高二数学第一次月考卷（天津专用，人教A版2019选择性必修第一册第一章～第二章）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷（全解全析） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第二章。 5．难度系数：0.68。 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【解析】由题设，直线的斜率为，根据斜率与倾斜角关系及倾斜角范围知：倾斜角为60°. 故选B 2．已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以 ， 故选D． 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以.故选A． 4．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量以为基底时的坐标为，所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选B． 5．到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或.故选C． 6．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ,,,,,,． 设平面的法向量为， ,即，取，， 所以点到平面的距离为. 故选D. 7．已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴可得为点与的直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为． 故选:A． 8．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，， 设(0 ≤ λ ≤ 1)得：， ， ， 由（当且仅当时取等号）， ∴，则. 故选C. 9．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选D． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为__________． 【答案】0或5 【解析】因为直线经过点，所以的斜率存在， 而经过点，则其斜率可能不存在， 当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意； 当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在， 由得，即，解得； 综上，a的值为0或5. 故答案为：0或5. 11．在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则__________． 【答案】 【解析】， 故. 故答案为：. 12．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为__________． 【答案】 【解析】∵直线， ∴， 由，得， ∴直线恒过定点， 可设直线方程为，则，， 又，即，当且仅当时取等号，∴， 当面积最小时，直线的方程为，即. 故答案为：. 13．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是__________，的范围是__________． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积， 因为， 因为点在正方体表面上运动， 所以，故范围为． 故答案为：，． 14．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为__________；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为__________． 【答案】 42 【解析】直线，　 联立，解得，，故； 易知直线的斜率存在且不为0， 设直线， 令，得； 令，得， 则，， 故， 当且仅当，即时等号成立．故答案为：，． 15．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③ 【解析】对①，如下图所示：因为是中点，， 所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接， 所以，而平面，平面，所以直线平面，①对； 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，, 对②，分别是棱的中点，∴，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为h， ，，，， 由得，②错； 对③，设 ，则，则，， 由即得， 由，故存在点，使得，③对； 对④，由③得到的投影为，故P到的距离， △面积为 ， 由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错. 故答案为：①③． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分） 已知点． (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【解析】（1）直线的斜率： ， 故过点且与平行的直线方程斜率. 且故直线方程为：，即. （2）过点且在轴和轴上截距相等的直线方程, 当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即； 当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：， 代入得， 故直线方程为即. 综上得：直线方程为或． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点分别在线段和的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； 【解析】（1）因为底面为直角梯形，， 所以， 因为，是线段的中点， 所以， 又因为，，且， 所以四边形是矩形，同时， 因为平面，且平面， 所以， 因为，，平面，平面，， 所以平面，且平面， 所以， 因为点是线段的中点，且， 所以， 因为，，平面，平面，， 所以平面. （2） 因为平面，且，所以直线两两垂直， 如图所示，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系， 且， 则， 由上问平面，则向量是平面的一个法向量，且， 设向量是平面的法向量，且， 则，即，不妨取， 令向量与向量的夹角为， 所以， 设平面与平面的夹角为，， 所以平面与平面夹角的正弦值为：. 18．（15分） 设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【解析】（1）联立得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 19．（15分） 已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： (1)证明：平面； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）直角梯形中， 由相似可得，， 因为，，可得，， 故可得，， 由，则由勾股定理逆定理得，，即， ， 翻折后可得，，， 又因为，在平面内， 故平面． （2）因为点为边的中点， 所以，又， 所以， 因为平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h， 因为为定值， 当h最大时，三棱锥的体积最大， 而，则， 当h=1时，. （3）由（2）得，当三棱锥的体积最大时， 点P到平面ABC的距离为，即平面． 故，， 又因为， 故，，两两垂直． 故可以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题可得，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 20．（16分） 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，即，， ∵，∴，所以无论取何值，. （2）∵是平面ABC的一个法向量. ∴， ∴当时，取得最大值，此时，，. （3）假设存在，，因为， 设是平面的一个法向量. 则，解得，令，得，， ∴，∴， 化简得，解得， ∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置满足. ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D A B C D A C D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．0或5 11． 12． 13． 14． 42 15．①③ 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 【解析】（1）直线的斜率： ， 故过点且与平行的直线方程斜率. 且故直线方程为：，即.（7分） （2）过点且在轴和轴上截距相等的直线方程, 当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即； 当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：， 代入得， 故直线方程为即. 综上得：直线方程为或．（14分） 17．（15分） 【解析】（1）因为底面为直角梯形，，所以， 因为，是线段的中点，所以，（1分） 又因为，，且， 所以四边形是矩形，同时，（2分） 因为平面，且平面，所以， 因为，，平面，平面，， 所以平面，且平面，所以，（5分） 因为点是线段的中点，且，所以， 因为，，平面，平面，， 所以平面.（7分） （2） 因为平面，且，所以直线两两垂直， 如图所示，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系， 且， 则，（9分） 由上问平面，则向量是平面的一个法向量，且， 设向量是平面的法向量，且， 则，即，不妨取，（12分） 令向量与向量的夹角为， 所以， 设平面与平面的夹角为，， 所以平面与平面夹角的正弦值为：.（15分） 18．（15分） 【解析】（1）联立得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为；（8分） （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为.（15分） 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为.（15分） 19．（15分） 【解析】（1）直角梯形中， 由相似可得，， 因为，，可得，， 故可得，， 由，则由勾股定理逆定理得，，即， ， 翻折后可得，，， 又因为，在平面内， 故平面．（5分） （2）因为点为边的中点， 所以，又， 所以， 因为平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h， 因为为定值， 当h最大时，三棱锥的体积最大， 而，则， 当h=1时，.（10分） （3）由（2）得，当三棱锥的体积最大时， 点P到平面ABC的距离为，即平面． 故，， 又因为， 故，，两两垂直． 故可以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题可得，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分） 20．（16分） 【解析】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，即，， ∵，∴，所以无论取何值，.（5分） （2）∵是平面ABC的一个法向量. ∴， ∴当时，取得最大值，此时，，.（10分） （3）假设存在，，因为，（12分） 设是平面的一个法向量. 则，解得，令，得，， ∴，∴，（14分） 化简得，解得， ∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置满足.（16分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（ 共 7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 16 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ ____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( …… ………… ○…… ………… 外…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… 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8．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为__________． 11．在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则__________． 12．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为__________． 13．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是__________，的范围是__________． 14．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为__________；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为__________． 15．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面；②直线到平面的距离是； ③存在点，使得；④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分） 已知点． (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点分别在线段和的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； 18．（15分） 设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 19．（15分） 已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： (1)证明：平面； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（16分） 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第二章。 5．难度系数：0.68。 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 6．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为__________． 11．在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则__________． 12．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为__________． 13．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是__________，的范围是__________． 14．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为__________；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为__________． 15．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分） 已知点． (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点分别在线段和的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； 18．（15分） 设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 19．（15分） 已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： (1)证明：平面； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（16分） 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$