专题01 空间向量及其运算（8基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题02 空间向量及其运算 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·四川遂宁·期中）空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川·期中）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）在平行六面体中，，点P在线段上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 空间向量数量积及应用 1．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，已知四棱锥的各棱长均为，则 ． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，设，，，则 ． 3．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，已知线段在平面内，，且，则 . 4．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（    ）    A． B． C． D．4 5．（23-24高二上·四川南充·期中）在三棱柱中， ，为上一点，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）在正四面体中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D．异面直线与所成的角为 7．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 8．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 空间向量基底的概念 1．（23-24高二上·四川成都·期中）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（23-24高二上·四川成都·期中）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川·期中）（多选）在四棱台中，空间的一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 用基底表示空间向量 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在三棱柱中，，，.点在棱上，且，为的中点，若以为基底，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（   ） A．2 B． C．0 D． 6．（23-24高二上·四川·期中）在四面体中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 空间向量共面问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点在平面内，并且对空间任一点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 3．（23-24高二上·四川成都·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 5．（23-24高二上·四川眉山·期中）在四棱柱中，，． (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 空间点的坐标对称问题 1．（23-24高二上·四川内江·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 ． 33．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 . 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ） A．点P关于坐标原点对称点的坐标为 B．点P在x轴上的射影点的坐标为 C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为 D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为 5．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于原点O的对称点的坐标为 B．点关于x轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．两点间的距离为3 空间向量的坐标运算 1．（23-24高二上·四川仁寿·期中）若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川遂宁·期中）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川雅安·期中）（多选）已知向量，则（    ） A． B．与同向的单位向量为 C． D． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）向量在y轴上的投影向量为 . 6．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 7．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点. (1)若，且，求的坐标； (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 8．（23-24高二上·四川江油·期中）已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 空间向量平行与垂直 1．（23-24高二上·四川成都·期中）下列向量中，与向量，平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知，且，则 . 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，，若，则m的值为 ． 5．（23-24高二上·四川内江·期中）已知向量，，且，则 ． 6．（23-24高二上·四川自贡·期中）已知，，，，求实数的值，使得 (1)； (2). 7．（23-24高二上·四川内江·期中）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 8．（23-24高二上·四川内江·期中）已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 数量积的最值范围 1．（23-24高二上·四川成都·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川南充·期中）正四面体的棱长为12，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 ． 模长的最值范围 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为 ． 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是 . 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量及其运算 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·四川遂宁·期中）空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的加法、减法法则，得.故选：A. 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以.故选：C. 3．（23-24高二上·四川·期中）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以.故选：B. 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）在平行六面体中，，点P在线段上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行六面体中，四边形为平行四边形，且， 易知，同理， 由且，则， .故选：A. 空间向量数量积及应用 1．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，已知四棱锥的各棱长均为，则 ． 【答案】2 【解析】因为四棱锥的各棱长均为2，则四棱锥为正四棱锥， 所以底面四边形ABCD为正方形，为边长为2的正三角形， 所以，且， 故， 因为， 所以， 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【答案】 【解析】由 3．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，已知线段在平面内，，且，则 . 【答案】 【解析】由于，在平面内，所以,又 所以, 由于, 所以, 所以， 4．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（    ）    A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，，得，， 又因为， 所以 ， 所以，即．故选：C. 5．（23-24高二上·四川南充·期中）在三棱柱中， ，为上一点，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， ，则．故选：． 6．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）在正四面体中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D．异面直线与所成的角为 【答案】BC 【解析】由题意，如图正四面体， ，A错误，B正确. 在正四面体中，设的中点为F，连接， 则，而平面， 故平面，平面，故，故， 又为正三角形，M为AD的中点，故, 则 ， 则，且, 所以，C正确. 取的中点为，连接，则， 且， 则即为异面直线与所成的角或其补角， 由证明方法同理可证，所以， 所以是以为直角的等腰直角三角形， 所以，D错误.，故选：BC 7．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 8．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 空间向量基底的概念 1．（23-24高二上·四川成都·期中）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，A错误． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，B错误． 假设存在m，n，使得， 则，显然无解，所以，，不共面， 所以是空间的另一个基底，C正确． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，D错误．故选：C 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【解析】对于A选项，因为，则、、共面，A不满足条件； 对于B选项，因为，则、、共面，B不满足条件； 对于C选项，假设、、共面，则存在、， 使得， 因为、、构成空间的一组基底，则，该方程组无解， 假设不成立，故、、不共面， 所以，、、可以作为空间向量的一组基底，C满足条件； 对于D选项，因为，则、、共面，D不满足条件.故选：C. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于D项，易知，则D项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，即C正确.故选：C 4．（23-24高二上·四川成都·期中）若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以是共面向量， 则不能作为基底，故A错误； 因为，所以是共面向量， 则不能作为基底，故B错误； 设，可得，此方程组无解， 所以是不共面的向量，则能作为基底，故C正确； 因为，所以是共面向量， 则不能作为基底，故D错误．故选：C． 5．（23-24高二上·四川·期中）（多选）在四棱台中，空间的一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为四点共面，所以不可能是空间的一个基底，错误. 因为，所以不可能是空间的一个基底，C错误. 不共面、不共面，所以B，D均正确.故选：BD 6．（23-24高二上·四川·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】BC 【解析】对于A选项，，所以、、共面； 对于B选项，假设、、共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则，无解， 假设不成立，故、、不共面； 对于C选项，假设、、共面， 则存在、，使得， 所以，，则、、共面，与题设矛盾， 故、、不共面； 选项D，因为，则、共线， 则、、共面.故选：BC. 用基底表示空间向量 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图知： .故选：A 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，点N为BC中点， 所以，， 故 ．故选：B． 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在三棱柱中，，，.点在棱上，且，为的中点，若以为基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 因为， 所以， 因为为的中点，所以， 所以.故选：D 4．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 .故选：C 5．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【解析】根据题意易知， 即可知，所以可得.故选：A 6．（23-24高二上·四川·期中）在四面体中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为的中点，所以． 因为为的中点，所以， 所以．故选：B. 空间向量共面问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点在平面内，并且对空间任一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在平面内，所以点，，，四点共面， 所以，解得.故选：B. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【解析】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确.故选：D. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，所以共面，故A错误； 对于B，，所以共面，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在，使得， 则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾， 所以不共面，故C正确； 对于D，，所以共面，故D错误.故选：C. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解析】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得.故选：D 5．（23-24高二上·四川眉山·期中）在四棱柱中，，． (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）四棱柱中，， 因为， 所以； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 空间点的坐标对称问题 1．（23-24高二上·四川内江·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为， 可得点关于平面的对称点的坐标为.故选： B． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点关于平面的对称点为点B,故选：B 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 ． 【答案】 【解析】点关于平面的对称点的坐标为. 33．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 . 【答案】 【解析】空间直角坐标系中， 点关于平面对称的点的坐标是 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ） A．点P关于坐标原点对称点的坐标为 B．点P在x轴上的射影点的坐标为 C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为 D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为 【答案】C 【解析】点关于原点的对称点为.故选项A正确； 点在x轴上的射影即为过点作x轴的垂线所得垂足，其坐标为.故选项B正确； 点关于Oyz平面的对称点与点横标互为相反数，纵坐标与竖坐标保持不变.故选项C错误； 点在平面Oyz上的射影即为过点作平面Oyz的垂线所得垂足，其坐标为. 故选项D正确.故选：C. 5．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于原点O的对称点的坐标为 B．点关于x轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．两点间的距离为3 【答案】ACD 【解析】点关于原点O的对称点的坐标为，A正确； 点关于x轴的对称点的坐标为，B错误； 点关于平面对称的点的坐标是，C正确； 两点间的距离为，D正确.故选：ACD 空间向量的坐标运算 1．（23-24高二上·四川仁寿·期中）若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，向量， 所以.故选：C 2．（23-24高二上·四川遂宁·期中）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误；故选：AC 3．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A,， ，故A错误； 对于B，， 则，故B错误； 对于C,， 则， 则，故C正确； 对于D，，故D正确.故选:CD. 4．（23-24高二上·四川雅安·期中）（多选）已知向量，则（    ） A． B．与同向的单位向量为 C． D． 【答案】ABD 【解析】由题设，与同向的单位向量为，A、B正确； 由数量积的坐标运算得，C错误； 由，则，D正确．故选：ABD 5．（23-24高二上·四川成都·期中）向量在y轴上的投影向量为 . 【答案】 【解析】设y轴的方向向量为， 向量在y轴上的投影向量 为. 6．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】 【解析】由题意向量， 则在方向上的投影向量的坐标为 . 7．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点. (1)若，且，求的坐标； (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或；(2)3 【解析】（1）， ， 或， 或； （2）由题意得所以， ， ， . 8．（23-24高二上·四川江油·期中）已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，，，所以，， 所以， 即，夹角的余弦值为； （2），， 因为与的夹角是钝角，所以且与不共线， 当时，即，解得， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 因此与不共线，则， 所以k的范围是. 空间向量平行与垂直 1．（23-24高二上·四川成都·期中）下列向量中，与向量，平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以两向量不平行； 对于B，因为，所以两向量不平行； 对于C，因为，所以两向量平行； 对于D，因为，所以两向量不平行.故选：C. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：，解得.故选：C. 3．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知，且，则 . 【答案】 【解析】，，故 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，，若，则m的值为 ． 【答案】/-0.5 【解析】因为，所以， 故， 即，解得，故. 5．（23-24高二上·四川内江·期中）已知向量，，且，则 ． 【答案】 【解析】 ，解得 6．（23-24高二上·四川自贡·期中）已知，，，，求实数的值，使得 (1)； (2). 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)， ， 要使，则，解得； (2)要使，则 所以，解得. 7．（23-24高二上·四川内江·期中）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得， 则． （2）因为，则，解得， 所以， 故． 8．（23-24高二上·四川内江·期中）已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1)或；(2)；(3)或 【解析】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以或. 数量积的最值范围 1．（23-24高二上·四川成都·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以.故选：B. 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，，， 因为点在线段上运动，设，且， 所以，可得， 又因为，所以，即.故选：A． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示； 则点设点的坐标为， 由题意可得 ， ， 由二次函数的性质可得，当时取得最小值为； 当或1，且或1时，取得最大值为0， 则的取值范围是故选D． 4．（23-24高二上·四川南充·期中）正四面体的棱长为12，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 ． 【答案】 【解析】由正四面体的棱长为12，则其高为， 则其体积为， 设正四面体内切球的半径为， 则，解得， 如图，取的中点为， 则， 显然，当的长度最小时，取得最小值， 设正四面体内切球的球心为，可求得， 则球心到点的距离， 所以内切球上的点到点的最小距离为， 即当取得最小值时，点到的距离为． 模长的最值范围 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点. 可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以, 又点F距平面的距离为1，所以, 的最小值为.故选：D 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意知，ABCD，CDEF都是正方形， 则，且，， 所以即为二面角的平面角，即. 因为，，设， 则，且，， 则 则， ， 则，当时，有最小值为. 所以，. 所以，线段MN长的最小值为. 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是 . 【答案】 【解析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 由可设， 由是单位空间向量可得， 由可设， ， 当，的最小值是2，所以， 取，， ， 当时，最小值为. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】依题意，，， 因为，所以， 所以，所以， 令，则，且， 由，得，所以， 所以， 当且仅当，共线同向且，共线时等号成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$