专题02集合综合运算（5基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版必修第一册）

专题02 集合综合运算 经典基础题 题型1 交集运算 1．（22-23高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）集合，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知集合，若，则集合B可能为（    ） A． B． C． D． 4．（19-20高一上·上海浦东新·阶段练习）设为全集，、为非空集合，下面四个命题： （1）；（2）；（3）；（4）. 其中与命题等价的命题个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型2 并集运算 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 题型3 全集与补集 1．（23-24高一上·江苏·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·北京昌平·期中）集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型4 交并补混合 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知集合或，，则集合中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川泸州·期中）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型5 韦恩图 1．（24-25高一上·上海·期中）若全集，非空集合M、N满足，则下列集合中表示空集的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加游泳、田径、球类三项比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有（    ） A．3人 B．6人 C．9人 D．10人 4．（23-24高一上·山西临汾·期中）如图，设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B．，或 C． D．，或 5．（23-24高一上·北京·期中）如图中的阴影部分可以表示为（    ） A． B． C． D． 优选提升题 题型01 交集运算求参数 1．（23-24高一上·广东江门·期中）设集合,，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）集合，集合，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·河南商丘·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02并集运算求参数 1．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D．3，0 3．（22-23高一下·湖北·期中）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 4．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知集合， ，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 全集与补集运算求参数 1．（21-22山东东营期中）设全集，集合，，则的取值为（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 2．（21-22高一上·浙江温州·期中）已知全集，集合，且，则的值是 A． B．1 C．3 D． 3．（2022高一上·全国·期中）已知全集，集合，，则实数的值为 ． 4．（22-23高一上·浙江温州·期中）已知全集，集合，，则实数a的值为 ． 5．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）设，若，则实数 . 6．（20-21高一上·上海长宁·期中）设全集，，若={4}，则实数的值为 . 题型04 交并补运算求参数 1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期中）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2．（21-22高一上·湖北襄阳期中）设全集，集合，若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．1或2 3．（21-22高一上·辽宁·期中）已知集合，若，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C．． D． 4．（21-22高一上·北京西城·期中）已知集合,,若,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．（22-23高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 题型05容斥原理应用 1．（23-24高一上·河北沧州·期中）某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 2．（23-24高一上·北京·期中）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．80 B．70 C．60 D．50 3．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远两项比赛．已知参加100米短跑比赛的有15人，参加立定跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（    ） A．3人 B．2人 C．6人 D．4人 4．（22-23高一上·山东聊城·期中）学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（22-23高一上·河北邢台期中）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ） A．28 B．23 C．18 D．16 题型06集合新定义 1．（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 5．（15-16高一上·广东汕头·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ） A． B． C． D． 专题07 集合19题形式综合大题 1．（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M  ②属于M.③属于M  ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 2．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 4．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合综合运算 经典基础题 题型1 交集运算 1．（22-23高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据4和6的最小公倍数为12，得，而，易得两集合之间关系. 【详解】,且,, ，又， 则集合中的元素应为12的正整数倍,集合中的元素为24的整数倍,故,.可知,当元素满足为24的整数倍时, 必满足为12的正整数倍,则 故A,B错误，对D选项，若，则此元素既不在集合中，也不在集合中，故D错误， 故选：C. 2．（23-24高一上·广东广州·期中）集合，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】求出集合，由得，根据子集的定义可得． 【详解】由题意，则，这样的有个． 故选：C． 3．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知集合，若，则集合B可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项错误. 故选：B 4．（19-20高一上·上海浦东新·阶段练习）设为全集，、为非空集合，下面四个命题： （1）；（2）；（3）；（4）. 其中与命题等价的命题个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论． 【详解】解：为全集，、为非空集合，下面四个命题： （1）； （2）； （3），则； （4），则． 其中与命题等价的命题个数有4． 故选：D． 5．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将中式子代入集合中,求出，则交集的元素可求. 【详解】令，可得， 又，可得，则， 可得. 故选：A. 题型2 并集运算 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析集合的元素特性，求出集合的关系，再结合交集、并集的定义判断即得. 【详解】集合中元素，是奇数， 集合中元素，是整数，因此，ACD错误； ，B正确. 故选：B 2．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 3．（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 则. 故选：A 4．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出集合后，直接进行运算即可. 【详解】因为， , 所以, 故选： 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据并集合的运算求出两个集合的并集. 【详解】，所以， 故选：C 题型3 全集与补集 1．（23-24高一上·江苏·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交集与补集运算求解即可. 【详解】因为集合或， 所以 所以， 故选：B 2．（21-22高一上·北京昌平·期中）集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由补集和并集的定义直接求解. 【详解】集合，， 则，. 故选：B 3．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】由可得或， 所以， 故选：B 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由得， 所以， 故选：C 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求出韦恩图阴影部分的集合表示，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，得或， 韦恩图中阴影部分表示的集合为，而， 所以，阴影部分表示的集合的元数个数为3. 故选：B 题型4 交并补混合 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意利用集合的交集、补集的运算，结合韦恩图和选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得，所以B正确； 如图所示，由，可得A错误，C正确； 又由，所以D错误. 故选：BC. 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知集合或，，则集合中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，得到集合，即可求解. 【详解】由集合或，可得， 又由，可得，所以集合中元素的个数为. 故选：B. 3．（23-24高一上·四川泸州·期中）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先求出集合B，然后确定图中阴影部分指的集合，即可得出答案. 【详解】，所以, 图中阴影部分指的是在集合A中，不在集合B中的元素构成的集合， 又，所以图中阴影部分指的集合是，有三个元素， 所以它有个子集， 故选：D. 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，再计算交集得到答案. 【详解】，，，故. 故选：B. 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再根据并集的运算求出即可. 【详解】由题意可得，所以， 故选：D. 题型5 韦恩图 1．（24-25高一上·上海·期中）若全集，非空集合M、N满足，则下列集合中表示空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可以用图来表示集合，，，结合图形即可找出表示空集的选项． 【详解】可用图表示集合，，如下： 观察图形，得，，，，A是，BCD不是. 故选：A 2．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图确定集合间的运算关系，进而得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示集合， 由或， 得， 则， 故选：D. 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加游泳、田径、球类三项比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有（    ） A．3人 B．6人 C．9人 D．10人 【答案】C 【分析】运用韦恩图分析问题. 【详解】由题意只参加游泳比赛的人数； 故选：C. 4．（23-24高一上·山西临汾·期中）如图，设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B．，或 C． D．，或 【答案】B 【分析】 先观察Venn图，由图可知阴影部分表示集合在集合内的补集，根据集合的运算求解即可． 【详解】 由已知可得，， 所以图中阴影部分表示的集合为或． 故选：B. 5．（23-24高一上·北京·期中）如图中的阴影部分可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦恩图写出对应的集合即可. 【详解】根据图中阴影可知，阴影部分的元素是由集合C中的元素和同时在两个集合中的元素组成的， 故表示的集合为. 故选：A 优选提升题 题型01 交集运算求参数 1．（23-24高一上·广东江门·期中）设集合,，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在数轴上表示出集合，根据交集的定义即可求解. 【详解】由已知条件在数轴上表示出集合，如下图所示： 由此可知，所以的取值范围是， 故选: . 2．（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】∵，∴，，．∴． 故选：A. 3．（2023·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由条件可得，根据集合关系列不等式求的取值范围. 【详解】因为， 所以，即， 因为，所以，又， 所以， 故实数的取值范围是. 故选：A. 4．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）集合，集合，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算可得出实数的取值范围. 【详解】因为，集合，，则. 故选：C. 5．（22-23高一上·河南商丘·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后分，讨论即得. 【详解】因为， 所以， 当时，，即，满足题意； 当时，则或， 解得或， 综上，实数a的取值范围为. 故选：D. 题型02并集运算求参数 1．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的性质计算即可得. 【详解】由，且，故. 故选：D. 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D．3，0 【答案】D 【分析】根据，可得，分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，此时，，符合题意； 当时，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意， 综上：或， 故选：D. 3．（22-23高一下·湖北·期中）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】C 【分析】利用并集的计算方法讨论即可. 【详解】由题意可得： 若，则，此时，，若，则或符合题意； 若，则，不符合题意. 故选:C 4．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为或，解得或 即，因为，所以当时，，满足要求. 当时，则，由，可得，即 当时，则，由，可得，即 综上所述，故选:B. 5．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知集合， ，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据给定条件，结合集合的包含关系列出不等式组，求解作答. 【详解】由得，， 当时，，解得，此时，则， 当时，，解得，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 题型03 全集与补集运算求参数 1．（21-22山东东营期中）设全集，集合，，则的取值为（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 【答案】C 【分析】由题意可得：，进而得到且，即得解. 【详解】∵， ∴且， ∴． 故选：C. 2．（21-22高一上·浙江温州·期中）已知全集，集合，且，则的值是 A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】试题分析：因为全集，集合，且， 所以． 考点：集合间的基本运算． 3．（2022高一上·全国·期中）已知全集，集合，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由，得出，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 又由且， 可得，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为. 故答案为：. 4．（22-23高一上·浙江温州·期中）已知全集，集合，，则实数a的值为 ． 【答案】1或-3 【分析】根据给定的条件，利用补集的定义列式计算作答. 【详解】全集，集合，，则，解得或， 所以实数a的值为1或-3. 故答案为：1或-3 5．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）设，若，则实数 . 【答案】3 【分析】由题意易知，由此即可解出答案. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：3. 6．（20-21高一上·上海长宁·期中）设全集，，若={4}，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据补集的定义，由条件列方程求求a. 【详解】∵，，={4}， ∴  ， ∴  或， 故答案为：或. 题型04 交并补运算求参数 1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期中）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 2．（21-22高一上·湖北襄阳期中）设全集，集合，若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．1或2 【答案】B 【分析】由可知，由此即可解出，则可求出，再由可知，由此即可求出答案. 【详解】因为所以所以解得：， 或所以，所以， 所以解得：或， 且解得：且 所以.故选：B 3．（21-22高一上·辽宁·期中）已知集合，若，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C．． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据得到，再解不等式组即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以.故选：B 4．（21-22高一上·北京西城·期中）已知集合,,若,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简集合,根据得出,即可判断出关于参数的不等式,得出它的取值范围. 【详解】解: , 又因为: ,若, 所以,则 所以实数的取值范围是: . 故选:B 【点睛】本题考点是集合关系中的参数取值问题,考查了集合的化简,集合的包含关系,解题的关键是熟练掌握集合包含关系的定义,由此得到参数所满足的不等式,本题考查了推理判断的能力. 5．（22-23高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可根据题意得出∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，根据条件得出A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，从而可得出a的取值范围． 【详解】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}， 又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数， ∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}， ∴3≤a＜4． 故选：B． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及交集、补集的运算，注意数轴法的应用及端点值问题，是易错题 题型05容斥原理应用 1．（23-24高一上·河北沧州·期中）某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】利用集合交集的性质进行运算. 【详解】设两个社团都参加的学生人数为，则，解得． 故选：A. 2．（23-24高一上·北京·期中）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．80 B．70 C．60 D．50 【答案】B 【分析】利用韦恩图分析出只阅读过西游记的人数为10，从而求出答案. 【详解】如图所示， 因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60， 所以只阅读过红楼梦的人数为20， 又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90， 故只阅读过西游记的人数为10， 所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为. 故选：B 3．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远两项比赛．已知参加100米短跑比赛的有15人，参加立定跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（    ） A．3人 B．2人 C．6人 D．4人 【答案】C 【分析】设同时参加这两项比赛的人数为，作出venn图，列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】设同时参加这两项比赛的人数为， 由题意可作出venn图，    根据venn图可知，，解得. 故选：C. 4．（22-23高一上·山东聊城·期中）学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先将只参加田径比赛的人数，只参加球类比赛的人数，同时参加球类比赛和田径比赛的人数分别表示出来，再根据总人数为30人列出等式即可. 【详解】设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人， 则只参加田径比赛的人数为：；只参加球类比赛的人数为：， 可列等式：， 可得：，故只参加球类比赛的人数为：， 故选：C 5．（22-23高一上·河北邢台期中）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ） A．28 B．23 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据所给公式即可代入求解. 【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则，参加径赛的学生组成集合B，则，由题意得，所以，， 所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有23． 故选：B 题型06集合新定义 1．（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 则. 故选：A 2．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 3．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】C 【分析】由闭集合的定义判断AC；举例判断BD. 【详解】对于A，，有，且，则集合为闭集合，故A错误； 对于B，因为，但，故B错误； 对于C，设，，则， ，则集合为闭集合，故C正确； 对于D，设， 则，但，故D错误. 故选：C. 4．（23-24高一上·北京·期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用题给定义得到与的关系判断①；利用题给定义得到与的关系判断②；举例验证③④的正确性. 【详解】或 或， 则成立.故①判断正确； 或， 或， 则不成立.故②判断错误； 令，则，故③判断正确； 令，则，故④判断正确. 故选：D 5．（15-16高一上·广东汕头·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，结合，易得或，由定义分类讨论方程的根计算即可. 【详解】由已知得，因为，所以或． 当时，若要满足题意，则有一个实根，即， 此时没有实根，所以符合题意； 当时，若要满足题意，有两个不等实根， 则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且，所以， 此时的三个根为，符合题意． 综上，或，故． 故选：B． 专题07 集合19题形式综合大题 1．（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M  ②属于M.③属于M  ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1)自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域；有理数集、实数集、复数集是数环也是数域； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由数环与数域的定义判断即可； （2）根据题意，由数域的定义即可证明； （3）根据题意，设，，，然后分别验证①②③④，即可证明. 【详解】（1）自然数集N不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即 （3）设，则，，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ，因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解数环与数域的定义，并且应用. 2．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 【答案】(1)见解析；； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题目的定义，即可证明，再直接计算集合即可; （2）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，即可得出答案. （3）根据集合相等的概念，证明即可； 【详解】（1）由， 集合，所以，所以， 因为， 所以. （2）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故n的最小值为675. （3）由于集合，， 则集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 4．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 【答案】(1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题“若，则”为真命题，理由见解析 【分析】利用“好集”的定义，结合元素与集合的关系解决即可. 【详解】（1）集合B不是“好集”，理由如下： 因为，，， 所以集合B不是“好集”． 有理数集Q是“好集”，理由如下： 因为，，对任意，，都有，且时，， 所以有理数集Q是“好集”． （2）因为集合A是“好集”，所以． 若，则，即， 所以，即，命题得证． （3）命题“若，则”为真命题，理由如下： 当x，y中有0或1时，显然有． 当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，， 所以，所以． 所以由（2）可得，同理得， 当或时，显然有． 当或时，显然有， 所以，所以， 由（2）得，所以． 综上得时，． 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$