根公式即可解出. 【详解】解： ， 【点睛】本题考查了用求根公式解一元二次方程，掌握公式是解题关键. 9．若y＝－，则＝ ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的性质，得的值，即而得到的值，求出的值． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的定义与性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 10．比较大小：2 ， ． 【答案】 < > 【分析】①将算术平方根外的数字移到平方根内，再进行比较； ②先比交．利用不等式性质两边都减1，再都除以3即可 【详解】①，， ， ， ， ②， ∴， ∴， 故答案为：①<；②>． 【点睛】本题考查实数的大小比较问题，掌握实数比较大小的方法和不等式的性质，还会用不等式的性质解题是关键． 11．已知x＝4时一元二次方程x2＝m的一个解，则另一根是 ． 【答案】﹣4. 【分析】将x=4代入方程即可求出m的值，然后将m代入方程后即可求出x的值． 【详解】解：将x＝4代入x2＝m， ∴m＝16， ∴x2＝16， ∴x＝±4， ∴另外一根为﹣4， 故答案为：﹣4. 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 12．一元二次方程的两根为，则 ； 【答案】 【分析】利用根与系数的关系可得，，，对所求的代数式进行整理变形，最后整体代入进行计算即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键在两根积与两根和公式的熟练程度． 13．若一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题：一元二次方程有实数根，即，据此解题． 【详解】根据题意得， 即 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．已知y1＝x2－2x－3，y2＝x＋7，能使y1＝y2成立的x的取值为 ． 【答案】 【详解】首先根据题意得到方程x2-2x-3=x+7，然后移项合并同类项，再把方程的左边分解因式，即可解出方程的解． 解：∵y1=y2， ∴x2-2x-3=x+7， x2-2x-3-x-7=0， x2-3x-10=0， ∴（x-5）（x+2）=0， x1=5，x2=-2． 故答案为5或-2． 15．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为 ． 【答案】0或12 【分析】根据一元二次方程由两个相等实数根得到判别式△=b²-4ac=0，由此即可求解． 【详解】解：由题意可知：a=3，b=-k，c=k， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=b²-4ac=k²-12k=0， 解出：k1=0，k2=12， 故答案为：0或12． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式△=b²-4ac与根的个数问题：当△=b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b²-4ac<0时，方程没有实数根． 16．某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为元，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 故答案为：． 17．同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率是x,根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 故答案为：． 18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示即为：（其中，，为三角形的三边长，为面积）．则，，时的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据a、b、c的值得出a2、b2、c2，再代入公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ，，， 三角形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．先化简，再求值：，其中. 【答案】. 【分析】根据分式的运算法则化简原式，然后代入求值即可. 【详解】解：原式，   当时，原式= 【点睛】本题考查分式,二次根式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键. 21．已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0(m为常数) (1)求证：方程有两个不相等的实数根. (2)设x1，x2是方程的两个实数根，且x1+x2＝4，请求出方程的这两个实数根. 【答案】(1)证明见解析；(2)x1＝2+，x2＝2﹣. 【分析】(1)求出△＝(﹣m﹣3)2﹣4×1×(m﹣4)＝m2+2m+25＝(m+1)2+24＞0，即可得出结论； (2)由x1+x2＝m+3，得出m+3＝4，解得m＝1，则原方程为x2﹣4x﹣3＝0，解方程即可得出结果. 【详解】(1)证明：∵x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0，即：x2﹣(m+3)x+m﹣4＝0， ∴△＝(﹣m﹣3)2﹣4×1×(m﹣4)＝m2+2m+25＝(m+1)2+24＞0， ∴关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根； (2)解：∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1+x2＝m+3， ∵x1+x2＝4， ∴m+3＝4， ∴m＝1， ∴原方程为：x2﹣4x﹣3＝0， 解得：x1＝2+，x2＝2﹣， ∴方程的这两个实数根为：x1＝2+，x2＝2﹣. 【点睛】本题考查了解一元二次方程、根与系数的关系、根的判别式等知识；熟练掌握根与系数的关系、根的判别式是解题的关键． 22．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． (1)若降价8元，则平均每天销售数量为__________件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】(1)36 (2)每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【分析】 （1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，可得若降价8元，则平均每天可多售出件，即平均每天销售数量为件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）解：若降价8元，则平均每天销售数量为件． 故答案为：36； （2）解：设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得， 整理，得， 解得：． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴应舍去， 解得：． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程． 23．已知关于x的方程 (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)记该方程的两个实数根为，，若，求值 【答案】(1)见解析 (2)5或 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可得证； （2）先利用因式分解法求出方程的解，再根据求解即可得． 【详解】（1）证明：这个方程根的判别式为 ， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：， ， 解得或， 由题意，分以下两种情况： ①当时，解得， ②当时，解得， 综上，的值为5或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 24．某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验：求1人每次能教会几名同学？ 【答案】1人每次能教会5名同学 【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有36人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设1人每次都能教会x名同学，根据题意得： ． 变形得： ∴（负值不合题意，舍去） 故1人每次能教会5名学生． 25．直播购物逐渐走近了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为70元的“网红裙子”进行直播销售，如果按每件110元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件商品的售价每降低1元，日销量增加2件，为尽快减少库存，商家决定降价销售， (1)若该电商决定将这批“网红裙子”的售价定为100元，则每天可卖出___件“网红裙子”； (2)若要使得日利润达到1250元，则每件“网红裙子”应定价多少进行销售？ 【答案】(1)40 (2)95元 【分析】（1）根据“每件商品的售价每降低1元，日销量增加2件”求解； （2）用含x的代数式表示出日销量和单件利润，根据总利润为1250元列一元二次方程，解题方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，当售价定为100元时，日销量为：（件）， 故答案为：40； （2）解：设每件“网红裙子”应定价为x元， 由题意知：， 整理得， 解得， 因此每件“网红裙子”应定价95元进行销售． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意用含x的代数式表示出日销量和单件利润． 26．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形； ①  使三角形的三边长分别为2，3，（在图①中画出一个既可）； ②使三角形为直角三角形且三边长均为无理数（在图②中画出一个既可），并标出你所画三角形的三边的长.                                       ①                                 ② 【答案】见解析 【详解】试题分析：①直接利用网格结合勾股定理得出答案. ②直接利用网格结合勾股定理得出答案． 试题解析：①如图①所示,即为所求. ②如图②所示,即为所求. 27．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿尔·花拉子米(约780~约850)，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是 ，即，而由原方程变形得，即边长为x+1的正方形面积为36．所以，则x=5． 任务： （1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的（    ） A．直接开平方法          B．公式法          C．配方法 D．因式分解法 （2）所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想       B．数形结合思想       C．建模思想 D．整体思想 （3）运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形(画出拼接的正方形并求出正根)． 【答案】（1）C；（2）B；（3）． 【分析】（1）由阅读材料所用方法可知答案； （2）结合图形来解题，故答案易得； （3）构造出边长为x+3的正方形，其面积为16，则x=1为方程的一个正根． 【详解】解：（1）由阅读材料可知所用方法为配方法． 故选：C． （2）所用的思想方法为数形结合思想． 故选：B． （3）如图，将边长为x的正方形和边长为3的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为3，拼合在一起的大正方形的边长为， ∴四个面积和为， 而由原方程变形得， 即图中边长为的正方形面积为16． ∴ ，则， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，配方法及数形结合来解方程，读懂题中的方法，是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$