专题02 空间角与空间距离的求解（5基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题02 空间角与空间距离的求解 求异面直线所成角 1．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是 3．（23-24高二上·四川自贡·期中）已知四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是正方形，.点在棱上运动，当平面平面时，异面直线与所成角的正弦值为 . 4．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，则面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 5．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，，，设，， (1)求直线与夹角的余弦值； (2)用向量法证明直线平面； 求直线与平面所成角 1．（23-24高二上·四川成都·期中）四棱锥中，底面正方形，侧棱底面，为棱的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，. (1)求证：直线平面PAC； (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 4．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 5．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，多面体中，平面，且，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 求平面与平面所成角 1．（23-24高二上·四川·期中）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，，，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 2．（23-24高二上·四川·期中）如图，在底面为梯形的四棱锥中，，底面，，，，延长至点，使得. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面， (1)求证：平面. (2)求平面与平面所成角的正弦值. 4．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的余弦值； 5．（23-24高二上·四川凉山·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面是的中点. (1)求证：； (2)若面与面的交线为，求二面角的大小. 6．（23-24高二上·四川成都·期中）如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 求点到直线的距离 1．（23-24高二上·四川江油·期中）已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知直线的方向向量，为直线外一点. 若点为直线外一点，则P到直线上任意一点的距离可能为（    ） A．2 B． C． D．1 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知四棱锥的底面是正方形，平面且，则到直线的距离为 ． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线的距离为 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 6．（23-24高二上·四川成都·期中）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 . 求点到平面的距离 1．（23-24高二上·四川·期中）在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川内江·期中）设三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，，，，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川内江·期中）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 5．（23-24高二上·四川·期中）长方体的底面是边长为2的正方形，侧棱长为，为棱上的中点，为棱的中点. (1)证明：平面 (2)求直线到平面的距离. 6．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=． (1)求证：A1E∥平面PBC． (2)当k=时，求点O到平面PBC的距离． 与空间角度有关的动点探究 1．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． (1)证明：； (2)在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值. 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 5．（23-24高二上·四川泸州·期中）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为． (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 与空间距离有关的动点探究 1．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 2．（23-24高二上·四川凉山·期中）如图，在直三棱柱中， (1)求点到面的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. (1)求证：； (2)若，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由. 4．（23-24高二上·四川内江·期中）在图1的直角梯形中，，，，，为的中点，沿将梯形折起，使得，得到如图2的四棱锥. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 5．（23-24高二上·四川内江·期中）如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 利用空间向量求最值范围 1．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 3．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，菱形的边长为为的中点.将沿折起，使到达，连接，得到四棱锥.    (1)证明：； (2)当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 4．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在等腰梯形中，//，，四边形为矩形，平面平面，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围． 45．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直三棱锥中，侧面为正方形，，E，F分别AC和的中点，D为上的点，BF⊥AB． (1)当D为中点时，求C到平面DEF的距离； (2)当为何值时，平面与平面DEF夹角的正弦值最小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间角与空间距离的求解 求异面直线所成角 1．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中，平面，且， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，，， 所以，，则，所以，异面直线与所成角为.故选：A. 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是 【答案】 【解析】设，则，， 所以，所以为直角三角形，即， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， , 设异面直线OB与AC所成的角为（）， 则， 因为，所以， 即异面直线OB与AC所成的角为. 3．（23-24高二上·四川自贡·期中）已知四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是正方形，.点在棱上运动，当平面平面时，异面直线与所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 设, ，，， 设平面的法向量为， ， 令，则， 则平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令， 所以平面的法向量为， 因为平面平面，所以，解得 所以，， 设异面直线与所成角为，, 所以异面直线与所成角的正弦值. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，则面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由已知可得，，为中点， 所以，. 因为面底面，面底面，平面， 所以，平面. （2） 连接， 因为，为中点， 所以，. 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，，且. 由已知，所以. 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 所以，， 所以，异面直线与所成角的余弦值为，大小为. 5．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. （2），，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为． 6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，，，设，， (1)求直线与夹角的余弦值； (2)用向量法证明直线平面； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题， ，，， 所以 ， 所以， 所以直线与夹角的余弦值为. （2）由题图可知： ，，， 则， ， 所以，， 又因为平面，且，所以直线平面. 求直线与平面所成角 1．（23-24高二上·四川成都·期中）四棱锥中，底面正方形，侧棱底面，为棱的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图，连接，与交于点，连接 根据正方形的性质可知，点是的中点， 又为棱的中点， 所以，. 因为平面，平面， 所以，平面. （2）由已知，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 所以，，，. 设是平面的一个法向量， 则，取，则是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 因为， 所以，. 2．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，. (1)求证：直线平面PAC； (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）底面，平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. （2）由题意可建立以为原点， 以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 因为，则,0,，,1,，,0,，,1,，,0,， ,1,，,0,，,1,， 设平面的一个法向量为,,， 则，取，则，， 平面的一个法向量为,1,， 设直线与平面所成的角为， 则， 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由直三棱柱的性质可得平面， 平面，， ， ，则. 又，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面. （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 4．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：（法一）： 取的中点，连接，， ∵直三棱柱中，为的中点， 所以，且， 因为，分别，的中点， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， 故平面. （法二）： 取AB的中点，连接，， 由直三棱柱可得四边形为平行四边形 又为的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面，平面 故平面． ∵点，分别为，的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面， 而，平面，平面， ∴平面平面， 而平面，故平面. （2）∵在直三棱柱中又有， ∴，，两两垂直， 分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设是平面的法向量， 则，取，则 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的余弦为． 5．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，多面体中，平面，且，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意，取CA的中点N，连接MN，BN，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，得， 又平面，平面，所以平面； （2）分别取AB、EF的中点O、D，连接OD，OC，则， 由平面，得平面，则， 又为正三角形，所以， 因为平面，平面，得， 而平面，所以平面， 故OC、OA、OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，得， 设ME与平面所成角为，， 则，所以， 故ME与平面所成角为. 求平面与平面所成角 1．（23-24高二上·四川·期中）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，，，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，， 因为，所以. （2）由（1），， 设平面的法向量为，则， 即，不妨取，则. 易得平面，所以是平面的一个法向量，且. 设平面设与平面的夹角为， 所以. 故平面与平面的夹角的余弦值为. 2．（23-24高二上·四川·期中）如图，在底面为梯形的四棱锥中，，底面，，，，延长至点，使得. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为底面，平面， 所以， 又，所以，以为坐标原点，的方向分别为轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为. （2），，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 设平面的法向量为， 则， 令，得. 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面， (1)求证：平面. (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）∵平面，平面，∴， ∵二面角为直二面角，且交线为，，平面， ∴平面，平面, ∴平面， ∴平面. （2）以线段的中点为原点O，，所在直线为x轴，y轴， 过点O平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵平面，平面，∴， 在中，，为的中点，， 所以设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 又平面的法向量为， ∴， 设平面与平面所成角的正弦值为，则， ∴面与平面所成角的正弦值为. 4．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的余弦值； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：平面平面，，且平面平面， 平面，平面. 又平面，， 又，，. 又，平面，平面. 又平面，平面平面. （2）过点E作，以点E为坐标原点 ， 、、的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系： 则点，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 故，即，令，解得. 设平面的法向量为， 故，即，令，解得. 所以， 故平面与平面的余弦值为. 5．（23-24高二上·四川凉山·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面是的中点. (1)求证：； (2)若面与面的交线为，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：平面，且平面，， 正方形， ，且平面， 面， 面 （2）面，且为正方形，设， 建立如图所示空间坐标系. ， 显然轴垂直平面，则面的一个法向量为， 设面法向量为，二面角为， 则， ， 由图可知二面角为锐二面角，所以，二面角的大小为 6．（23-24高二上·四川成都·期中）如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接，，由于，， 所以， 由余弦定理得， ，， ，，， , 由于，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面, ，，平面, 平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，，，，， ，，，， 设平面和平面的法向量分别为，， ，取，， ，取，， ， 设二面角的平面角为， ，即二面角的正弦值为． 求点到直线的距离 1．（23-24高二上·四川江油·期中）已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，所以， 又直线的方向向量为，则， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，则， 所以点到直线的距离为．故选：A． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知直线的方向向量，为直线外一点. 若点为直线外一点，则P到直线上任意一点的距离可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】AB 【解析】由题设条件可知，， 所以， 设与的夹角为， 则， 所以， 所以点P到直线的距离为， P到直线上任意一点Q的距离要大于或等于，故选：AB. 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知四棱锥的底面是正方形，平面且，则到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】如图所示建立空间直角坐标系， ，则 到直线的距离为, 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线的距离为 【答案】/ 【解析】由题设，所以， 则P到直线的距离为. 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为. 6．（23-24高二上·四川成都·期中）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】由题设，直线为， 经过点，且为一个方向向量，所以， 故到直线的距离为. 求点到平面的距离 1．（23-24高二上·四川·期中）在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，故选：A 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 所以，令，所以， 点到平面的距离为．故选：D 3．（23-24高二上·四川内江·期中）设三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，，，，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，且，，， 以SA，SB，SC为棱构造长方体， 则，解得， 如图，以A为原点，AE为x轴，AG为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可知球心O是SF的中点，则， 可得，，. 设平面ABC的法向量， 则， 令，则，可得， 所以球心O到平面ABC的距离为.故选：A. 4．（23-24高二上·四川内江·期中）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在正方体中，以为原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 5．（23-24高二上·四川·期中）长方体的底面是边长为2的正方形，侧棱长为，为棱上的中点，为棱的中点. (1)证明：平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 所以， 设平面的一个法向量，则， 令，得，显然有， 则，而平面，因此平面. （2）因为，平面的一个法向量， 又平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则点到平面的距离， 所以直线到平面的距离是. 6．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=． (1)求证：A1E∥平面PBC． (2)当k=时，求点O到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，显然两两垂直， 则以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则得A1、E、 由上得、、． 设=x·+y·得， 解得x=，y=1，∴， ∵BC∩PB=B，A1E平面PBC，面，∴A1E∥平面PBC． （2）当k=时，得P，得=，． 设平面PBC的法向量为=，则由，得 故平面的一个法向量为=， 设点O到平面PBC的距离为d， 又=，∴d=． 故点O到平面PBC的距离为. 与空间角度有关的动点探究 1．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为线段的中点 【解析】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，在的延长线上，且 【解析】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． (1)证明：； (2)在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，、都垂直平面， 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以，则，故； （2）设平面的法向量为， 则，令，则 设，则， 由于平面，所以， 则，所以，即， 又平面，故存在实数，且满足， 使得， 故，解得，所以 设平面的法向量为， 又 则，令，则 设平面的法向量为， 又 则，令，则， 所以，所以 则二面角的平面角的正弦值为. 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 5．（23-24高二上·四川泸州·期中）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为． (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【答案】(1)；(2)不存在，证明见解析. 【解析】（1）由题意可知，设， 设上底的面积为，下底的面积为， 则，， 所以，解得， 在中由余弦定理可得， 所以； （2）不存在，证明如下： 证明：过作的垂线交劣弧于， 由（1）可知，所以， 以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系， 则，，，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 由，可得， 因为，所以， 取，则有， 如果平面，则有， 即， 即，矛盾，所以平面不成立， 故劣弧上不存在使∥平面. 与空间距离有关的动点探究 1．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在求出的长. 【解析】（1）取的中点,连接 ∵,∴是等腰三角形， ∵点为 的中点. ∴., , ∵, 可得四边形是平行四边形，∴, 又∵平面平面，∴. 平面; （2） 取中点为，连接, 则有,因为所以 因为平面平面，交线为, 平面，所以平面， 且平面，所以, 且在等腰三角形中，， 所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 假设上存在一点，设 则 设平面的一个法向量为， 则，取则， 所以， 设直线与平面所成的角为，则， 即， 整理得，，解得或（舍去）， 故得到的长为. 2．（23-24高二上·四川凉山·期中）如图，在直三棱柱中， (1)求点到面的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在这样的点，且 【解析】（1），且面，而平面， 建立如图所示空间坐标系 则 设面法向量为，则， 令，则，故，又， 设到面的距离为，则. （2）假设存在一点D，满足条件， 设，则， ，， 设面法向量为， 则，令，则，故， . 化简得，解得， 所以存在这样的点，且. 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. (1)求证：； (2)若，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点E为线段中点 【解析】（1）证明：连接交于点， 因，D为中点，则 由平面侧面，且平面平面，平面， 得平面，又平面，所以. 三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，平面ABC，所以. 又，侧面，从而侧面， 又侧面，故. （2）假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为， 由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为y，z轴， 以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 且设， ， 得 所以， 设平面的一个法向量，由，得： ，取， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量， 所以，解得， ∴点E为线段中点时，二面角的大小为. 4．（23-24高二上·四川内江·期中）在图1的直角梯形中，，，，，为的中点，沿将梯形折起，使得，得到如图2的四棱锥. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点F是线段CD中点. 【解析】（1）由图1知，四边形是正方形，，在四棱锥中，， 而，则， 又平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）假定在线段上存在点满足条件， 由（1）知，射线两两垂直，以点E为原点， 射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 则点，设，有， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 显然平面的一个法向量， 依题意， 解得，即点，点F是线段CD中点， 所以在线段上存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为， 点F是线段CD中点. 5．（23-24高二上·四川内江·期中）如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在；Q为线段PB中点 【解析】（1）证明：连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴，∴，， 即，，且，平面POB，平面POB， ∴平面PBO． （2）由（1）可知四边形ABCD为菱形，∴，在等腰梯形ABCD中， ∴正三角形，∴，同理． ∵，∴，∴． 由（1）可知，， O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 由题意得，各点坐标为，，，，， ∴，，，, 设， ， 设平面AEQ的一个法向量为， 则，即， 取得，，得，所以， 设直线PC与平面AEQ所成角为，， 则， 即，化简得，解得． 即Q为线段PB中点． 利用空间向量求最值范围 1．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为，故选：A 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 【答案】 【解析】，得，即， 中，根据余弦定理，， 根据正弦定理，，得 如图，以底面点为空间原点建系， 根据底面几何关系，得点,, 设点，翻折后点的投影在轴上， 所以的纵坐标为0，即，， 由，根据两点间距离公式，， 整理为 如右图，在翻折过程中，作于点，则， 并且，平面， 所以平面，平面, 所以，即，其中， 又动点在线段上动，设，故，且， 由，得，， 又因为，对应的的取值为，即, . 则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，菱形的边长为为的中点.将沿折起，使到达，连接，得到四棱锥.    (1)证明：； (2)当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意证明如下， 在菱形中，为的中点，， 是等边三角形，， 在翻折过程中，恒有， 又平面， 平面，平面，； （2）由题意及（1）得， 为二面角的平面角，记其为，则， 以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ， 设平面的法向量， 则，得 令，得， 则， 令，得 ， 当且仅当时，等号成立 设直线与平面所成角为， 则 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 4．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在等腰梯形中，//，，四边形为矩形，平面平面，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【解析】（1）在等腰梯形ABCD中有//，，， 所以且， 所以，即， 因为平面ACFE⊥平面ABCD，且平面平面，平面， 所以BC⊥平面； （2）法一：因为平面ACFE⊥平面ABCD，且平面平面， 而，所以平面，所以， 又由（1）知，所以，所以， 因为，所以， 因为BC⊥平面且平面，所以， 所以， 所以△ABF为等腰三角形，边BF上的高， 所以， 设点到平面的距离为，由得， 即，解得，所以点C到平面的距离为； 法二：由（1）知BC⊥平面且， 建立以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，如图所示，   ， 则，，，， 所以，，， 设为平面ABF的一个法向量， 则， 令，则，所以， 所以点C到平面ABF的距离为； （3）由（1）知BC⊥平面且， 建立以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，如图所示， 令（），则，，，， 则，， 设为平面MAB的一个法向量， 则， 令，则，所以， 而平面平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 又，所以， 所以， 故的取值范围为． 45．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直三棱锥中，侧面为正方形，，E，F分别AC和的中点，D为上的点，BF⊥AB．    (1)当D为中点时，求C到平面DEF的距离； (2)当为何值时，平面与平面DEF夹角的正弦值最小． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）证明：因为AB⊥BF，， 由，平面，所以AB⊥平面， 因为平面，所以AB⊥BC． 以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，，， ，， 设平面DEF的法向量为，则 ，即，令，得 点C到平面DEF的距离． （2）设（），则，于是 设平面DEF的法向量为， ，即，令，得 易知平面的一个法向量为， 设平面与DEF的夹角为，则 故当，取最小值， 即当时，平面与DEF的夹角正弦值最小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$