4.3～4.4 数据的表示及科学使用统计表 讲义 2024-2025学年鲁教版六年级数学上册

第四章 数据的收集与整理 4.3数据的表示 4.4科学使用统计图 知识点一 扇形统计图 1.定义：用整个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形面积和圆的面积的比值反映了部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫作扇形统计图. 2.意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比，即. 如图所示，利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形所占的百分比反映部分占总体的百分比的大小.（各部分所占百分比这和为1） 3.特点：扇形统计图可以直观地反映各部分在总体中所占的比例. 归纳：用扇形统计图表示数据的三种形式：①以百分比的形式出现；②以圆心角度数的形式出现；③以百分比与圆心角的度数相结合的形式出现. 例1 观察统计图，下列结论正确的是（ ） A.甲校女生比乙校女生少 B.乙校男生比甲校男生少 C.乙校女生比甲校男生多 D.甲、乙两校女生人数无法比较 例2 如图所示的是某校参加各兴趣小组的学生人数分布扇形统计图，已知参加STEAM课程兴趣小组的人数为120，则该校参加各兴趣小组的学生共有 人. 知识点二 扇形统计图的绘制 一般步骤（一算、二求、三画、四标） （1）算百分比：计算各部分占总体的百分比. （2）求度数：计算各部分相应的扇形圆心角的度数：圆心角度数=360°×各部分所占的百分比. （3）画扇形：用圆规画圆，再利用量角器作出各圆心角，从而把圆分成若干个扇形. （4）标内容：将各部分名称及其所占总体的百分比标注在相应的扇形上，并写出扇形统计图的名称. 例3 某中学六年级二班一次数学测验成绩统计如下，请你根据表格中提供的数据信息，绘制出扇形统计图. 成绩等级 优秀 良好 达标 不达标 人数 18 24 15 3 例4 如图所示，某校根据学生上学方式的一次调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，根据扇形统计图中提供的信息，计算出步行的学生占被调查的学生的百分比为 . 知识点三 频数的概念 在数据统计中某个对象出现的次数成为频数.理解频数应注意的两个问题： （1）频数能反映每个对象出现的频繁程度； （2）所有对象的频数这和等于数据总数. 例5 某青年足球队的14名队员的年龄如下表： 年龄（单位：岁） 19 20 21 22 人数 3 7 2 2 则频数最多的年龄是（ ） A.19岁 B.20岁 C.21岁 D.22岁 知识点四 条形统计图 1.条形统计图 条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的条形，条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，即用条形的高度来表示数据的大小的一种统计图。 条形统计图一般由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的项目，长方形的高表示其中一个项目的数据. 2.条形统计图的优点：能清楚地表示出每个项目的具体数目. 例6 一所学校准备搬迁，在迁校之前，学校就300名学生的到校方式进行了一次调查，分组整理后得到下列数据： 到校方式 步行 骑自行车 乘公共汽车 其他 人数 60 100 130 10 根据上表中的数据制作条形统计图. 知识点五 频数直方图 1.频数直方图 在数据统计时，按照每组中数据出现的次数，在横轴上标出每组端点，纵轴表示各组数据的频数，用小长方形的高代表相应各组的频数，这样的统计图叫频数直方图. 2.特点：（1）能够显示各组频数的分布情况；（2）易于显示各组之间频数的差别；（3）频数直方图中各频数的比等于各个小长方形的高之比. 3.绘制频数直方图的一般步骤： （1）计算最大值与最小值的差；（2）决定组距和组数，数据越多，分的组数也就越多，当数据在100个以内时，一般分为5～12组，组距是指每个小组的两个端点之间的距离，一般每个小组的组距相等；（3）确定分点，方法不唯一，为了保持相等的组距，往往把一组中的最小数据减小一点作为左端的分点，把最大数据增大一点作为右端的分点；（4）统计每组中数据出现的次数；（5）画频数直方图. 4.频数直方图与条形统计图的区别 统计图 频数直方图 条形统计图 图示 小长方形的意义 当组距相等时，用小长方形的高来表示频数 用小长方形的高表示各类别频数的多少，小长方形的宽（表示类别）是固定的 表示形式 更多用于表示连续分组数据，各小长方形通常连续排列，中间没有空隙 往往表示的是离散数据，各小长方形通常分开排列，中间有空隙 特点 能更清晰、更直观地反映数据的整体分布状况 能清楚地表示出每个项目的具体数目 例7 已知一个样本：25,21,23,25,27,29,25,28,30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28，以2为组距，绘制频数直方图。 知识点六 常见的统计图的特点 类别 条形统计图 折线统计图 扇形统计图 频数直方图 图示 表示 用一个单位长度来表示一定的数量，用直条的长短来表示数量的多少 用一个单位长度来表示一定的数量，用折线的起伏来表示数量的增减变化 用整个圆的面积表示总体，用圆内各扇形面积和圆的面积的比值来表示各部分占总体的百分比 用连续排列的小长方形来表示 特点 能清楚地表示出每个项目的具体数目 能清楚地反映事物的变化情况 能清楚地表示出本部分在总体中所占的百分比 能更清晰、更直观地反映数据的整体分布状况 例8 李阿姨开了一家服装店，专卖羽绒服，下表是某年各月份的销售情况： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销量/件 100 80 40 10 5 3 3 6 3 20 70 110 根据上表，回答下列问题： （1）计算这一年各季度的销售情况，并用一个适当的统计图表示出来.（画出图形，下同） （2）计算这一年各季度的销量在全年中所占的百分比，并且合理地用统计图表示出来. （3）用一个适当的统计图表示该店每个月销量的变化情况. （4）从这些统计图表中，你得出了什么结论？你能运用所学的数学知识，为李阿姨提出一些建议吗？ 知识点七 科学使用统计图 1.折线统计图引起的错觉 如图是甲、乙两种产品近几年的价格变化，直观上会有产品甲的价格增长快的错觉，其实不然，实际上，产品乙的价格增长快，这3年间其价格从40元增长到80元,而产品甲这5年间，其价格从40元增长到60元。 出现这种错觉的原因：甲与乙相比，甲的横轴上的单位长度被“压缩了”，而纵轴上的单位长度被“放大了”，结果使得折线看起来更“陡”了，即甲与乙中坐标轴上同一单位长度表示的意义不一致。 归纳：若折线统计图中横轴单位长度被“压缩”，纵轴单位长度被“放大”，则易使人产生统计量的变化速度加快的错觉；反之，易使人产生统计量的变化速度减慢的错觉。 2.扇形统计图造成的误导 如图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图，直观上甲家庭食品的支出费用占31%,乙家庭食品的支出费用占34%,出现乙家庭食品支出费用比甲家庭食品支出费用要多的错觉，其实不然。 出现这种错觉的原因：扇形统计图反映的是部分占总体的百分比，因为不知道各户的总费用，所以根据扇形统计图无法比较具体数量。 归纳：扇形统计图表明的是部分在总体中所占的百分比，一般不能从图中直接得到具体的数量。圆代表的是总体“1”，它的大小与具体数量的大小没有关系，所以两个不同的扇形统计图中某个统计量所占百分比的大小不能用来判断具体数量的大小。 3.条形统计图引起的错觉 如图是某公司两个车间主任对同一种产品的产量分别绘制的统计图，人们习惯于从条形“柱”的高度看相应的增长比例，直观看，乙图给人们的感觉好像是今年比去年增长一倍，其实不然，从数据来看今年比去年增长50%,甲图能较准确地反映真实情况。出现这种错觉的原因：乙统计图的纵轴上的数值不是从0开始的，因此“柱”的高度与其相应的数值不成正比，从而引起错觉。 归纳：当条形统计图中纵轴上的数值不是从0开始时，易错误地根据长方形的长度比来判断各个统计量的倍数关系。 4.绘制折线统计图和条形统计图的注意事项 (1)为了直观地比较两个统计量的变化速度，绘制折线统计图时应注意:两个图横轴上同一单位长度所表示的意义应一致，纵轴上同一单位长度所表示的意义也应一致。 (2)为了直观地反映几个统计量之间的比例关系，绘制条形统计图时应注意：纵轴上的数值应从0开始。 例9 小李根据5名同学的身高绘制了如图所示的统计图。 （1）哪个同学最高？哪个同学最矮？他们相差多少？（2）舟舟的身高是小丽身高的几倍？ （3）这个图容易使人产生错觉吗？为什么？ （4）为了更直观、清楚地反映这5名同学的身高状况，这个图应做怎样的改动？ 习题追练 题型一 扇形统计图中的计算 例1 某中学计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺、厨艺、刺绣、养殖五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制成不完整的统计图（如图）表： 请根据上述统计数据解决下列问题； （1）求被调查的人数；（2）求扇形统计图中E类部分所对应的扇形的圆心角的度数； （3）若该校有3000名学生，请你估计全校有意向选择养殖类“技能课程”的人数。 练1 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成了如图所示不完整的统计图和统计表，请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1) ， ；(2)求表示借阅图书3次的扇形的圆心角的度数；(3)若该校共2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数。 题型二 根据统计表制作统计图 例2 某校对学校社团活动开展的满意度进行调查，其满意度分为非常满意、满意、一般、不满意四个等级。调查组从八年级480名学生中随机抽取了若干名学生进行调查，并将反馈情况绘制成如下统计表： 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 人数 36 24 24 百分比 30% 20% 20% 100% (1) ， ， ； (2)根据表中数据，绘制扇形统计图； (3)该校八年级学生“满意”的约有多少人？ 练2 近年来，“在初中数学学习过程中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法，调查结果如下表： 看法 没有影响 影响不大 影响很大 学生人数 100 60 40 （1）根据以上信息分别制作条形统计图和扇形统计图； （2）从哪种统计图中可以直观地看出持不同看法的学生所占的比例？ 题型三 从频数直方图中读取信息解题 例3 某全球性的数学竞赛吸引了海内外七十多个国家和地区的报名者，两轮预赛和一轮决赛过后，在决赛所有奖项的获奖者之中，某大学有20人入围，成为最大赢家。本次赛事统计了全体获奖者的年龄，绘制了如图所示的频数直方图（其中年龄为岁，为整数，每组中含最低年龄，但不含最高年龄）。 请根据频数直方图，回答下列问题： （1）填空：①本次赛事获奖者共有 人，组距是 ；②在范围内的频数是 ； ③在范围内的获奖者共有 人，占总人数的百分比是 （百分号前保留两位小数）。 （2）通过频数直方图，请写出一条与（1）不同的结论。 练3 如图是某校教职工年龄（取正整数）的频数直方图（每组包括最小值，不包括最大值），根据图中提供的信息解答下列问题： （1）该校教职工共有多少人？ （2）不小于25岁但小于40岁的教职工人数占教职工总人数的百分比是多少？ （3）如果35岁的教职工有4人，那么年龄在35岁以上的教职工有几人？ 题型四 三种统计图之间的转换 例4 如图是根据某中学六年级（3）班全班同学的年龄绘成的条形统计图。 （1）根据图中提供的信息，绘制扇形统计图表示该班学生的年龄分布情况。 （2）比较两幅统计图，说说他们各有什么优点和不足。 练4 某中心六年级（1）班共有学生40人，该班开设了足球、排球和篮球三项体育兴趣课，要求每个学生必须参加，且只能参加其中一项球类运动。如图（1）是该班学生报名后，小明同学统计而绘制的条形统计图的一部分。 （1）请你帮小明同学把条形统计图补充完整； （2）请你根据条形统计图中的数据，改用扇形统计图在图（2）中表示出来； （3）从统计图中你可以获得哪些信息（写出一条即可）？ 题型五 选择适当的统计图描述数据 例5 某校学生会为了了解本校2000名学生的上学方式，采用问卷的方式对一部分学生进行了调查，在确定调查对象时，大家提出了两种方案：A.在全校随机抽取150名学生进行调查；B.在七年级随机抽取150名学生进行调查。学生会选择了其中的一种正确的调查方案，在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中的一种上学方式，学生会将收集到的数据进行整理，绘制成如下的统计表。 某校150名学生上学方式统计表 方式 划记 频数 步行 正正正 15 骑车 正正正正正正正正正 51 乘公共交通工具 正正正正正正正正正 45 乘私家车 正正正正正正 30 其他 正 9 合计 150 （1）学生会在确定调查对象时选择的正确方案是 （填“A”或“B”）。 （2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生的上学方式的情况绘制成合适的统计图（绘制一种即可）。 （3）该校学生会结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生数约占全校总人数的34%，建议学校合理安排自行车停车场地。请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议。 练5 小华的书架上有一些书，其中是学习参考书，是学习工具书，剩下的都是科普等其他书籍。根据这些信息，你能作出表示每一类书籍具体数目的条形统计图吗？能作出表示每一类书籍在总体中所占比例的扇形统计图吗？如果能，请作出相应的统计图；如果不能，请说明理由。 题型六 双统计图的综合应用 例6 某市的中考体育考试分为必测项目、选测项目和运动技能三个板块。小明是某校学生会体育部长，他想了解同学们在运动技能选项中最喜欢哪类运动项目，以便学生会组织受同学们喜爱的比赛，于是他设计了调查问卷，在全校七年级每个班随机选取了15名同学进行调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅统计图（如图）。 七年级同学“运动技能”选项调查问卷 请在下列选项中选择您最喜欢的运动项目，在其后“【】”内画“○” （每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作。 A.篮球【 】 B.轮滑【 】 C.排球【 】 D.乒乓球【 】 E.羽毛球【 】 F.足球【 】 请根据信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，求项目B所对应的扇形的圆心角的度数。 （2）求该校七年级的班级数，并补全条形统计图。 （3）如果你是该校学生会体育部长小明，你会组织什么比赛？你是怎么判断的？ 练6 2023年，教育部等八部门印发《全国青少年学生读书行动实施方案》。某中学为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A.民俗文化，B.节日文化，C.古典诗词，D.红色经典。学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个社团。学校对全校学生选择社团的情况进行了调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图。请根据图中信息解答下列问题： （1）求全校学生的总人数。 （2）把条形统计图补充完整（要求在条形统计图上方注明人数）。 （3）求参加“民俗文化”社团的人数占全校学生总人数的百分比。 （4）求扇形统计图中“D”部分所对应扇形圆心角的度数。 综合提升练 1.空气是由多种气体混合组成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A.条形统计图 B.扇形统计图 C.折线统计图 D.频数直方图 2.5G移动通信网络将推动我国数字经济发展迈上新台阶，据预测，2021年到2026年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列推断不正确的是（ ） A.2021年到2026年，5G间接经济产出和直接经济产出都呈增长趋势 B.2021年到2023年，5G间接经济产出和直接经济产出共10.7万亿元 C.2024年到2025年，5G间接经济产出和直接经济产出的增长率相同 D.2021年到2026年，5G间接经济产出总量和直接经济产出总量多3万亿元 3.某市相关部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试。从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 成绩/分 人数 25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分及80分以上的学生有 名。 4.学校准备组建健美操啦啦队，将参加报名的80名女生的身高数据分成6组，绘制出频数直方图。已知从左至右的6个小长方形的高度比为1:1:3:5:4:2，则第三个小组的频数为 。 5.课题小组从某市20000名九年级男生中随机抽取了1000名进行50 m跑测试，并根据测试结果制成了如下的统计表。 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 200 600 150 50 百分比 20% 60% 15% （1）的值为 。 （2）请你从表格中任意选取一列数据，在下图中绘制合理的统计图来表示。（绘制一种即可） （3）说一说你选择此统计图的理由。 6.从共享单车、共享汽车等共享出行到共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及。 （1）为获得某市市民参与共享经济活动的信息，下列调查方式中比较合理的是 。（填序号） ①对某校的全体学生进行问卷调查；②对某小区的住户进行问卷调查；③在全市内的不同区县，选取部分居民进行问卷调查。 （2）为了获得某社区不同年龄居民使用共享单车情况，调查小组从中随机抽取了100人，统计量他们的年龄，并绘制了如下不完整的统计图（如图）表。 年龄 频数 2 3 15 25 25 百分比 2% 3% 25% 30% 25% 根据以上信息，解答下列问题： ①统计表中的 ， 。补全频数直方图。 ②求该样本中年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人数所占的百分比。 7.笑笑想比较自己所在七（1）班的男生和女生跳绳成绩。体育课上，笑笑随机记录了七（1）班男生和女生各20名同学1 min跳绳的个数。 男生：89,96,103,92,77,87,109,97,45,92,76,128,98,57,112,79,01,104,164,198； 女生：132,120,118,97,102,127,91,115,104,114,131,56,165,98,72,137,150,98,159,148. （1）请按分数段整理数据表，并补全如图所示的条形统计图。（注：这里的60～80表示大于或等于60且小于80） 个数 60个以下 60～80 80～100 100～120 120～140 140个及以上 男生 2 1 2 女生 1 5 （2）如果1 min跳绳在140个及以上算优秀，那么男生和女生的优秀率分别是多少？ （3）你认为男生和女生的跳绳成绩哪一个更好一些，请说明理由。 （4）对于如何提高跳绳成绩，你有什么建议？ 学科网（北京）股份有限公司 $$