九年级数学第一次月考卷（山东济南专用，北师大版九上第一～三章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第三章。 5．难度系数：0.68。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.） 1．（本题4分）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．a=0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B．，整理后不是一元二次方程，故本选项不合题意； C. 是一元二次方程，故此选项符合题意；D．是分式方程，故本选项不合题意； 故选C． 2．（本题4分）下列判断错误的是（ ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质 【答案】B 【解析】四条边都相等的四边形是菱形，所以B选项错误.故选B． 3．（本题4分）如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为（    ）    A．3 B．4 C．24 D．48 【答案】A 【解析】∵四边形是菱形，∴，， ∴，故选A． 4．（本题4分）若是方程的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【解析】∵是方程的一个解，∴，∴．故选D． 5．（本题4分）用配方法解方程时，应将其变形为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，故选D． 6．（本题4分）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【解析】∵m，n是方程的两个实数根，∴，∴；故选C． 7．（本题4分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，得．故选A． 8．（本题4分）如图，在矩形中，平分交于点，交于点，若，，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】∵，，，∴， 在矩形中，∠ADC=∠C=90°， ∵，∠DFE=90°，∴四边形CDFE是矩形， ∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE， ∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，∴矩形CDFE是正方形， ∵EF=3，∴DF=EF=3，∴AD=AF+DF=4+3=7．故选C． 9．（本题4分）在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有个．每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率在，由此可推算出约为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：×100%=20%，解得：m=15．故估计m大约有15个．故选D． 10．（本题4分）如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作关于的对称点，连接，，，连接交于点，连接交于， ∵关于的对称点为，∴，∴， 又∵四边形为菱形，∴，， 又∵为公共边，∴，∴， 又∵，∴点为中点，又∵，∴垂直平分， ∵点在对角线上，∴， ∵四边形为菱形，其边长为，， ∴，，，∴为等边三角形， 又∵，∴，即， ∴， 又∵，∴，即， 又∵，，∴， ∴， ∵，∴则的最小值为，即的最小值为，故选C． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.） 11．（本题4分）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为__________． 【答案】 【解析】一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，， 整理得，故答案为：． 12．（本题4分）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是__________． 【答案】9 【解析】如图所示：    在中，根据勾股定理得出：， 由题意得，，， 在中，根据勾股定理得出：，阴影部分面积． 故答案为：9． 13．（本题4分）一元二次方程的根的情况是__________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】对于一元二次方程来说， ∵，∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 14．（本题4分）在一个口袋中有个完全相同的小球，把它们分别标号为、、、，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸出小球的标号和等于的概率是__________． 【答案】 【解析】根据题意画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，有3种情况符合条件， ∴两次摸出小球的标号和等于6的概率是.故答案为. 15．（本题4分）如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①；②；③与一定不垂直；④的大小为定值．其中正确的结论有__________． 【答案】①④ 【解析】①∵ABCD为菱形，∴AB=AD， ∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°， 又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确； ②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°， ∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°， 过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1）， 则△CBM≌△CDN（AAS），∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，S四边形CMGN=2S△CMG， ∵∠CGM=60°，∴∴S四边形CMGN=2S△CMG 故本选项错误； ③当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3）， 由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形， ∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG， 在△GDC与△BGC中，， ∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误； ④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确； 综上所述，正确的结论有①④，故答案为①④． 三、解答题（共90分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（本题7分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1）∵，，， ∴． ∴． ∴，． （2）原方程可变形为，即． ∴，或． ∴，． （3）移项，得． 因式分解，得，即． ∴，或． ∴，． 17．（本题7分）已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长． 【解析】如图，∵菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=16cm，BD=12cm， ∴AC⊥BD于点O，CO=8cm，DO=6cm，S菱形=（cm2），∴CD=（cm）， ∵BE⊥CD于点E，∴BE·CD=72，即10BE=96，∴BE=（cm）． 18．（本题7分）如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【解析】（1）解：(1)四边形是菱形，理由是 ，，四边形是平行四边形 平分，， ，，，，平行四边形是菱形． （2），四边形是正方形， ，， 四边形的面积为∶． 19．（本题8分）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【解析】解: （1）列树状图如下: 共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个， 所以小新顺利通过第一关的概率为 （2）建议小明在第二题使用“求助卡”， 若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下: 此时小新顺利通过第一关的概率为 因为，所以建议小新在第二题使用“求助卡” 20．（本题8分）如图，在四边形中，，，连接，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分，__________①，， ，，， ，，__________②，即， ，， ，四边形是__________③， __________④，四边形为菱形． 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：垂直平分，，， ，，， ，，，即， ，，，四边形是平行四边形， ，四边形为菱形． 故答案为：，，平行四边形，． 21．（本题9分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值． 【解析】（1）∵在方程x2﹣6mx+9m2﹣9=0中，△=（﹣6m）2﹣4（9m2﹣9）=36m2﹣36m2+36=36＞0，∴方程有两个不相等的实数根； （2）关于x的方程：x2﹣6mx+9m2﹣9=0可化为：[x﹣（3m+3）][x﹣（3m﹣3）]=0， 解得：x=3m+3和x=3m-3， ∵3m+3＞3m﹣3，x1＞x2，∴x1=3m+3，x2=3m﹣3， 又∵x1=2x2，∴3m+3=2（3m﹣3）解得：m=3． 22．（本题10分）育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为． (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）； (2)如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值． 【解析】（1）解：方案如图： 方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性，从美学的角度方案③最出色，方案③④都具有对称性． （2）解：方案①可列出方程，解得，(舍去）； 方案②可列出方程，解得(舍去）； 方案③可列出方程，解得，(舍去）； 方案④可列出方程，解得，(舍去）； 方案⑤可列出方程，解得，(舍去）； 的值都等于． 23．（本题10分）如图，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的度移动．当点Q到达C点时，点P，点Q停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)在（1）中，当的面积等于时，求P点的运动时间． 【解析】（1）设经过t秒后，PQ的长度等于． ∵点P的速度为，点Q的速度为，∴，∴． ∵，∴，∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴3秒后，的长度为； （2）设经过x秒后，的面积等于， ∴，，则， ∵的面积等于，∴， 解得，，∴P点的运动时间2秒或3秒． 24．（本题12分）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0， 所以（x﹣2）2+1≥1， 当x=2时，（x﹣2）2+1=1， 因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式x2+6x+12的最小值为__________； （2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值； （3）试比较代数式3x2﹣2x与2x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 【解析】（1）∵x2+6x+12=（x+3）2+3，且， ∴，即代数式x2+6x+12的最小值为3； 故答案为3； （2）∵﹣x2+2x+9=﹣（x﹣1）2+10，且（x﹣1）2≥0， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ∴，即代数式﹣x2+2x+9有最大值为10； （3）∵（3x2﹣2x）﹣（2x2+3x﹣7）=x2﹣5x+7=，且， ∴，∴3x2﹣2x＞2x2+3x﹣7． 25．（本题12分）已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接． （1）如图1，求证：； （2）将图1中的绕点逆时针旋转45°，如图2，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图1中的绕点逆时计旋转任意角度，如图3，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 【解析】（1）在中，为的中点，∴． 同理，在中，，∴． （2）如图②，（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 理由：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点， ∴∠AMG=∠DMG=90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°． 在△DAG和△DCG中， ，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG． ∵G为DF的中点，∴GD=GF． ∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠BAD， ∴AD∥EF，∴∠N=∠DMG=90°． 在△DMG和△FNG中，， ∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG=NG． ∵∠DA∠AMG=∠N=90°，∴四边形AENM是矩形，∴AM=EN， 在△AMG和△ENG中， ， ∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG； （3）如图③，（1）中的结论仍然成立． 理由：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN⊥AB于N． ∵MF∥CD，∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90° ∵FN⊥AB，∴∠FNH=∠ANF=90°． ∵G为FD中点，∴GD=GF． 在△MFG和△CDG中， ， ∴△CDG≌△MFG（AAS），∴CD=FM．MG=CG，∴MF=AB． ∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°． ∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°， ∴∠NFH=∠EBH． ∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，∴四边形ANFQ是矩形， ∴∠MFN=90°，∴∠MFN=∠CBN， ∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，∴∠MFE=∠CBE． 在△EFM和△EBC中， ， ∴△EFM≌△EBC（SAS），∴ME=CE，∠FEM=∠BEC， ∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°， ∴△MEC是等腰直角三角形， ∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A D D C A C D C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分。 11． 12．9 13．有两个不相等的实数根 14. 15.① ④ 三、解答题（共90分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（本题7分） 【答案】（1），；（2），；（3），． 【详解】解：（1）∵，，， ∴． ∴． ∴，． （2）原方程可变形为， 即． ∴，或． ∴，． （3）移项，得． 因式分解，得， 即． ∴，或． ∴，． 17．（本题7分）已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长． 【答案】菱形ABCD的面积为的长为． 【详解】解：如图，∵菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=16cm，BD=12cm， ∴AC⊥BD于点O，CO=8cm，DO=6cm，S菱形=（cm2）， ∴CD=（cm）， ∵BE⊥CD于点E， ∴BE·CD=72，即10BE=96， ∴BE=（cm）． 18．（本题7分）如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)242 【详解】（1）解：(1)四边形是菱形，理由是 ，， 四边形是平行四边形 平分 ， ， ， 平行四边形是菱形． （2） 四边形是正方形 ， 四边形的面积为∶． 19．（本题8分）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【答案】（1）；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析 （2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用“求助卡“． 【详解】解: （1）列树状图如下: 共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个， 所以小新顺利通过第一关的概率为 （2）建议小明在第二题使用“求助卡”， 若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下: 此时小新顺利通过第一关的概率为 因为， 所以建议小新在第二题使用“求助卡” 20．（本题8分）如图，在四边形中，，，连接，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， __________①． ， ， ，， ， ， __________②，即， ， ， ， 四边形是__________③， __________④， 四边形为菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)，，平行四边形， 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 故答案为：，，平行四边形，． 21．（本题9分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值． 【答案】(1)证明见解析；（2）m=3 （2）用“因式分解法”解原方程，求得其两根，再结合已知条件分析解答即可． 【详解】解：（1）∵在方程x2﹣6mx+9m2﹣9=0中，△=（﹣6m）2﹣4（9m2﹣9）=36m2﹣36m2+36=36＞0． ∴方程有两个不相等的实数根； （2）关于x的方程：x2﹣6mx+9m2﹣9=0可化为：[x﹣（3m+3）][x﹣（3m﹣3）]=0， 解得：x=3m+3和x=3m-3， ∵3m+3＞3m﹣3，x1＞x2， ∴x1=3m+3，x2=3m﹣3， 又∵x1=2x2， ∴3m+3=2（3m﹣3）解得：m=3． 22．（本题10分）育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为． (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）； (2)如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：方案如图： 方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性，从美学的角度方案③最出色，方案③④都具有对称性． （2）解：方案①可列出方程， 解得，(舍去）； 方案②可列出方程， 解得(舍去）； 方案③可列出方程， 解得，(舍去）； 方案④可列出方程， 解得，(舍去）； 方案⑤可列出方程， 解得，(舍去）； 的值都等于． 23．（本题10分）如图，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的度移动．当点Q到达C点时，点P，点Q停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)在（1）中，当的面积等于时，求P点的运动时间． 【答案】(1)3秒 (2)P点的运动时间2秒或3秒． 【详解】（1）设经过t秒后，PQ的长度等于． ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴， ∴． ∵∠B=90°， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴3秒后，的长度为； （2）设经过x秒后，的面积等于， ∴，，则， ∵的面积等于 ∴， 解得，，                                                                                                   ∴P点的运动时间2秒或3秒． 24．（本题12分）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0， 所以（x﹣2）2+1≥1， 当x=2时，（x﹣2）2+1=1， 因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式x2+6x+12的最小值为　 　； （2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值； （3）试比较代数式3x2﹣2x与2x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 【答案】(1)3;(2) ﹣x2+2x+9最大值为10;(3) 3x2﹣2x＞2x2+3x﹣7，理由见解析 【详解】（1）∵x2+6x+12=（x+3）2+3，且， ∴，即代数式x2+6x+12的最小值为3； 故答案为3 （2）∵﹣x2+2x+9=﹣（x﹣1）2+10，且（x﹣1）2≥0， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ∴，即代数式﹣x2+2x+9有最大值为10； （3）∵（3x2﹣2x）﹣（2x2+3x﹣7）=x2﹣5x+7=，且， ∴， ∴3x2﹣2x＞2x2+3x﹣7． 25．（本题12分）已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接． （1）如图1，求证：； （2）将图1中的绕点逆时针旋转45°，如图2，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图1中的绕点逆时计旋转任意角度，如图3，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【详解】（1）在中，为的中点， ∴． 同理，在中，． ∴． （2）如图②，（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 理由：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． ∴∠AMG=∠DMG=90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°． 在△DAG和△DCG中， ， ∴△DAG≌△DCG（SAS）， ∴AG=CG． ∵G为DF的中点， ∴GD=GF． ∵EF⊥BE， ∴∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠BAD， ∴AD∥EF， ∴∠N=∠DMG=90°． 在△DMG和△FNG中， ， ∴△DMG≌△FNG（ASA）， ∴MG=NG． ∵∠DA∠AMG=∠N=90°， ∴四边形AENM是矩形， ∴AM=EN， 在△AMG和△ENG中， ， ∴△AMG≌△ENG（SAS）， ∴AG=EG， ∴EG=CG； （3）如图③，（1）中的结论仍然成立． 理由：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN⊥AB于N． ∵MF∥CD， ∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90° ∵FN⊥AB， ∴∠FNH=∠ANF=90°． ∵G为FD中点， ∴GD=GF． 在△MFG和△CDG中 ， ∴△CDG≌△MFG（AAS）， ∴CD=FM．MG=CG． ∴MF=AB． ∵EF⊥BE， ∴∠BEF=90°． ∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°， ∴∠NFH=∠EBH． ∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°， ∴四边形ANFQ是矩形， ∴∠MFN=90°． ∴∠MFN=∠CBN， ∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH， ∴∠MFE=∠CBE． 在△EFM和△EBC中 ， ∴△EFM≌△EBC（SAS）， ∴ME=CE．，∠FEM=∠BEC， ∵∠FEC+∠BEC=90°， ∴∠FEC+∠FEM=90°， 即∠MEC=90°， ∴△MEC是等腰直角三角形， ∵G为CM中点， ∴EG=CG，EG⊥CG． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15． ____________________ 三、解答题（共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （7分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○… …………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ________________ ______ ) 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第三章。 5．难度系数：0.68。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列判断错误的是（ ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为（    ）    A．3 B．4 C．24 D．48 4．若是方程的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 5．用配方法解方程时，应将其变形为(   ) A． B． C． D． 6．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，平分交于点，交于点，若，，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有个．每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率在，由此可推算出约为（       ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.） 11．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为__________． 12．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是__________． 13．一元二次方程的根的情况是__________． 14．在一个口袋中有个完全相同的小球，把它们分别标号为、、、，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸出小球的标号和等于的概率是__________． 15．如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①；②；③与一定不垂直；④的大小为定值．其中正确的结论有__________． 三、解答题（共90分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（本题7分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17．（本题7分）已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长． 18．（本题7分）如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 19．（本题8分）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 20．（本题8分）如图，在四边形中，，，连接，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分，__________①，， ，，， ，，__________②，即， ，， ，四边形是__________③， __________④，四边形为菱形． 21．（本题9分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值． 22．（本题10分）育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为． (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）； (2)如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值． 23．（本题10分）如图，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的度移动．当点Q到达C点时，点P，点Q停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)在（1）中，当的面积等于时，求P点的运动时间． 24．（本题12分）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0， 所以（x﹣2）2+1≥1， 当x=2时，（x﹣2）2+1=1， 因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式x2+6x+12的最小值为__________； （2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值； （3）试比较代数式3x2﹣2x与2x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 25．（本题12分）已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接． （1）如图1，求证：； （2）将图1中的绕点逆时针旋转45°，如图2，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图1中的绕点逆时计旋转任意角度，如图3，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第三章。 5．难度系数：0.68。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列判断错误的是（ ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为（    ）    A．3 B．4 C．24 D．48 4．若是方程的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 5．用配方法解方程时，应将其变形为(   ) A． B． C． D． 6．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，平分交于点，交于点，若，，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有个．每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率在，由此可推算出约为（       ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.） 11．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为__________． 12．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是__________． 13．一元二次方程的根的情况是__________． 14．在一个口袋中有个完全相同的小球，把它们分别标号为、、、，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸出小球的标号和等于的概率是__________． 15．如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①；②；③与一定不垂直；④的大小为定值．其中正确的结论有__________． 三、解答题（共90分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（本题7分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17．（本题7分）已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长． 18．（本题7分）如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 19．（本题8分）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 20．（本题8分）如图，在四边形中，，，连接，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分，__________①，， ，，， ，，__________②，即， ，， ，四边形是__________③， __________④，四边形为菱形． 21．（本题9分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值． 22．（本题10分）育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为． (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）； (2)如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值． 23．（本题10分）如图，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的度移动．当点Q到达C点时，点P，点Q停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)在（1）中，当的面积等于时，求P点的运动时间． 24．（本题12分）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0， 所以（x﹣2）2+1≥1， 当x=2时，（x﹣2）2+1=1， 因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式x2+6x+12的最小值为__________； （2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值； （3）试比较代数式3x2﹣2x与2x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 25．（本题12分）已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接． （1）如图1，求证：； （2）将图1中的绕点逆时针旋转45°，如图2，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图1中的绕点逆时计旋转任意角度，如图3，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7 分） 18．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 19．（8 分） 20．（8 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（12 分） 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！