专题04基本不等式（5基础题型+8提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019必修第一册）

专题04 基本不等式归类 经典基础题 题型1 各类“取等与构造”基础型 1．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 2．（21-22高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·上海静安·期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（20-21高一上·云南玉溪·期中）现有以下结论： ①函数的最小值是； ②若、且，则； ③的最小值是； ④函数的最小值为. 其中，正确的有（    ）个 A． B． C． D． 5．（21-22高一·安徽马鞍山·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是2 题型2 “对勾”与“分离常数”型 1．（2023高一上·全国·期中）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 2．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则的最大值为（    ） A．5 B． C．1 D． 3．（21-22高一上·湖北武汉·期中）函数在区间上（    ） A．有最大值为，最小值为0 B．有最大值为，最小值为0 C．有最大值为，无最小值 D．有最大值为，无最小值 4．（22-23高一上·江西吉安·期中）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 5．（22-23高一·全国·期中）代数式的最小值是（    ）． A．4 B．2 C．k D．不能确定 题型3 “1”的代换型 1．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24高二北京海淀·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 4．（23-24高一上·全国·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型4 解不等式型 1．（22-23高一上·山东·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23高一上·山东青岛·期中）已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 4．（23-24高二上·河北保定·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．5 C．25 D．12 5．（22-23高一上·广东茂名·期中）已知正实数满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5 不等式证明型 1．（22-23高三上·广东广州·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，，，下列不等式正确的个数有（    ） ①，②，③，④. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（20-21高一·全国·期中）已知，均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一·四川成都·期中）下列不等式①；② ；③ ；④；其中恒成立的不等式的个数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 优选提升题 题型01 “1”的代换构造分母型 1．（23-24高一上·浙江·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（23-24高一上·四川成都·期中）若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 5．（23-24高一上·黑龙江·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 题型02 因式分解型 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·宁夏吴忠·期中）若且，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（21-22高一上·江西宜春·期中）已知正实数，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 反解代入型（消元型） 1．（21-22高一上·浙江杭州·期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·辽宁·期中）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（23-24高一上·河南·期中）若正数满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（23-24高三上·江苏镇江·期中）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 题型04 三元均值型 1．（22-23高三上·陕西商洛·期中）已知，，都是正实数，且，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·河南·期中）已知，，则的最小值为（    ） A．25 B． C．5 D． 3．（2022高三·河南·期中）若，且，则的最小值是. A．1 B． C． D．2 4．（20-21高二下·新疆巴音郭楞·期中）已知，，则的最小值是（    ） A．3 B．6 C．9 D． 5．（2023高三·全国·期中）已知正数，，满足.则的最小值是（   ） A．1995 B． C． D． 题型05恒成立求参 1．（23-24高三上·浙江宁波·期中）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（23-24高二上·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 5．（22-23高一上·江西南昌·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 题型06换元型 1．（21-22高一·浙江·期中）已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是 . 2．（2023江苏南京·期中）若实数满足，则的最大值为 . 3．（2024·河北秦皇岛·期中）设，则的最大值为 . 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 4．（2023·全国·期中）已知，，，则的最大值为 ． 专题07分子降幂分离型 1．（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高一上·江西·期中）已知，则的最大值为 . 4．（2023·全国·期中）已知，，，则的最小值为 ． 5．（2022·浙江·期中）已知实数，则的最小值为 ． 专题08综合技巧 1．（2023·江西·）已知，，是正实数，且，则最小值为 . 2．（22-23高二·重庆渝中·期中）对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 5．（2022高三·全国·期中）设，则最小值为 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本不等式归类 经典基础题 题型1 各类“取等与构造”基础型 1．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【分析】由基本不等式对选项逐一判断， 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 2．（21-22高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 3．（21-22高一上·上海静安·期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可. 【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． 4．（20-21高一上·云南玉溪·期中）现有以下结论： ①函数的最小值是； ②若、且，则； ③的最小值是； ④函数的最小值为. 其中，正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①，当时，，①错误； 对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确； 对于③，， 当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误； 对于④，因为，所以， 函数的最大值为，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．（21-22高一·安徽马鞍山·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是2 【答案】B 【解析】对于选项A，D中的x来说，因为x不等于0，所以x大于0小于0不确定，所以最小值不一定为2;对于选项B中的函数来说， 大于0，基本不等式成立且满足取等号的条件;对于C，先将化为形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因为等号取不到. 【详解】对于A，D：不能保证x>0，故错； 对于B：，当且仅当x=0时取等号，故正确； 对于C: ，令，则， 则，,所以上是增函数， 所以在上的最小值是，故C错; 故选：B 【点睛】本题主要考查了均值不等式成立的条件，均值不等式取等号的条件，属于中档题. 题型2 “对勾”与“分离常数”型 1．（2023高一上·全国·期中）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 2．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则的最大值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令之后用基本不等式求函数的最值. 【详解】令 当且仅当即时取得. 故选：C 3．（21-22高一上·湖北武汉·期中）函数在区间上（    ） A．有最大值为，最小值为0 B．有最大值为，最小值为0 C．有最大值为，无最小值 D．有最大值为，无最小值 【答案】A 【分析】计算，设，变换，根据双勾函数的性质得到函数的单调区间，计算最值得到答案. 【详解】当时，， 设，易知在上单调递增，故. ，，当时，， 双勾函数在上单调递减，在上单调递增，且， 故，， 综上所述：，，即，. 故选：A. 4．（22-23高一上·江西吉安·期中）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 5．（22-23高一·全国·期中）代数式的最小值是（    ）． A．4 B．2 C．k D．不能确定 【答案】D 【分析】变形后利用基本不等式求解判断，同时结合函数单调性得结论． 【详解】由已知， 当且仅当即时等号成立， 若，则时，，最小值为2， 若，则，利用勾形函数的单调性得最小值为． 故选：D． 题型3 “1”的代换型 1．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值. 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 3．（23-24高二北京海淀·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式的“1“的妙用求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：B 4．（23-24高一上·全国·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为,且, 所以, 当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6． 故选：B. 5．（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解. 【详解】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 题型4 解不等式型 1．（22-23高一上·山东·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据基本不等式得到，结合题意得到，即，再解不等式即可. 【详解】，当且仅当时等号成立， 解得，即. 因为不等式恒成立， 所以，即，解得. 故选：B 2．（22-23高一上·山东青岛·期中）已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 【答案】B 【分析】利用基本不等式得、分别求、的最值，注意取等条件；由题设有且代入、，结合基本不等式求最值，注意取等条件. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 即，又，，故，仅当时等号成立， 所以，故xy的最大值是1，A错误； 由，当且仅当时等号成立， 所以，即，又，， 则，仅当时等号成立，故的最小值是2，B正确； 由，，，可得，且， 所以， 当且仅当，即、时等号成立，故，C错误； 同上，， 当且仅当，即、时等号成立，故，D错误； 故选：B 3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】由条件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代换可求得的最小值，可得的值，进而得解. 【详解】根据题意，∵ ，当且仅当时等号成立， 令，有 ，解得 ，即，；， ，当且仅当，即，时等号成立，；故选：C. 4．（23-24高二上·河北保定·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．5 C．25 D．12 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.故选：C 5．（22-23高一上·广东茂名·期中）已知正实数满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式得到，根据恒成立问题得，即可解出解集. 【详解】解：⸪是正数，⸫，当且仅到时等号成立. 即，，⸫， 因为对任意恒成立，所以有，解得. 故选:A 题型5 不等式证明型 1．（22-23高三上·广东广州·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，若，则 ，当且仅当时等号同时成立，充分性满足， 若，不一定成立，例如，时，，但，必要性不满足， 故选：B． 2．（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，，，下列不等式正确的个数有（    ） ①，②，③，④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可． 【详解】因为，，， 所以，得，当且仅当时取等号，②对； 由，当且仅当时取等号，①对； 由得，所以，当且仅当时取等号，③对； 由，当且仅当时取等号，④对 故选：D 3．（20-21高一·全国·期中）已知，均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式判断C．ABD可通过举反例说明、 【详解】正数满足，若满足已知，但，，若满足已知，但，，则 ，所以，，所以， ，即，当且仅当时等号成立． 故选：C． 4．（21-22高一·四川成都·期中）下列不等式①；② ；③ ；④；其中恒成立的不等式的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题主要考查基本不等式，可根据基本不等式的三个使用条件“一正二定三相等”判断. 【详解】①因为，所以，故不恒成立： ②因为，当时等号成立，所以正确； ③若，，，故不恒成立； ④令，故原不等式恒成立； 所以恒成立的有2个， 故选：B. 5．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，不等式，所以A不正确； 对于B中，由， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以C不正确； 对于D中，由，所以，所以D不正确. 故选：B. 优选提升题 题型01 “1”的代换构造分母型 1．（23-24高一上·浙江·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】因为，所以， 则 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由已知可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为为正实数，所以， 可得，即，所以，即， 当且仅当即时等号成立.故选：C. 4．（23-24高一上·四川成都·期中）若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定，且，将变形为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，故，则， 故 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为， 故选：D 5．（23-24高一上·黑龙江·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】将化为，结合，判断，将化为，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由，，，得， 故，故；所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2，故选：A 题型02 因式分解型 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由，得，又，，即，， 则，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立，所以，故选：C. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式变形得，所求式子变形为，再由基本不等式求解最值即可. 【详解】由已知为正实数，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 3．（22-23高一上·宁夏吴忠·期中）若且，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，化简，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 所以的最小值为， 故选：C. 4．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，直接利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 又，所以, 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A 5．（21-22高一上·江西宜春·期中）已知正实数，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可先对作变形处理，得，结合基本不等式进行放缩，可得，再进一步化简求值即可. 【详解】由， 得，化简得， 解得，即的取值范围为，故选：B. 题型03 反解代入型（消元型） 1．（21-22高一上·浙江杭州·期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可. 【详解】因为ab+a+2b=7， 所以，， 所以， 当且仅当时等号成立， 故选：A 2．（22-23高三上·辽宁·期中）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为x＋2y＋xy＝7， 所以， 所以． 因为，则 所以， 当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立， 所以x＋y的最小值为3． 故选：D 3．（23-24高一上·河南·期中）若正数满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 4．（23-24高三上·江苏镇江·期中）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知等式变形可得，可得出，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时，， 故的最小值为. 故选：B. 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件代入消去，变形后利用均值不等式求解. 【详解】由可得， 所以， 因为正实数a，b满足，所以， 故， 当且仅当，即， 故选：D 题型04 三元均值型 1．（22-23高三上·陕西商洛·期中）已知，，都是正实数，且，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由题意可得，利用基本不等式的应用可知，再次利用基本不等式计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，“＝”成立．此时， 所以，当且仅当时，“＝”成立．所以的最大值为． 故选：A. 2．（23-24高一上·河南·期中）已知，，则的最小值为（    ） A．25 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】由，可得， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：B 3．（2022高三·河南·期中）若，且，则的最小值是. A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】， ， . 4．（20-21高二下·新疆巴音郭楞·期中）已知，，则的最小值是（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：C 5．（2023高三·全国·期中）已知正数，，满足.则的最小值是（   ） A．1995 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，有 . 又. 则  . 即的最小值为. 选B. 题型05恒成立求参 1．（23-24高三上·浙江宁波·期中）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为，令， 则转化为，即， 其中     当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立.，，且 当且仅当，即时取等号 ，即解得 故实数的取值范围是故选：C 3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立，因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4. 故选：B 4．（23-24高二上·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】将不等式恒成立问题，转化为利用基本不等式求最值问题. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25. 故选：D 5．（22-23高一上·江西南昌·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 题型06换元型 1．（21-22高一·浙江·期中）已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是 . 【答案】 【解析】将已知整理为，令2，得，即可将所求最值的关于xy的表达式转化为mn的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值. 【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即 令2，所以 所以x2+y2+x+4y 由均值不等式，当且仅当取等号 所以x2+y2+x+4y的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题. 2．（2023江苏南京·期中）若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得，设，其中. 则，从而， 记，则，不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：. 【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题. 3．（2024·河北秦皇岛·期中）设，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足，化为， 令，，则．联立可得，， 则， 当且仅当，即，时取等号．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 4．（2023·全国·期中）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 专题07分子降幂分离型 1．（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值. 【详解】若，且满足，则有，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为.故选：D 2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先根据题意得到，从而得到，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解． 【详解】由，，，则，则， 所以 ． 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：A． 3．（23-24高一上·江西·期中）已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】分式上下同除以变形，再将分母配凑为三项的完全平方式与的形式，最后利用基本不等式与平方的非负特点求最值，注意等号成立条件. 【详解】由，则. 因为 .当且仅当，即时，等号成立. 所以，即的最大值为. 故答案为：. 4．（2023·全国·期中）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，然后利用对勾函数求得，再根据对勾函数求得，再次利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】 设 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ， ， 设， ， 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ，由题中可得， ， 设， ， 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ，又， ， 的最小值为（当时取得)， 故答案为：. 【点睛】求解本题的关键是将原式化简，指定主元，多次利用对勾函数的性质进行求解. 5．（2022·浙江·期中）已知实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用基本不等式及与的关系计算可得； 【详解】解：因为， 所以 因为，所以， 所以原式，当且仅当时取等号． 故答案为： 专题08综合技巧 1．（2023·江西·）已知，，是正实数，且，则最小值为 . 【答案】 【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值. 【详解】解：，由于，，是正实数，且， 所以 ，当且仅当，即，所以时等号成立， 则的最小值为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 则最小值为. 故答案为：. 2．（22-23高二·重庆渝中·期中）对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为 ，当且仅当时取等号. 故答案为：. 【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果. 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】 将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可. 【详解】， 所以，当且仅当时取到等号， 故答案为： 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 5．（2022高三·全国·期中）设，则最小值为 【答案】4 【分析】将原式进行配凑变形得，结合基本不等式可求出代数式的最小值. 【详解】原式 ， ，则，，， ，， 当且仅当，时，即时等号成立， 又，当时等号成立，所以原式，故最小值为4. 故答案为：4 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$