专题07旋转问题中作辅助线的技巧（两种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题07旋转问题中作辅助线的技巧（两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用旋转构成等边三角形 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得，其中点，的对应点分别是，，连接．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，是由绕点О顺时针旋转角度得到的，若点在上，则 ． 【例1-3】（22-23九年级上·山东） 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则等于（  ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式1-2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，点F是等边三角形内一点，．将绕点B顺时针旋转得，连接， ． 【变式1-3】（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题，如图1，在四边形ABCD中，，，，，． (1)如图2，在图1的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转，得到，则的形状是______，四边形的面积是_____． (2)如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 题型02利用旋转构成轴对称图形 【典例分析】 【例2-1】（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2-2】（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（20-21九年级上·河南安阳·期中）将两块斜边长相等的等腰直角三角尺按如图①摆放，斜边分别交，于M，N点． (1)如果把图①中的绕点C逆时针旋转得到，连接，如图②．求证：； (2)将绕点C旋转，当点M、N在上（不与A、B重合）时，线段之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②平分；③．    A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，将矩形绕点A旋转，得到矩形，使C，E，F在一条直线上，已知，．请完成下列填空： （1）线段的长是 ． （2）若的延长线交于H，则 ．    【变式2-3】（21-22九年级上·山东济南·期中）问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形ABCD中，，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合，然后证明，从而得出结论：____________； (2)拓展延伸：如图②，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：在（2）的条件下，若，，求正方形ABCD的边长． 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（   ） A．1 B．1.6 C．2 D．2.6 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，此时点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 二、填空题 3．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，已知中，，将绕点B沿逆时针方向旋转得到，交于点F，交于点G、H，则以下结论正确的是 ． ①； ②连接则 ③当时，的长度最大； ④当点H是的中点时，四边形的面积等于． 4．（23-24九年级上·天津和平·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为 ． 三、解答题 5．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． (1)判断的形状； (2)求证：平分． 6．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，点D是内一点，把绕点B顺时针方向旋转得到，若． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07旋转问题中作辅助线的技巧（两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用旋转构成等边三角形 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得，其中点，的对应点分别是，，连接．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定进行判断即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得， ∴，，故选项不一定正确， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【例1-2】（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，是由绕点О顺时针旋转角度得到的，若点在上，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定， 三角形内角和定理，根据旋转的性质得出，得出是等边三角形．则，则可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是由绕点顺时针旋转角度得到的， ∴． ∴是等边三角形． ∴， ∴故答案为： 【例1-3】（22-23九年级上·山东） 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出是等边三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， 又， 是等边三角形， ， ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则等于（  ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，点F是等边三角形内一点，．将绕点B顺时针旋转得，连接， ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的性质，得到是等边三角形是解决问题的关键． 根据已知条件可得到是等边三角形，从而得到． 【详解】解：将绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ∴， ∴ ∴ 是等边三角形， ，故答案为：． 【变式1-3】（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题，如图1，在四边形ABCD中，，，，，． (1)如图2，在图1的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转，得到，则的形状是______，四边形的面积是_____． (2)如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)等边三角形， (2) 【分析】（1）首先证明，则，，所以是等边三角形；知等边三角形的边长为3，求出即可； （2）类比（1），连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，延长，作；证是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，，求和的面积和即可． 【详解】（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到， ，， 是等边三角形， ∵ ∴， ∴， ∴点三点在同一直线上， 四边形的面积等边三角形的面积， ， ； （2）如图3，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到， 连接，延长，作； ， ∴， ， ，， ∴ ， ， ， ， ，等边，上的高， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键 题型02利用旋转构成轴对称图形 【典例分析】 【例2-1】（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据旋转的性质得到，即，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决． 【详解】解；∵绕点A顺时针旋转得到， ， ，， 三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， 则， ， ， ， 解得：， 的长为2． 故选：B． 【例2-2】（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定方法一一进行判断即可得到答案． 【详解】解：∵和是等腰直角三角形，且斜边相等， ∴，     ∴(ASA)    ， 故选项A正确； 根据旋转的性质可得， 故选项B正确； ∵，，并不一定相等， ∴不一定全等， 故选项C错误； ∵， ∴, ∵, ∴， ∴， ∴, ∵ ， ∴， 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法 【例2-3】（20-21九年级上·河南安阳·期中）将两块斜边长相等的等腰直角三角尺按如图①摆放，斜边分别交，于M，N点． (1)如果把图①中的绕点C逆时针旋转得到，连接，如图②．求证：； (2)将绕点C旋转，当点M、N在上（不与A、B重合）时，线段之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)；见解析． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再求出，得，再证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得，再根据旋转性质得，得，用勾股定理即可． 【详解】（1）（1）∵绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴； （2）（2）∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握并运用相关的性质是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②平分；③．    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数； ②证明，得，即可； ③，，，根据勾股定理判断． 【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵， ∴，故结论④正确， ∴结论正确的个数有个． 故选：C． 【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键 【变式2-2】（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，将矩形绕点A旋转，得到矩形，使C，E，F在一条直线上，已知，．请完成下列填空： （1）线段的长是 ． （2）若的延长线交于H，则 ．    【答案】 3 【分析】（1）利用勾股定理先求解，再求解即可； （2）证明，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 而，， ∴， ∵由旋转可得：，， ∴． 故答案为：3； （2）连接． ∵， 结合旋转可得：，，， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 【变式2-3】（21-22九年级上·山东济南·期中）问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形ABCD中，，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合，然后证明，从而得出结论：____________； (2)拓展延伸：如图②，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：在（2）的条件下，若，，求正方形ABCD的边长． 【答案】(1)EF=BE+DF (2)成立，证明过程见解析 (3)6 【分析】(1)由题中所给思路，证明及G、D、F三点共线即可得到GD=BE，EF=GF=GD+DF=BE+DF； (2)仿照(1)中思路，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，D点落在B点处，F点落在G点处，连接GB，证明△GAE≌△FAE(SAS)及G、B、E三点共线，进而得到EF=GE=GB+BE=DF+BE； (3)设正方形边长为x，则EC=BC-BE=x-3，FC=CD-DF=x-2，由(2)中结论可知：EF=BE+DF=3+2=5，最后在Rt△EFC中，由勾股定理有：EC²+CF²=EF²，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合， ∴∠EAG=∠BAD=120°， ∵∠BAE=∠BAD-∠EAD=120°-∠EAD，∠DAG=∠EAG-∠EAD=120°-∠EAD， ∴∠BAE=∠DAG， 且AE=AG， ∴△BAE≌△DAG(AAS)， ∴∠EBA=∠GDA=90°，GD=BE， ∴∠GDA+∠ADF=90°+90°=180°， ∴G、D、F三点共线， 又由已知：∠EAF=60°， ∴∠GAF=∠EAG-∠EAF=120°-60°=60°， 在和中：， ∴， ∴． （2）解：(1)中的结论依然成立，即：，理由如下： 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，D点落在B点处，F点落在G点处，连接GB，如上图， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°， ∵旋转90°，即∠FAG=90°， ∴∠BAG+∠BAE=90°-∠DAF=90°-45°=45°， ∴∠DAF=∠BAG, 在△GAB和△FAD中：， ∴△GAB≌△FAD(SAS)， ∴∠ABG=∠ADF=90°，BG=DF， ∴∠ABG+∠ABE=90°+90°=180°， ∴G、B、E三点共线， 又已知∠EAF=45°， ∴∠GAE=90°-∠EAF=90°-45°=45°， ∴∠GAE=∠EAF， 在△GAE和△FAE中：， ∴△GAE≌△FAE(SAS)， ∴EF=GE=GB+BE=DF+BE． （3）解：设正方形边长为x，则EC=BC-BE=x-3，FC=CD-DF=x-2， 由(2)中结论可知：EF=BE+DF=3+2=5， 在Rt△EFC中，由勾股定理有：EC²+CF²=EF²，代入数据： ∴(x-3)²+(x-2)²=25， 解出：x1=6，x2=-1(负值舍去) ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题借助正方形的性质考查了三角形全等的判定及性质、旋转的应用、勾股定理求线段长等知识点，熟练掌握旋转的性质及三角形全等的判定方法是解决本类题的关键 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（   ） A．1 B．1.6 C．2 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点．先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，此时点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，解题关键是掌握旋转前、后的图形全等． 根据旋转变换的性质得到，，从而得到是等边三角形，解答即可． 【详解】解：由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 3．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，已知中，，将绕点B沿逆时针方向旋转得到，交于点F，交于点G、H，则以下结论正确的是 ． ①； ②连接则 ③当时，的长度最大； ④当点H是的中点时，四边形的面积等于． 【答案】 【分析】根据ASA直接证明，可判断；证，，可证出，可判断正确；当最小时，最长，即时，最长，可判断正确；，可判断正确． 【详解】：在和中， ， ；故正确； ：连接 ， ，， ， , ， 又∵， ， ， ，故正确； ：由， 是定长， 最小时，最长， 即时，最长，故正确； ：当点H是DE的中点时，有， ，，， ， ， 故正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·天津和平·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作辅助线；证明，得到；求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴垂直平分， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴，且； 在中，由勾股定理得： ∴， ∴， 在，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键． 三、解答题 5．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． (1)判断的形状； (2)求证：平分． 【答案】(1)等边三角形 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键． （1）依题意，将绕点逆时针旋转，得到，找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状； （2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分． 【详解】（1）解：绕点逆时针旋转， ，， 为等边三角形； （2）证明：绕点逆时针旋转， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 平分． 6．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，点D是内一点，把绕点B顺时针方向旋转得到，若． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了图形的旋转性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识， （1）根据旋转的性质，证出，根据全等三角形的性质，得到，再结合绕点B顺时针方向旋转得到为等边三角形，再根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形． （2）根据，得到，求出的度数即可． 【详解】（1）解：绕点B顺时针方向旋转得到， ，， 和均为等边三角形， ，， 又， ， 为直角三角形； （2）为直角三角形， ， 为等边三角形， ， ， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$